在無限的森林里，存在太多超出我們直覺的、奇妙的，甚至自相矛盾的實物。那是因為我們本身就是有限的存在，所以還不習慣用直覺去理解無限的事物。對于有限的我們來說，需要借助數學的語言來正確理解無限。

著名理論物理學家大栗博司先生寫給女兒的數學啟蒙書，就幫助我們理解許許多多的數學概念。

書中以用“數學語言”解讀自然為線索，突破傳統數學教育的順序和教學方式，用歷史事件、生動故事以及比喻直接講解數學核心概念的原理與相關體系，并且講解了把數學作為一門“語言”、用數學探索自然不可見結構的思維方式，是重新認識和理解數學的科普佳作。

來源 | 《用數學的語言看世界（增訂版）》

作者：[日] 大栗博司

譯者：尤斌斌

01

康托爾的連續統假設

我們的腦細胞是有限的，生存時間是有限的，按理說本來只能思考有限的事物。但是，我們卻能在數學中討論無限。其中一位先驅者就是 19 世紀德國的數學家格奧爾格·康托爾。康托爾發明了我們在學校曾經學過的“集合”概念，還提出了比較集合大小的方法。如果集合的要素（即元素）的數量是有限的，那么只要數清楚元素的數量，就能比較集合的大小。不過，如果集合的元素是無限的，該怎么比較呢？

康托爾認為，只要將 2 個集合中的元素一一對應，就能發現 2 個集合的大小相同。如果是有限集合，只有元素數量相等，才能做到一一對應。這同樣也能運用于無限集合中。

例如，自然數集合和偶數集合之間也存在一一對應。如下所示：

只要像這樣對應即可。也就是說，讓自然數 n 與偶數 2 × n 相對應。之前說過加州旅館客滿時，讓已入住的客人全部搬到偶數房間，這個時候使用的就是上述對應。

而且，自然數集合和分數集合之間也存在一一對應。該對應出現在給有理數旅行團的客人們發放自然數的號碼牌時。雖然這個過程中會出現重復現象，不過只要填滿重復的部分，也能做到一一對應。

但是，康托爾發現了自然數集合和實數集合之間無法做到一一對應。例如，假設存在

等對應關系，還是能找出與箭頭右邊數字完全不同的新數字，比如說0.781。尋找新數字時，先依次圈出以下幾個數字，

然后再隨意挑選除 2、5、3 以外的數，例如 7、8、1。將這選出的三個數組合在一起，就得到新數字 0.781。我們發現對應表中并沒有出現0.781。所以，不管如何對應自然數和實數，總是有一些實數會被遺漏。這種排列實數，斜向觀察小數點后數字的議論方法被稱作“對角線論法”。

也就說，自然數集合和分數集合的大小差不多，不過二者都比實數集合小。那么無限集合之間也存在大小關系。康托爾甚至還發現存在比實數集合更大的集合，以及無限集合中有無限的階層。

康托爾的研究引起了很大的爭論，其中大多數的數學家持批判態度。特別是德國數學界的權威人士、柏林大學的教授克羅內克，當時他是批判康托爾的急先鋒。克羅內克有句名言“上帝創造了整數，其余都是人做的工作”，所以他所認為的數學是處理類似自然數等數字的有限存在。在克羅內克看來，康托爾的數學遠已超出研究實數這種“人做的工作”，他把所有自然數和實數看作無限集合，而且對其比較大小，克羅內克非常討厭這種人為的數學。

面對克羅內克的批判，康托爾用了一句名言來反駁，“數學的本質是自由”（Das Wensen der Mathematik ist ihre Freiheit）。在古巴比倫和古埃及，人類為了測量土地而發明了幾何學，牛頓為了確立力學定律而發明了微積分，可以說數學是為了理解這個世界而不斷得到發展。

但是，到了 19 世紀，出現了一種為了數學本身而研究數學的想法。只要理論上符合邏輯，任何方面都可以作為研究對象。于是數學脫離了外部世界，成為一個獨立的個體，進而發展成一門憑借學者思想的翅膀自由飛翔的“自由”學科。在現在的純粹數學中，康托爾的想法再正常不過了，然而在 19 世紀卻被視為異端。

德國哥廷根大學的教授戴維·希爾伯特高度贊揚了康托爾的功績，并宣稱：“康托爾創建的數學天堂，不會驅逐我們任何一個人。”

1900 年國際數學家大會于巴黎召開，希爾伯特在大會上提出了 23個問題，其中的大多數問題給 20 世紀的數學發展帶來了巨大的影響。特別是第一問題，即證明或否定康托爾的猜想“不存在大于自然數集且小于實數集的集合”。康托爾的這個猜想也是著名的“連續統假設”。

希爾伯特的第一個問題以一種意想不到的方式得到了解決。20 世紀初期出生于奧匈帝國的庫爾特·哥德爾在 1931 年證明了“不完備性定理”而聞名于世。不過，他在第二次世界大戰期間逃離了納粹德國，移民到了美國。1940 年，在他剛剛任職于普林斯頓高等研究院時，指出康托爾的“連續統假設”與現在數學所使用的標準框架并不矛盾。然而在 1963 年，斯坦福大學的保羅·寇恩在否定連續統假設的情況下證明了其與數學所使用的標準框架并不矛盾。

我們發現，結合哥德爾定理和寇恩定理都無法證明連續統假設是否正確。不管是肯定還是否定，在數學的世界里都不會產生悖論。也就是說，我們可以認為存在“大于自然數集且小于實數集的集合”，也可以認為不存在“大于自然數集且小于實數集的集合”。就像在前面提到的“加州旅館”的世界里，就存在“大于自然數集且小于實數集的集合”

02

1 = 0.99999…讓人難以接受？

用小數表示數字時，經常會出現小數點后排列著無窮個數字的情況。例如 1 除以 3，得到

0. 后面跟著無窮個 3。接下來，我們來思考一下“無限小數”。在第 2 章中，我們已經說過除法運算是乘法運算的逆運算。除以 3就是乘以 3 的逆運算。那么，

然后計算等號的右邊，

因為等號左右兩邊相等，所以

成立。上述等式是由“除法運算是乘法運算的逆運算”的定義中推導而出，按理說應該是正確的。不過，很多人無法接受這個等式。左邊的 1 和右邊的 0.99999 ··· 看起來就不一樣，竟然能畫上等號，真是太不可思議了。

既然無法接受 1 = 0.99999 ···，那么這兩個數的差又等于多少呢？使用加法運算和減法運算的基本法則，如果 a ? b = 0 的話，那么 a = b。假設 1 ? 0.99999 ··· = 0，那么必須承認 1 = 0.99999 ···。不過，如果假設 1 ? 0.99999 ··· 不等于 0 的話，結果又會是什么樣呢？這個時候，問題就變成了 1 和 0.99999 ··· 之間的差到底等于多少？

0.99999 ··· 這個無限小數的表示方法有點太麻煩了。“···”到底指的是什么？作為有限存在的我們當然無法一次性理解帶有無窮個數字的無限小數。那么，我們先來理解一下有關 0.9、0.99、0.999、0.9999等有限小數。這種數字排列方式成為“數列”。接下來計算以上數列和1 的差。

我們可以發現，數列的數字越長，右邊的數值就越趨近于 0。也就是說，1 和 0.99999 ··· 的差小于任何數。

數列越長，其數值就越趨近 1，而且和 1 的差就越小。例如，這個數列的第 4 位數不管取哪個數，該數列和 1 的差都會小于 1/1000。要想提高精確度，使其和 1 的差小于 1/1 000 000 的話，只要關注第 7 位數即可。不管要求的精確度有多高，從第某位數起取任意數都能滿足所要求的精確度。

在數學中，定義非常重要。特別是在思考我們直覺無法理解的無限時，定義顯得尤其重要。進入 19 世紀以后，數學家們深入研究無限時，發現有必要正式給“極限”下一個定義。假設已知數列 a1、a2、a3、··· 不斷趨近某個數 A。此時，不管要求的精確度有多高，從第某位數起取任意數都能滿足所要求的精確度，這就叫作“這個數列的極限是 A”。這就是極限的定義。

例如數列 0.9、0.99、0.999、··· 看起來不斷趨近于 1。不管要求的精確度有多高，n 以后的數··· 和 1 的差都滿足所要求的精確度。所以 0.9、0.99、0.999、··· 的極限是 1。這就是算式“0.99999 ··· = 1”中包含的意思。

《用數學的語言看世界（增訂版）》

作者：[日] 大栗博司

譯者：尤斌斌

美國加州理工學院理論物理研究所所長，日本東京大學Kavli數學物理學聯合宇宙研究機構研究主任 大栗博司 教授

突破傳統數學教育教學順序、方式 / 以“語言思維”講解數學核心概念、原理 / 回歸“基本原理”重新認識數學本質