韋東奕論文再登數(shù)學(xué)頂刊！

就在備受關(guān)注之際，韋神本韋和另兩位北大學(xué)者章志飛、邵鋒合作的一篇論文已發(fā)表于數(shù)學(xué)界頂級期刊《Forum of Mathematics, Pi（數(shù)學(xué)論壇，π） 》。

論文題目為《On blow-up for the supercritical defocusing nonlinear wave equation（超臨界散焦非線性波動方程的爆破現(xiàn)象研究）》，通俗來說就是研究某些方程的解在什么條件下會“爆炸”失控。

而經(jīng)過一系列論證，他們最終發(fā)現(xiàn)對于d=4且p≥29，以及d≥5且p≥17的情況，存在一個在有限時間內(nèi)爆破的光滑復(fù)值解。

不清楚具體研究內(nèi)容不要緊，重要的是這一成果不僅填補(bǔ)了相關(guān)空白，而且其證明方法繞過了傳統(tǒng)方法中奇點(diǎn)處理的難點(diǎn)，理論上可推廣到其他非線性偏微分方程的爆破研究。

網(wǎng)友們的反應(yīng)一致be like：

• 字都認(rèn)識，但是看不懂一點(diǎn)（doge）。

實(shí)際上，據(jù)清華大學(xué)丘成桐數(shù)學(xué)科學(xué)中心網(wǎng)站介紹，韋東奕還在今年5月以主講人的身份做了這篇論文的報告。

下面具體來看這項研究講了啥？

將散焦方程的爆破性研究擴(kuò)展至d≥4

從論文摘要入手，該研究探討了在?×?d上，以下散焦非線性波動方程：

1）在“超臨界”狀態(tài)下是否會在有限時間內(nèi)爆破？

2）如果存在，爆破的速度和機(jī)制是什么？

正如水波、電磁波等波動現(xiàn)象能用方程來描述，“非線性波動方程”是指一類描述復(fù)雜波動的數(shù)學(xué)方程。

而這里的“散焦”意味著波的能量向外擴(kuò)散。

那么，為什么要關(guān)注該方程在“超臨界”狀態(tài)下的情況呢？

原因主要在于，此前研究已解決“亞臨界”、“臨界”情況的全局正則性（解永遠(yuǎn)存在且光滑），但超臨界散焦方程的爆破性研究很少，尤其在空間維度d≥4的低維情形幾乎空白。

而通常來說，當(dāng)方程處于“超臨界”狀態(tài)時，波的能量分布更難控制，更可能出現(xiàn)“爆破”現(xiàn)象（即解在有限時間內(nèi)變得無窮大）。

所以，韋東奕等人想要論證：

• 在d≥4的低維情形下，散焦非線性波動方程存在有限時間爆破解

這里要補(bǔ)充一下，方程的“臨界性”由空間維度d和指數(shù)p決定。幾種狀態(tài)的定義如下：

其中“超臨界”狀態(tài)具體指sc >1，即當(dāng)且僅當(dāng)d≥3，有p>1+4/（d-2）。

最終，他們得出了兩項核心結(jié)論：

• 當(dāng)d=4且p≥29，以及d≥5且p≥17的情況時，存在光滑的初始波形，使得方程的解在有限時間內(nèi)爆破。
• 波的最大振幅隨時間接近爆破時間時，爆破速度比臨界范數(shù)的增長更快，說明爆破不可避免

具體論證方法則結(jié)合了三人組之前關(guān)于“相對論歐拉方程自相似內(nèi)爆解”的一項研究。

這篇名為《Self-similar imploding solutions of the relativistic Euler equations》的論文核心圍繞相對論歐拉方程展開，這是一個描述理想流體（比如氣體）在相對論速度下行為的數(shù)學(xué)模型。

團(tuán)隊研究了這些方程的一種特殊解，叫做“自相似內(nèi)爆解”，即流體在有限時間內(nèi)會集中到一個點(diǎn)，就像內(nèi)爆一樣。

他們發(fā)現(xiàn)，在特定的條件下（比如在2維或3維空間中，或在更高維度中但條件稍微寬松一些），這種內(nèi)爆解是存在的。

這個發(fā)現(xiàn)對于理解更復(fù)雜的波動方程（比如描述聲波或光波的方程）在特定條件下是否會在有限時間內(nèi)“爆炸”（即變得無限大）非常重要。

換言之，我們能更好地理解在極端條件下，物質(zhì)和能量的行為方式。

回到正題，在后來登上頂刊的這項研究中，他們正是將相對論歐拉方程的“自相似解”（形狀不變、僅縮放的解）作為爆破解的“骨架”，結(jié)合其他技術(shù)繞過了傳統(tǒng)方法中奇點(diǎn)處理的難點(diǎn)。

最終為理解散焦方程的動力學(xué)行為提供了新視角，并且其方法可推廣到其他非線性偏微分方程的爆破研究。

通俗理解，其具體論證過程可分為以下五個步驟：

第一步：模相位分解。就像把光分解成振幅和相位一樣，他們將波也拆成“幅度”和“相位”兩個零件，以便單獨(dú)研究哪個零件導(dǎo)致了“爆破”。

第二步：自相似解假設(shè)。一般炸彈爆炸時，不同時間點(diǎn)的“爆炸形態(tài)”其實(shí)很像，只是“縮放了大小”，故他們也假設(shè)波的爆破也有這種“自相似”，以便后續(xù)計算。

第三步：構(gòu)造近似解。繼續(xù)用簡單的數(shù)學(xué)公式拼出一個“假波”，模仿爆破的趨勢。

第四步：反向時間求解精確解。從“爆炸結(jié)局”往回推，慢慢修正成精確解，以證明真的存在這樣一個波，會在特定時刻爆炸。

第五步：推論的證明。通過前面四步，已經(jīng)找到“會爆炸的波”的精確解，現(xiàn)在要驗證它的 “爆炸速度”。而通過計算，他們發(fā)現(xiàn)爆炸“剎不住車”，必然會發(fā)生。

更專業(yè)的論證過程指路原論文第二章節(jié)。

曾以唯一作者身份登上數(shù)學(xué)頂刊

這項研究的其他兩位作者分別為章志飛和邵峰。

章志飛，博士畢業(yè)于浙江大學(xué)，目前為北大數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院博雅特聘教授、副院長和博士生導(dǎo)師。

主要從事偏微分方程領(lǐng)域的研究，已在Invent Math、CPAM、Memoirs AMS等頂尖數(shù)學(xué)刊物上發(fā)表論文150余篇，獲得過國家“杰青”和陳省身數(shù)學(xué)獎等榮譽(yù)。

他和韋東奕合作多年，2022年曾作為團(tuán)隊代表在國際數(shù)學(xué)家大會上做了45分鐘的報告。

邵峰，本科畢業(yè)于中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)，目前是北大基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)四年級博士生。

章志飛和韋東奕為邵峰的共同導(dǎo)師，三人多次合發(fā)論文。

事實(shí)上除了合著，韋東奕的個人研究也曾登上數(shù)學(xué)頂刊。

就在2021年，《Science China - Mathematics》刊載了他的一篇論文“通過預(yù)解估計流體流動中的擴(kuò)散和混合”。

怕大家信息過載，具體內(nèi)容這里不再展開了（doge）~

BTW，許多網(wǎng)友關(guān)注到韋東奕在這篇論文中并非第一署名。

根據(jù)網(wǎng)友科普，這是因為數(shù)學(xué)上默認(rèn)按照姓氏字母順序排序，不區(qū)分一二作。

論文：
https://arxiv.org/abs/2405.19674