萬有引力的悖論

作者：John D. Norton

原文名稱：A Paradox in Newtonian Gravitation Theory Partners? 載于Proceedings of the Biennial Meeting of the Philosophy of Science Association,Vol. 1992, Volume Two: Symposia and Invited Papers (1992), pp. 412-420

譯者：Jay Youngs

在傳統科學哲學中，我們常常賦予科學家近乎神一般的能力。唯有在萬不得已的情況下，我們才會勉強接受這樣的可能性：科學家并非邏輯全知，并不能立即洞察其理論承諾的所有邏輯推論。棲身于泥濘世界的現實科學研究者與這種理想形象相去甚遠。事實上，他們常常會自覺甚至熱切地擁抱哲學家們深惡痛絕的東西——一組邏輯上自相矛盾的命題集合。在標準邏輯中，邏輯矛盾會引發無政府狀態。由此可以推導出任何命題，因此一個自相矛盾的理論可以拯救一切現象。假若牛頓提出一個自相矛盾的引力理論，我們便能先天地知道他可以隨心所欲地推導出任何行星軌道。無論行星軌道是圓形、橢圓、方形還是六邊形，都能在一個自相矛盾的理論中有效推導得出。這樣的矛盾理論既能給出你想要的任何結論，也能同時得出與之完全相悖的結果。

在這種奇特的情境下，科學哲學家面臨的挑戰在于：我們能否嚴肅對待邏輯上自相矛盾的科學理論？若可以，又當如何實現？事實證明，學界并不缺乏包容邏輯矛盾而不陷入混亂的哲學方案。但真正稀缺的是優秀的案例研究——它們能清晰揭示哪些方案與現實的科學實踐相契合。問題在于，現有的案例研究通常分為兩類。要么是人為設計的「玩具」模型，其邏輯關系清晰，但與現實科學的關聯卻令人懷疑。要么是現實科學中的復雜實例，其科學專業性之強令人望而卻步，更別提梳理其邏輯結構了。

本文旨在呈現一個邏輯矛盾的理論實例，它具有以下特征：

·這是真實且重要的科學切片，其爭論直至1950年代仍見諸主流科學期刊文獻；

·在傳統嚴格邏輯意義上具有無可爭議的矛盾性，即命題A與非A均可在此理論內推導得出；

·技術層面足夠透明，其矛盾性幾乎無需借助數學公式即可展現。

本文呈現此案例時，誠邀讀者運用各自推崇的科學理論邏輯矛盾分析方法，以檢驗這些分析工具的實際適用性如何。

牛頓宇宙論的邏輯矛盾

此處將揭示的邏輯矛盾存在于牛頓宇宙論體系之中。該理論的基本公設可概括為：

力學公設：牛頓時空內的牛頓運動三定律；平方反比引力定律；

宇宙學公設：無限空間內均勻分布著物質。

這里要得出的基本結論是：結合牛頓引力理論的標準定理，我們可以證明

（1）空間任意點上的某測試質量（test mass）所受凈引力F的大小（magnitude）與方向均可被任意指定。

因此該理論是邏輯上自相矛盾的——在該理論內部，我們既能證明測試質量所受合力為某個特定F，同時又能證明該合力并非F而是其他值。

牛頓引力場的圖示化表征

為了從牛頓引力理論的公設推導出式(1)，我們本質上只需要牛頓引力場的若干屬性——它們可通過力線圖示直觀呈現（見圖1）。所需的本質屬性包括：

·測試質量所受引力強度由力線密度給出，方向由力線走向指示；

·力線永不相交；

·力線僅可終止于源質量（source mass）；

·終止于源質量的力線總數與其質量成正比。

圖1. 牛頓引力場的力線模型

請注意，這些屬性已涵蓋了牛頓引力理論的關鍵要素。例如，它們對于確立「在三維空間中，源質量作用于測試質量的引力必然隨距離平方衰減」是充分的。

要在牛頓宇宙論框架內推導出矛盾式(1)，我們首先需要兩個可由力線圖證明的定理：

定理1：均勻球殼狀源質量分布對其內部任意位置的測試質量不產生凈引力。

證明如下：不妨假設存在著內部凈引力場。該場的力線必須遵循球對稱性。唯一符合此條件的力線分布是沿徑向穿過球殼并相交于球心。然而球心處并無源質量存在，這種相交是不允許的。因此，球殼內部不可能存在引力場，其內測試質量所受凈引力必為零。

圖2. 球對稱殼層內部不存在凈引力場

定理2：球對稱源質量分布的外部場等同于等質量源質點（point source）的外部場。

證明如下：注意到，若某引力場的力線總數固定且呈球對稱分布，則該場被唯一確定（見圖3）。在此情境下，因為它們的源有著相同的質量，二者的外部場具有相同的力線總數。而且，它們均以各自源質量中心為球對稱點。由此可得二者外部場完全等同。

圖3. 球對稱源分布的外部場與具有相同質量的源質點場相同

矛盾的推導

由于牛頓引力理論是線性的，我們可以通過累加所有源質量施加的引力來計算測試質量所受的凈引力。在牛頓宇宙論中，為確定測試質量所受凈引力，可將無限分布的源質量分解為有限的部分。每個部分都會對測試質量施加引力（可能為零），而總凈引力即為各分力的和。結果表明：源質量的不同分解方式將導致不同的總凈引力。具體而言，對于任意指定的力F，我們總能找到一種源質量分解方式，使得最終凈引力恰為F。

圖4展示了這一推導過程：首先，我們在牛頓宇宙學內選定一個測試質量，并任意指定其受力F（任意大小與方向）。然后，我們將無限源質量分布分解為兩部分一個中心球體及其周圍的同心球殼層（shells）。球體的尺寸與位置經過特殊設計，使得該球體對表面測試質量施加的凈引力恰好為F（定理2確保了此球體必然存在）；剩余質量按同心球殼形式分布，測試質量位于所有球殼的內部。根據定理1，所有同心球殼對測試質量不施加凈引力，且中心球體單獨貢獻了指定力F；因此，總凈引力即為F。于是我們證明了式（1）。

圖4. 在牛頓宇宙學中，作用于測試質量的凈引力可為任意指定的力

對矛盾的反應

盡管牛頓宇宙論的邏輯矛盾在結構上與奧伯斯佯謬（夜空黑暗之謎）相似，但該矛盾直至19世紀末才由澤利格（Seeliger）、C. 諾伊曼（Neumann）與開爾文勛爵明確提出。愛因斯坦在1910年代中期發展相對論宇宙學時，曾以此矛盾作為反襯，客觀上推動了其傳播。相對論宇宙學的興起并未終結牛頓宇宙論的研究——1930年代初，米爾恩（Milne）與麥克雷（McCrea）發現，牛頓宇宙論在某些方面與相對論宇宙學有著完全相同的動力學。這一發現催生了新牛頓宇宙論的研究傳統，迫使學者直面其內在矛盾。

物理學家對牛頓宇宙論矛盾性的反應可歸納為三類：

· 研究者未意識到矛盾存在，其理論推導未受阻礙。米爾恩與麥克雷的早期論文（參見Milne 1934；McCrea & Milne 1934）乃至牛頓本人可能皆屬此類。

· 研究者雖意識到矛盾存在，卻忽略了與合理結論相矛盾的可能推論。赫克曼與舒金（Heckmann & Schuicking 1955）、納利卡（Narlikar 1977, pp.109-110）的研究即屬此列。

· 研究者無法容忍矛盾，轉而通過修正理論假設，以恢復其融貫性（參見Seeliger 1894, 1896；Einstein 1917, §1；Layzer 1954）。

在上述三類情形中，邏輯無政府狀態均得以避免。但前兩類情形中，究竟是如何避免的卻完全不清楚：乍一看，似乎物理學家只是通過簡單地忽略無政府狀態來避免它！邏輯矛盾的哲學研究則預設，可能存在某種更微妙的東西在真正引導科學家避免無政府狀態，此即我所謂「邏輯驅動型管控」——即通過非經典邏輯或弗協調邏輯限制某些標準推理規則的應用。

邏輯驅動型管控的困境在于：我們難以從實際從事矛盾理論研究的物理學家實踐中追溯其應用痕跡。通常情況下，研究者控制邏輯無政府狀態的方式缺乏顯性原則可循。我們絕不會發現他們公開訴諸于修改邏輯推理基本規則這類根本性、普適性的舉措。事實上，但凡可辨識的策略，似乎都植根于對手頭物理理論具體內涵的反思。我將此策略命名為「內容驅動型管控」。

牛頓宇宙學的案例生動展示了這種管控是如何運作的。當理論公設自相矛盾時，研究者可從中推導出大量相互沖突的結論。我們期望這種方法能指導我們應嚴肅對待哪些結論，又該將哪些視為偽命題而摒棄。在牛頓宇宙學中，我們能夠證明測試質量所受引力可為任意指定大小與方向。那么我們應該嚴肅對待哪種力呢？最簡單的牛頓宇宙學是澤利格-愛因斯坦考慮的體系：其源質量分布是靜態的，由此構建的宇宙學是均勻且各向同性的。在此對稱性約束下，唯一的可能性便是測試質量所受凈引力為零。

然而，在米爾恩與麥克雷發展的新牛頓宇宙學中，情況要復雜得多——源質量如同相對論宇宙學般經歷均勻膨脹或收縮。結果表明，源質量中恰好僅有一個粒子作慣性運動，其余源質量均相對于該粒子作加速運動。因此，宇宙學不再是均勻的，僅在該粒子所在位置是各向同性的。簡單的對稱性考慮已不再能決定測試質量的受力。事實上，在標準的新牛頓宇宙學理論中，通常使用「球體-嵌套球殼」構造推導出測試粒子所受凈引力非零，進而得出該理論的特征力分布。通過兩項物理內容的考慮，研究者得以從可推導的無數種力分布中篩選出標準力分布：其一，當分析對象限定為有限均勻球狀質量分布時，理論不存在內在矛盾。此時，若允許質量分布趨于無限大，其極限形式恰可還原為標準力分布；其二，標準新牛頓宇宙論的動力學與相對論宇宙學嚴格一致。倘若新牛頓宇宙學采用非標準力分布，這種一致性將蕩然無存，二者間恰當的極限關系亦隨之瓦解。

結論與一項提議

上述內容驅動型管控面臨的質疑在于：其篩選標準看似是完全特設的（ad hoc）。當理論公設可推導出無數結論時，有何依據僅選取其中特定結論？一種可能方案是訴諸邏輯驅動型管控來辯護——若對牛頓宇宙學施加某種非標準邏輯限制，或可恢復內容驅動方法中看似特設的規則。這種有趣的可能性雖然值得探索，卻并非唯一選項。

我們亦可在不觸動基礎邏輯的情況下，為內容驅動型管控提供辯護：當某經驗成功的理論被發現存在邏輯矛盾時，假定該理論實為某個邏輯融貫理論的近似（后者應具有同等經驗效力）是合理的。最佳解決方案自然是建構修正后的融貫理論，并摒棄矛盾體系。但如果修正理論暫不可得，還有另一選擇——通過對矛盾的理論施加元層次論證（meta-level arguments），恢復修正理論的局部結論或其近似形式。

最清晰的案例是均勻各向同性宇宙學。在任何此類宇宙中（無論牛頓式與否），對稱性考慮都要求測試質量所受凈引力為零。因此，當我們在靜態牛頓宇宙中援引對稱性排除非零力時，實際上我們是在說：

「我們承認該宇宙學存在矛盾。然而，我們預計微小修正即可消除矛盾。在修正后的理論中，唯一可推導的力必滿足對稱性要求（即零力）。」

新牛頓宇宙學的情況類似，但更為復雜。我們假定修正后的理論在有限質量分布情形下（此時理論融貫）與標準新牛頓體系高度一致。因此，修正理論的動力學行為應趨近于有限質量分布新牛頓宇宙論在質量趨向無限時的極限形態。所以，采用新牛頓宇宙學中質量分布無限增大時的力分布，相當于間接地逼近未知修正理論的力分布。最后，我們期望該未知理論能在相對論宇宙學的牛頓極限中得以恢復。由于新牛頓宇宙學的標準力分布給出的牛頓動力學與相對論動力學相同，它仍然是未知理論力分布的最佳候選者。

總之，我的提議是，內容驅動型管控可以由元層次的論證辯護——旨在由矛盾理論間接逼近某個未知的融貫修正理論的結論。篩出的優選結論之所以重要，并不是因為它可由矛盾理論推導出來（因為矛盾理論可推導任意結論），而在于它們與修正理論結論的契合度。