女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

1 入口

“入口”（Entrance）是一個同形異音異義詞的絕佳例子，即一個詞擁有至少兩種不同的發音，每種發音都具有與其他發音不同的含義。在本文的語境中，這兩種發音和含義相互補充得非常完美：“入口”，作為進入的地方，以及“登場”，帶來愉悅與驚奇。

許多人可能會說，小說是通過組合文字來喚起畫面，進而引發讀者情感并觸動其信念的藝術。也有人會說，數學是通過組合公理和柏拉圖理念的具體化來表達“必然如此”的事物的藝術。這些描述使得將數學與小說相結合的前景，如同電影中瘋狂科學家的實驗，瘋狂地將化學物質混合在一起，煮沸并蒸餾它們，并希望出現一個不可能的結果（一些批評家可能會聲稱，所有的數學都是枯燥無味的小說，但我并不認為我能夠說服他們認識到他們的錯誤）。

要想象如何將這兩個領域以一種能夠充分體現這些人類項目中的藝術性、精準性和深刻性的方式結合起來，實屬不易。阿根廷作家豪爾赫·路易斯·博爾赫斯是首批嘗試如此創作的作家之一，也是其中最杰出的代表。博爾赫斯于1899年出生于布宜諾斯艾利斯，一戰期間及戰后曾在瑞士和西班牙生活，1921年返回他深愛的布宜諾斯艾利斯。在20世紀20年代至30年代初，他在阿根廷因其關于詩歌的宣言、詩歌作品、短篇小說以及發表于《女士家庭期刊》阿根廷版等非傳統刊物的散文而嶄露頭角。博爾赫斯快40歲時，很容易將他視為一個失敗者：他未婚，與母親同住，并在布宜諾斯艾利斯的一家小型地方圖書館從事低級工作，夢想著阿根廷草原上騎馬的牛仔和牧者，如同小神明般漫步的時代。

在這段人生時期，博爾赫斯視力逐漸衰退，他在阿根廷國家圖書館接觸到大量風格迥異、內容豐富的藏書的同時，他如饑似渴地閱讀并反復研讀伯特蘭·羅素關于數學哲學與實踐的著作。他的探索與研究，與我最初的動機相似，源于對無限性的理解——既包括宏大的無限，如尼采在《永恒輪回》中對時空連續體的思考，1也包括微小的無限，如芝諾悖論中阿基里斯與烏龜所邁出的越來越小的步子。2

我們絕不能將博爾赫斯視為數學家，他自己也不會這樣稱呼自己，但正因他沉浸于原子組合的理念，以及無限在宏大與微小中的展現，再加上對羅素對芝諾悖論的解決以及對超限數的思考，博爾赫斯逐漸成為了一種承載排列數學與無限理念的容器。他對這些思想及其在周圍世界中的體現的沉思，最終在《虛構集》中得到了表達，這是一部薄薄的短篇小說集，標志著他在阿根廷以外的文學聲譽的開端。

確實有可能，而且非常具有誘惑力，去審視那片廣袤、不斷擴張、沼澤般的文學作品與人物的三角洲，并將博爾赫斯歸類為愛倫·坡哥特式創作的繼承者、魔幻現實主義的開創者，以及科幻小說、元小說和超小說等眾多作家流派的先驅。同樣可能，甚至更具誘惑力的是，提及他獨特而令人難忘的散文風格；諾貝爾獎得主加布里埃爾·加西亞·馬爾克斯和瑪麗亞·巴爾加斯·略薩，以及其他西班牙語文學的杰出作家，如卡洛斯·富恩特斯和胡利奧·科塔薩爾，都將博爾赫斯視為深刻的影響。

但我并非來對博爾赫斯大加贊譽，也并非作為解讀者，更非作為文學分析師或理論家。事實上，我甚至不會探討他短篇小說中最為顯而易見的數學元素。3 本文的其余部分將聚焦于他《虛構集》中一個故事《巴別圖書館》中所描繪的最大可想象迷宮。巴別圖書館的構想基于簡單的組合數學，博爾赫斯承認自己是從庫爾德·拉斯維茨的科幻小說《萬能圖書館》（1901年）中借用了這個想法。

2 無限迷宮

簡而言之：想象一個由25個符號組成的字母表，其中包括句號、逗號和空格。圖書館包含所有包含這些符號的可能序列的書籍，這些書籍總共410頁，每頁40行，每行80個符號。正如博爾赫斯所寫：

宇宙（有些人稱之為圖書館）由無數六面體回廊組成，其數量可能無限。中央有一個寬大的通風井，環繞著極低的欄桿。從任何一層的六面體，都能看到上下各層，沒有盡頭。回廊的布局一成不變。二十只長書架，每邊五只，排滿四邊，留下兩邊空著。它的高度與每一層的高度相等，剛好超過一個普通圖書館員的身高。空著的兩邊中，有一邊是一個狹窄的門道，通向另一個回廊，其模樣與第一個回廊和所有回廊相同。門道左右兩側各有兩間小房間。一間可供站著睡覺，另一間用于排泄。從這里，可以通向一道盤旋的梯子，往下到達無底的深淵，往上升到遙遠的高處。門道里有一面鏡子，忠實地重復著映照的事物。人們總是根據這面鏡子，說這個圖書館不是無限的。（如果真是這樣的話，為什么會有這重復的映象呢？）我寧愿作夢，夢中一切光亮的表面都能反照，從而達到了無限……光線來自一些球形的果子，叫做燈。每一層六面體內有兩只，橫排。它們發出的光不充分，然而也不中斷。

每一個六面體的每一邊墻，排列著五只書架；每一只書架上插著三十二冊開本相同的書；每一本書有四百十頁；每一頁有四十行；每一行大約有八十個黑色的字母。每一本書的書脊上也有字母；這些字母并不指明或者說明書頁中的意思。4

博爾赫斯故事的魅力在于，他僅用幾段文字便構建了一個專為收藏圖書館中無數書籍而存在的完整世界，5 營造出一個包羅萬象的圖書館所特有的陰郁氛圍，并揭示了在如此嚴苛環境中居住所帶來的形而上學、道德與心理層面的后果。故事的敘述者是一位年邁的圖書館員，他畢生都在思考這座不可捉摸的圖書館的意義與運作方式，而困擾他的一個問題與困擾我們的一樣：這座宏偉建筑的形狀與結構究竟是怎樣的？在故事的開頭，以圖書館員的口吻敘述時，博爾赫斯寫道：

現在,我覺得,只要重溫一下這個古典的定義就夠了:圖書館是一個球體,其完整的中心是一個任意的六面體,其周圍則無可企及。6

然后，經過多次沉思，故事的最后幾句邀請我們重新審視圖書館的拓撲結構：

我相信我提到了自殺，它一年一年地越來越多。也許年老和害怕蒙騙了我，可是我懷疑，人類——這唯一的種族——正在自行消滅，而這個圖書館卻會繼續存在：光亮，孤單，無限，一動不動，裝滿著寶貴的書籍，既無用，也不朽，保守著秘密。

剛才我寫下了“無限”兩個字。我并不是僅僅由于修辭的習慣而加上這個形容詞的；我是說，把世界想成無限，并非不合邏輯。誰把它判斷為有限的，那就是自以為遠處的回廊和樓梯以及六面體會不可思議地停止——這是十分可笑的。誰把它想象成為無限的，那就是忘掉了書籍可能有一定的數目。我敢于提出解決這個古老問題的建議：這個圖書館是無盡頭的，周期性的；如果有一個永恒的游客，從任何哪個方向穿過去，經過幾個世紀之后，他會得到證實：同樣的一些書籍，以同樣的雜亂無章在重復（一次一次地重復，就會構成次序，也就是成為次序本身）。我的寂寞，由于有了這樣美好的希望，竟然變成了快樂[萊蒂西亞·阿爾瓦雷斯·德·托雷多曾經說過：龐大的圖書館是無用的。嚴格地講，單獨一本書就已足夠。一本普通開本的書，用九磅或十磅的字體印刷，包括無限薄的紙的無限數書頁（十七世紀初，卡瓦利埃里說過：所有的固體，都是一個無限數平面的重疊），可是這本絲綢一樣的袖珍本讀起來很不方便。每一頁明顯的書頁，會分開成類似的許多頁，那不可思議的中間的一頁，則是沒有反面的。7

對于圖書管理員來說，在廣袤的宇宙中談論無限，想象一個不受墻壁或邊界束縛的宇宙，或許令人滿足。但大多數人的思維都會對這種永恒的概念感到抗拒。（更不用說建造和維護的成本了！）此外，我們還必須問：“六邊形靠什么支撐？”唯一的可能答案是下面的六邊形，這又引出下一個問題：“那么那個六邊形又靠什么支撐？” 這讓人聯想到一個老笑話：地球立于大象之上，大象立于烏龜之上，當好奇烏龜立于何物時，笑點便揭曉了：從那里往下全是烏龜。如果建筑結構真是“從那里往下全是六邊形”，那么圖書館無疑比建在沙上的城堡更糟糕。令人驚嘆的是，下文提出的圖書館建筑模型恰好為這個問題提供了令人滿意的答案。

關于當前情況的嚴重性，需特別說明。若宇宙與圖書館同義，且我們合理假設宇宙既不膨脹也不收縮，則自然引力場在任何地方都應為零。盡管宇宙/圖書館中存在大量物質，但其均勻分布意味著來自任何一個方向的引力效應都會被來自相反方向的相同效應完全抵消。由于圖書館的建造者從我們的角度來看必定是全知全能的，他們的能力中必定包括在圖書館中施加一個有用的恒定引力場的能力。

即使存在這些限制（或例外），是否仍有可能在宇宙這座圖書館的迷宮中找到一條優雅的道路？換言之，是否有可能為宇宙這座圖書館找到一種恰當的描述，既能最好地滿足圖書管理員的視角，又不違背“無限太大”的直覺？

拓撲學是數學的一個分支，研究空間的性質和不變量。在本論文中，空間將被視為由描述統一的一組點。推測圖書館的拓撲結構，以最好地反映匿名圖書管理員的智慧和秘密希望，這種推測并不無道理。

從經典定理（CD）和圖書管理員的解決方案（LS）中提取以下屬性：

1. 圖書館是球形的。（CD）

2. 中心可以位于任何位置——存在均勻對稱性。（CD）

3. 周長無法達到。（CD）

4. 不存在邊界。（LS）

5. 圖書館是無限的。（LS）

6. 圖書館是周期性的。（LS）

是否存在一個空間能夠同時具備這六種特性？如果存在，我們該如何最好地想象并理解它？事實上，有一個極佳的候選對象幾乎完美地滿足了這些特性。

要理解候選空間，從最符合直觀幾何感的空間開始是合理的：歐幾里得三維空間。這是一個具有體積的空間，它有三個方向軸，以我們自身為中心點，我們可以向前或向后移動，可以向左或向右移動，也可以向上或向下移動。當然，我們也可以以這些方向的組合進行移動。請注意，從這一描述中可以看出，并不存在固定的中心點：我們自己就是中心點。

事實上，笛卡爾最深刻的想法之一是在三維空間中指定一個點——某個點，任何點——并將其稱為原點。三條在原點相交的軸，通常稱為x軸、y軸和z軸，每條軸都與另外兩條軸成直角。它們抽象了我們天生的、直觀的空間定位感，并通過引入單位長度（這自然導致了軸的編號），從而實現了空間的坐標化。

但在歐幾里得三維空間中，沒有任何突出的點；事實上，從任何一點望去，看到的景象都與從其他任何一點望去時完全相同。這里沒有墻壁，沒有邊界，也沒有限制。故事的結尾，圖書管理員設想了這樣一種空間：它被劃分為六邊形，填滿書籍，無限延伸至整個三維空間的每一個角落。書籍的擺放模式沿著三個軸無限重復，就像二維空間中對稱的墻紙圖案一樣。雖然這種圖書館的構想滿足了上述列表中的第(2)、(4)、(5)和(6)點，但也引發了上述描述的令人眩暈的迷失感。

因此，可以看出歐幾里得三維空間蘊含了在探索圖書館大尺度結構過程中值得關注的一些特性。在描述一個更能協調經典格言與圖書管理員解決方案特性的圖書館子結構之前，有必要先概述兩個想法，一個是數學的，另一個是神秘的。

數學上的這一概念相對較新，起源于20世紀初。對于本文而言，只需說明流形是一種在局部上是歐幾里得空間，但在全局上可能是非歐幾里得空間的空間即可。最簡單的例子可能是球體或地球表面。局部而言，假設我們足夠微小以至于無法察覺曲率，球體上的每個微小區域本質上都是一個二維歐幾里得平面（2維空間）。想象中亞的草原、美國的玉米帶、撒哈拉沙漠，或是任何廣闊平靜的水域，都能生動地說明這一點。從整體來看，盡管每個小區域本質上是平坦的，但存在非歐幾里得行為：如果我們從一個點出發，選擇一個方向，并繼續沿著這個方向移動，我們會繞球體一周并回到起點。這種情況在二維空間中是不會發生的，因為在二維空間中，我們永遠沿著一個方向移動，永遠不會再次接近之前訪問過的點。

再次，流形是局部歐幾里得空間。如果我們從空間中的任意一點出發，環顧四周并朝任意方向邁出幾步，我們會認為自己處于歐幾里得空間嗎？如果答案是肯定的，那么我們所處的就是一個流形。如果我們繼續行走，并且發生了一些異常現象，例如回到我們的起點，那么我們就意識到我們處于一個非平凡的流形中；也就是說，一個具有全局非歐幾里得性質的流形。例如，我們的宇宙似乎是一個流形，盡管在黑洞處會出現一些有趣的問題。當然，我們無法想象站在黑洞處并朝任何方向邁出一步！

這種神秘的觀念相對古老——我將追溯其根源與綿延不絕的回響的任務，交給一位博爾赫斯式的智者。讓我們從一個熟悉的地方開始，即我們自己的宇宙。當我們談論宇宙中的某個物體——例如番茄、書桌或椅子時，我們將其視為嵌入更大空間之中。

因此，我們常常使用相對坐標系來指代物體，例如當我們說“它在我右邊”，或“在那邊！在你身后，往左邊”，或“撓我的背……再低一點……再低一點……往右邊……現在往上……就是這樣！” 在漫長的歲月里，主要作為導航工具，我們逐漸確定了一些相對不那么任意的參考點，例如北極星、磁北極和真北極。然而，關鍵在于，這些參考點、這些起源，都位于我們的宇宙之內。“宇宙之外”是一個超出正常理解范疇的短語。一些理論將我們的宇宙置于一個更大的矩陣中，例如一個包含無限個無法進入的宇宙的超熱氣體云，或一個更高維度的空間，或一個由分叉宇宙構成的復雜體系。然而，這些理論不可避免地（應該）提出一個問題：

更大的宇宙之外是什么？

答案是無物；虛無；非空間；不可描述性；非物性；真空之外的虛空：所有這些無物都是宇宙的“外部”。這兩個概念，數學的與神秘學的，在這道問題及其答案中交織在一起。

球體的中心在哪里？

如果將球體視為嵌入三維空間中的日常物體，答案可能以“兩條直徑的交點”的形式呈現，或者，指著它戲劇性地說道，特別強調地說：“就在那里！在中間，在內部！”

然而，如果我們將球面的表面視為一個流形，即一個自成一體的空間，那么問題和答案就更加微妙了。就像我們的宇宙一樣，如果我們把自己視為球面本身上的點，那么就無法合法地指代球面表面之外的任何點。只有球面本身存在；其他一切皆為虛無。球面的中心在哪里？如果將其視為一個流形，答案是

無處不在，又無處可尋。

每個點都具有這樣的性質：在局部范圍內，它看起來像歐幾里得空間，并且無論選擇哪個方向，持續沿著該方向移動都會使勇敢的旅行者回到起點。沒有任何一個點在任何方面被特別區分出來。

要為圖書館提供一個令人滿意的拓撲結構，還需要一個額外的想法。上面提到的流形示例是一個二維球面。嚴格定義二維球面的方法有多種。歐幾里得可能會這樣寫：“給定3維空間中的一個點p，以p為中心的球面是所有與p保持指定均勻距離的點的集合。”標準單位球面的解析幾何方程是

圖1 中，歐幾里得3維空間的坐標軸被觀察到在2維球面內部但不屬于該球面的一點相交。

圖2 一個圓盤從歐幾里得2維空間卷曲出來，當邊界收縮為一點時，形成一個2維球面。

圖2中，通過文字和圖片展示了2維球面的拓撲構造。

首先在歐幾里得平面上取一個圓盤，在保持圓盤內部結構不變（僅進行彎曲和拉伸）的前提下，將整個邊界圓圈從2維空間中折疊出來，然后將邊界收縮為一點。這一點，即邊界的收縮點，成為北極點，并在構造過程完成時消失于球面之中。

一個有趣的點：從描述的方式以及圖片展示的過程來看，可能會讓人覺得一個圓盤正在隨時間推移而發生變化。然而，實際上，我們只需說：“將圓盤的邊界確定為一個點。”因此，從某種意義上說，球體的形成是一個無時間性的步驟，它“瞬間完成”。

三維球面在過去一個世紀中推動了拓撲學領域的諸多進展，而由于近期解決的龐加萊猜想，它仍是一個充滿活力的研究課題。三維球面是一維球面（圓）和二維球面的推廣。歐幾里得可能會這樣寫：“給定四維歐幾里得空間中的一點p，以p為中心球面是所有到p距離相等的點的集合。”標準單位三維球面的解析幾何方程是

對于三維球面，類似的拓撲構造難以想象，但通過拓展對該領域的理解，許多內容或許可以直觀地領會。

取一個實心球體，在保持球體內部不壓縮的情況下，將整個邊界二維球面“向上”折疊，然后簡單地將邊界二維球面收縮到一點。就這樣！但這怎么可能做到呢？至少困難之處不難理解，因為構造二維球面時，我們是從二維物體（圓盤）出發，將其彎曲到三維空間中以收縮邊界。而從三維空間中的實心球體開始，我們必須先將球體“彎曲”到四維空間中，才能收縮邊界。

在此關頭，數學變得難以想象；最好的希望是，通過冥想想象力所能觸及的低維例子，可以獲得一些可能的感覺。從二維球體的類比出發，下面介紹兩種將三維球體形象化的方法。

如果我們取一個二維球面的二維歐幾里得切片，得到的幾何對象要么是一個點——在北極和南極——要么是一個球面。

將《平面國》中的一個想法輕度升級，想象一個平面切片從北極移動到南極的影片。畫面顯示一個點逐漸擴大為一個單位圓，然后又縮小為一個點（圖4左）。類似地，想象一下從一個三維球體上切下一個三維歐幾里得切片。在這種情況下，得到的幾何物體要么是一個點（位于“頂部”或“底部”），要么是一個二維球體。如果我們把這個大切片從頂部移動到底部的過程拍成電影，觀眾就會看到一個點逐漸變成一個單位球體，然后又縮小成一個點（圖 4，右）。

圖3 二維球體的平面切片在南北兩極產生一個點，在其他地方產生一個圓

圖4 在左側，平面切片從二維球體的北極切到底部，而在右側，類似地，體積切片從三維球體的“北極”切到“南極”。

將這一想法擴展開來，假設我們被迫將二維球體縮小到二維空間中，而二維球體的自然歸宿是三維空間。由于二維球體可以看作是由兩個極點組合而成的堆疊圓的集合體，因此可以把它看作是由兩個點分別代表南北兩極的相交圓的集合體的平面化描述。

與此相關的問題是，在將三維球體縮小到三維空間后，如何表示三維球體。把三維球體看作“堆疊”的二維球面——就像二維球面是堆疊的一維球一樣--類似的三維空間表示法就是相交的二維球體的集合。

所有框架的梁和支撐結構現已就位，即將完成對宇宙拓撲結構和宇宙學的組裝，而這個宇宙就是圖書館。三維球面是一個三維流形；在三維球面的每個點上，一個居民都會說——在局部范圍內——空間是歐幾里得空間。如果一群旅行者沿著他們認為是直線的方向行走，他們可能在無數個時代后回到起點；因此，三維球面可以被視為周期性的。這里沒有邊界，沒有墻壁可撞擊；三維球面是無限的。此外，在博爾赫斯那篇光輝的短篇小說《小徑分岔的花園》中，他讓那位富有同情心的漢學家斯蒂芬·阿爾伯特說道：“我曾好奇一本書如何能是無限的。我能想到的唯一方式是，它是一本循環的、或圓形的書籍，一本最后的頁面與第一頁相同的書籍，這樣人們就可以無限地繼續下去。” 盡管阿爾伯特在《小徑分岔的花園》中否定了這種推理，但這段引文，加上博爾赫斯對尼采“永恒輪回”思想的興趣，表明博爾赫斯愿意將循環或重復的結構視為無限的象征，或與無限同義。

作為一個三維流形，三維球面的中心無處不在又無處可尋。此外，如果三維球面如此龐大，以至于無論我們如何移動，都無法環繞它一周，那么說它的周長不可達也就不無道理。（最后，這回答了關于六邊形“依托于何處”的問題。通過形成大圓——即球體的赤道——六邊形彼此支撐，最終支撐自身，因此無需依賴一個不可能存在的“外部”基礎來支撐圖書館8）。

如果圖書館是宇宙，而宇宙是一個三維球體，那么圖書館就是一個球體，其精確中心是任何一個六邊形，其周長是無法達到的；此外，它還是無限的和周期性的。也就是說，三維球體的圖書館同時滿足了經典格言和圖書管理員的珍貴希望。

3 出口

在經典的迷宮或迷陣中，只有一個入口和一個出口。在初學者的數學觀念中，一個問題只有一個入口，即問題本身，而問題也只有一個出口，即正確的解決方案。一位更有經驗的數學實踐者知道，好的問題有許多起點和許多解決謎題的方法，成功地將它留在過去。事實上，入口越多，解決方法越多，問題的含義就越豐富，它就越有可能在數學領域之外產生共鳴。

在博爾赫斯的圖書館中，以及在他對宇宙的構想中，這種構造是一個由相互連接的層層迷宮組成的迷宮，這種形式暗示著一個入口對應一個出口。但博爾赫斯在尊重傳統觀念的同時，也引導我們超越了這些傳統觀念。他故事中的圖書館是一個與宇宙同義的迷宮。同時，既沒有入口，又有許多入口，因為任何能夠孕育生命的實體，都為另一個生物提供了進入圖書館的入口。

同樣，從作為宇宙的圖書館中，既沒有出口，同時又存在著許多出口，盡管每個出口都面臨著死亡這一殘酷的事實。或許這樣的出口能夠通向一個清晰的世界，讓所有迷宮都留在身后，但這并非我們所能知曉的，博爾赫斯的虛構圖書館員也無法知曉。

從外部觀察，數學為我們提供了一種處理無限概念的方法，使我們能夠將圖書館視為一個巨大的三維球體，一個規模超出人類理解范圍的多維空間，一種組織眾多書籍的宇宙結構。從故事內部向外看，虛構的圖書館員只掌握了足夠的數學知識來理解自己被開了一個深刻的玩笑，但又不夠多到能夠笑對它。

參考文獻

1. A.M. Barrenechea, Borges: the Labyrinth Maker. Translated by Robert Lima. New York University Press, 1965.

2. W.G. Bloch, The Unimaginable Mathematics of Borges’ Library of Babel. Oxford University Press, New York, 2008.

3. J.L. Borges, Ficciones. Emece Editores, Buenos Aires, 1944. ′

4. J.L. Borges, Collected Fictions. Translated by Andrew Hurley. Penguin Classics, New York, 1998.

5. K. Lasswitz, The Universal Library. Translated by W. Ley in: C. Fadiman (ed.), Fantasia Mathematica. Copernicus, New York, 1997.

6. J. Munkres, Topology. Prentice-Hall, New Jersey, 1975.

7. J. Weeks, The Shape of Space: How to Visualize Surfaces and Three-Dimensional, Manifolds. Dekker, New York, 1985.

8 William Goldbloom Bloch，Lost in a Good Book: Jorge Borges’ Inescapable Labyrinth

最后照例放些跟張大少有關的圖書鏈接。

青山不改，綠水長流，在下告退。

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