撰文 | 遇見數學

平凡性（數學）

在數學中，“平凡”(trivial)這個詞用來形容那些"顯而易見"、"不需要特別思考"或"結構極其簡單"的情況。

“平凡”這個詞源自中世紀教育中的“三藝”(trivium)課程，它包括語法、修辭和邏輯，被認為比包含算術、幾何、天文學和音樂的“四藝”(quadrivium)簡單得多。

“平凡”的反義詞是“非平凡”(nontrivial)，通常用來表示某個例子或解決方案并不簡單，或者某個陳述或定理不容易證明。

平凡性在數學中并沒有嚴格的定義。它具有主觀性，通常由考慮該情況的人的知識和經驗決定。

平凡與非平凡的例子

在數學中，“平凡”一詞常用來指結構非常簡單的對象（如群、拓撲空間）。

1. 平凡的數學結構

• 空集：不包含任何元素的集合
• 平凡群：只包含一個元素（恒等元）的群
• 平凡環：只有一個元素的環

2. 平凡解與非平凡解

“平凡”也可以用來描述那些結構非常簡單的方程解，但為了完整性也不能忽略這些解。

在數學推理中

平凡也可以指證明中任何容易處理的情況，但為了證明的完整性，這些情況都不能忽略。

例如，數學歸納法證明有兩部分：

基礎情況通常是平凡的，并被標識為平凡，盡管也有基礎情況困難但歸納步驟平凡的情況。

另一個平凡證明的例子涉及空集。假設你想證明"某個集合中的所有元素都具有某種性質"：

• 當集合非空時，你需要仔細檢查每個元素
• 當集合為空時，證明變得“平凡”，因為空集中沒有元素，所以這個陳述是“空真”(vacuous truth)

對某種情況是否平凡的判斷取決于考慮它的人，因為對于具有足夠知識或經驗的人來說，這種情況可能顯而易見，而對于從未見過這種情況的人來說，可能難以理解，因此完全不平凡。關于一個問題應該多快、多容易被識別才能被視為平凡，可能存在爭論。

平凡性也取決于上下文。在泛函分析的證明中，給定一個數，很可能會平凡地假設存在更大的數。然而，在基礎數論中證明關于自然數的基本結果時，證明可能取決于這樣的論述：任何自然數都有后繼數——這個陳述本身應該被證明或被視為公理，因此不是平凡的。

平凡證明

在一些文獻中，平凡證明指的是涉及蘊含式 P→Q 的陳述，其中結論 Q 始終為真。在這里，證明直接源于實質蘊含的定義，即當結論固定為真時，無論前提 P 的真值如何，蘊含式都為真。

一個相關概念是空真，其中實質蘊含 P→Q 中的前提 P 為假。在這種情況下，無論結論 Q 的真值如何，根據實質蘊含的定義，蘊含式始終為真。

幽默

數學界的一個常見笑話是說“平凡”與“已證明”是同義詞——也就是說，任何定理一旦被證明為真，就可以被視為“平凡”。

【遇見數學】：這種幽默反映了數學研究中一個有趣的現象。當你完全理解了某個概念后，它往往會變得"顯而易見"，以至于忘記了自己曾經為理解它而花費的精力。

兩個數學家在討論一個定理：第一個數學家說這個定理是“平凡的”。應另一位的要求解釋，他隨后進行了二十分鐘的講解。解釋結束時，第二個數學家同意這個定理是平凡的。但是，如果證明一個定理需要大量時間和精力，我們能說這個定理是平凡的嗎？

當一個數學家說一個定理是平凡的，但他在宣稱它平凡的那一刻無法自己證明它，這個定理是平凡的嗎？

通常，作為一個玩笑，人們會將一個問題稱為“看起來就是顯然的”(intuitively obvious)。例如，有微積分經驗的人會認為以下陳述是平凡的：

然而，對于不了解積分微積分的人來說，這并不明顯，所以它不是平凡的。

例子

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• 在數論中，找到整數 N 的因子常常很重要。任何數 N 都有四個明顯的因子：±1 和 ±N。這些被稱為“平凡因子”。任何其他因子（如果存在）都被稱為"非平凡因子"。

• 會被稱為平凡；然而，在這種情況下是平凡的，因為它的其他零點通常未知且具有重要應用，并涉及開放性問題（如黎曼假設）。因此，負偶數被稱為該函數的平凡零點，而任何其他零點則被視為非平凡零點。

本文經授權轉載自微信公眾號“遇見數學”，原內容及圖片源自維基百科，遵循CC BY-SA 4.0協議。 原文：
en.wikipedia.org/wiki/Triviality_(mathematics)，翻譯：【遇見數學】譯制，并補充部分內容/圖片。

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