在繪畫藝術作品中，不乏含有精妙的數學元素，比如完美的幾何圖形、分形、黃金分割等。當然，很多數學解讀是后來人們為之賦予的，創作者本身并不了解其中的奧秘，此時藝術與數學卻和諧交融。本文介紹的藝術家艾瑪·昆茨的作品正是這樣一個例子。饒有趣味的是，昆茨本人是一位通靈治療師，她沒有正規的藝術背景，從事的工作在如今會被貼上偽科學標簽。但她在幫助患者過程中創造了超越時代的藝術作品，得到了今天藝術界極高的評價。畫作中顯而易見的數學內容，不僅吸引了公眾的目光，也讓專業的數學家感興趣——他們發現，昆茨作品中有許多包絡線。

撰文 | Sumit Dhar、Pamela Gorkin Sofi Jeffrey（巴克內爾大學數學系）

翻譯 | 許釗箐

艾瑪·昆茨（Emma Kunz，1892-1963）是瑞士的研究者、幻想藝術家，也是一名心靈療愈師。為了幫助她的患者，她使用輻射感知療法（radiesthesia），一種涉及占卜擺錘的技術，她認為擺錘受到能量場引導。把使用擺錘所得到的點用石墨線連起來，再填上顏色，她創造出許多幾何圖畫。這些作品有時會被稱為精神（spiritual）藝術或者幻想（visionary）藝術，如今已多次在重要的個人展和群展中展出。1993年，她的作品No.095（圖1）甚至登上了瑞士郵票。

盡管昆茨使用她的藝術來答疑解惑，并深入了解她的患者，但我們特別感興趣的是那些繪畫展現的數學內容。她創作的曲線可以被看作是眾多直線的包絡線，因此我們可以在包絡算法的幫助下進行分析。事實上，在我們所研究的作品中，昆茨反復運用了一種技法，這使得那些出現在她諸多作品中的包絡曲線能夠被計算出來。而她對色彩、鏡像、平移和旋轉的巧妙運用，又使這些作品各具特色。本文將探討昆茨作品中的圖案、數學變換，以及能夠揭示其結構的原理。我們相信，這一研究為包絡算法提供了一個理想的應用實例。

圖1 1993年發行的瑞士郵票，以昆茨的095號作品為圖案。

艾瑪·昆茨與她的作品

艾瑪·昆茨（圖2）1892年出生于瑞士阿爾高州一個貧窮的織工家庭。1909年對她而言尤為艱難：那一年，兩位姐妹去世，之后父親也自殺了。不久之后，她開始使用擺錘進行預言、心靈感應以及療愈。19歲時，她邁出了不尋常的一步——前往美國追求自己的興趣愛好。然而一年之后，她失望地回到了瑞士，并重新開始施行心靈治療。

圖2 艾瑪·昆茨（圖片由艾瑪·昆茨基金會提供）

此后，昆茨在一家針織廠打工養活自己。1923年至1939年間的夏季，她在具象藝術家和藝術評論家雅各布·弗里德里希·菲爾蒂（Jakob Friedrich Welti，1871-1952）的家中擔任管家，并在此后與這一家族建立了深入的聯系。在1942年，昆茨開始在毫米方格紙上作畫，并和她在布里特瑙的姐妹一起發現了一種“瑞士治療石粉”，名為AION A。1939年，她離開了菲爾蒂家族，并搬到了離她兄弟更近的地方，之后在阿彭策爾的瓦爾德施塔特附近建造了一所房子，因為這里允許她實踐自然療法。

有關艾瑪·昆茨的生平和工作的信息收錄在她的一位患者安東·邁爾（Anton Meier）所著的《艾瑪·昆茨》（Emma Kunz）一書中[9]。他們第一次相見時，邁爾患有小兒麻痹癥，他的父親帶他去拜訪昆茨。“第一次治療時，昆茨展現了（AION A）巨大的治療能力”（注1：參考
https://www.emma-kunz.com/en/）。安東康復了，他們也成了朋友。

邁爾目睹了昆茨的工作過程：“直到今天，我都不敢相信她可以用擺錘那么快地找到那些點并靈活地繪制線條。沒有數數，沒有計算，沒有測量，也沒有構造。”[9,P.30] 她對著擺錘發問，范圍從政治到個人或者哲學。她用擺錘軌跡提供的點，繪制線條并增添顏色。她的眾多作品都沒有標題，也不標記日期，她相信這樣可以讓它們以新的方式被詮釋。

盡管這個過程表面上沒用測量、計數和計算，但許多她在方格紙上創作的作品（甚至可能是大多數）都使用了等距線條、對稱或者幾何圖形。正如昆茨所說，“我的作品是為了21世紀而設計。它們傳達了作為維度、韻律、符號、數字和原理變換的構造和形式。”（注2：參考
https://www.emma-kunz.com/en/）

艾瑪·昆茨于1963年1月16日在瓦爾德施塔特去世，后被安葬在布里特瑙。1986年，邁爾創立了艾瑪·昆茨中心（Emma Kunz Center）來保存昆茨的探索和創作。參觀者可以游覽附近的洞室，艾瑪曾在那里發現了AION A。

昆茨創作語境

2018-2019年，《世界接收者》（World Receivers）展覽會在慕尼黑舉辦。正如該展覽的策展人所言：

《世界接收者》展覽帶領觀者走入現代主義歷史中一段非凡而鮮為人知的篇章：英格蘭的喬治亞娜·霍頓 （Georgianna Houghton，1814-1884），瑞典的希爾瑪·阿芙·克林特（Hilma af Klint，1862-1944），以及瑞士的艾瑪·昆茨，她們各自完全獨立地發展出具有豐富含義的高度抽象視覺語言。她們都致力于在作品中將自然規律、精神世界與超自然現象加以可視化，并以堅定而自信的姿態追隨各自的信念。[1]

這并非孤例：人們常將艾瑪·昆茨與更廣為人知的希爾瑪·阿芙·克林特相提并論，但不同的是，阿芙·克林特受過專業藝術訓練，而昆茨并無正規藝術背景。她們兩人同屬于抽象藝術家的行列，只有個別作品的確具有一定的相似性（可對比圖3右側克林特的作品與左側的昆茨的作品）。

圖3 左：昆茨第168號作品，現印于Aion A產品包裝上（圖片由艾瑪·昆茨基金會提供）。右：希爾瑪·阿夫·克林特作品， Altarpiece No. 1, Group X，1915年，布面油畫并使用金屬箔（圖片由希爾瑪·阿夫·克林特基金會提供）

具體而言，阿芙·克林特早期的作品呈現出鮮明的幾何風格；她也將通靈實踐融入創作，試圖通過降神會與超自然存在進行溝通。(注3：在那個時代，許多人自認為是通靈者，其中包括英國自然學家、進化論生物學家阿爾弗雷德·拉塞爾·華萊士（Alfred Russel Wallace, 1823-1913）。美國第一夫人瑪麗·托德·林肯（MaryToddLincoln，1818-1882）甚至曾在白宮中舉行通靈會。數據顯示，僅在19世紀后期，美國有400萬至1100萬人自稱是通靈者[3]。）

然而，由于阿芙·克林特將其主要作品私藏，并且要求在她去世20年內不得公開展示，所以昆茨等人幾乎不可能受到她的影響。直到1986年，阿芙·克林特的作品在洛杉磯郡藝術博物館的《藝術中的靈性：1890-1985年抽象繪畫》（The Spiritual in Art: Abstract Painting1890–1985）展覽中作為具有爭議性展品之一展出，才開始獲得廣泛關注。此后，阿芙·克林特的作品接連亮相于多個國際重要展館，包括丹麥的路易斯安那現代藝術博物館和美國的古根海姆美術館。（注4：部分畫作的作者身份，至今仍存爭議[14]。）

昆茨的創作于1973年開始被認可為藝術作品，這比阿芙·克林特1986年的展覽早了13年。昆茨的作品曾在瑞士的阿爾高藝術館展出，并入選了哈拉德·塞曼（Harald Szeemann）1975年策劃的展覽《單身機器》（The Bachelor Machines）。（注5：塞曼是一位瑞士策展人、藝術史學者，一生策劃超過兩百場展覽，其中許多展被認為具有開創性意義。策展人過去主要是藝術品的看護者與展覽的執行者。但在整整50年前，塞曼在伯爾尼美術館策劃的一場劃時代的展覽，徹底打破了這一界限——他的影響幾乎可以說是無限大的。1961年塞曼就成為館長，那時他年僅28歲。[13]）

塞曼特別指出，在1991年-1992年蘇黎世藝術館的《預見瑞士》（Visionary Switzerland）展覽、馬德里的索菲亞王后國家藝術中心博物館，以及杜塞爾多夫藝術館舉辦的展覽中，昆茨的作品均引發廣泛關注。2019年，昆茨四十余幅罕見畫作[6]亮相倫敦蛇形畫廊，這次展覽被描述為“已故瑞士幻想藝術家、療愈師和研究者艾瑪·昆茨在英國的首次個人展覽”。該展與瑞士格勞賓登州的蘇施博物館共同策劃。蛇形畫廊官網援引了塞曼的評價：

（昆茨的）天賦在于她能夠感知那些既違背日常經驗、又超越自然科學與藝術法則的隱秘聯系。這是一種超自然現象，一種奇跡——在揭示神圣真理的同時，傳遞著一種與宇宙創生同頻的隱秘脈動。艾瑪昆茨的繪畫作品正是尋找一種普世關聯的嘗試。[6]

2021年，阿爾高藝術館舉辦展覽《艾瑪·昆茨的宇宙：與當代藝術對話的愿景》（Kosmos Emma Kunz: A Visionary in Dialogue with Contemporary Art），展出了昆茨60幅作品。次年，即2022年，《艾瑪·昆茨的宇宙：與當代藝術對話的愿景》巡展來到西班牙巴斯克自治區的“塔巴卡萊拉（Tabakalera）”文化中心——一個由舊煙草工廠改建而成的藝術空間，其名稱在巴斯克語中正是“煙草工廠”的意思。在這里，我們注意到觀眾在某種程度上感知到了畫作中蘊含的數學，并渴望獲得更深層次的解讀：

對于塔巴卡萊拉的文化總監來說，昆茨作品對于觀眾視線的吸引有雙重效應：“她的創作具有一種獨特的張力：既引人深入細節，探索她精密而細致的創造，又允許觀者在觀看時保持某種距離——以辨識她所追尋的圖式、秩序、韻律與能量。”[15]

最后，我們要提一下位于瑞士維倫洛斯的“艾瑪·昆茨中心”——這是一個專為昆茨設立的機構，并持續更新展覽。

以上敘述清楚地表明，艾瑪·昆茨的作品如今廣為人知，然而其中蘊含的數學卻并非如此。令人驚訝的是，我們文中使用的幾幅圖都有一個中心焦點（central focal point）。這種焦點強化了圖像的冥想性和輻射性。接下來，我們將從昆茨的通靈藝術轉向其作品背后的數學。我們將探討昆茨的三幅作品，均是由直線族的包絡線構成。

尋找包絡

包絡在數學中頻繁出現。例如，在線性代數中，包絡可以被用于求解和分析一個矩陣的數值域，即包含該矩陣特征值的集合。（更多的相關內容見 [7]。其他相關的材料亦可見《數學通訊》（The Mathematical Intelligencer）期刊最近的一篇文章[5]。）包絡這一概念也被視為基礎內容，出現在柯朗的微積分教材中 [4, p.171]。正如卡爾曼（Dan Kalman）在《用包絡線方法解梯子問題》[8]一文中寫道：“這給了我們一個借口來重新討論一個美妙主題：曲線族的包絡。”卡爾曼這篇文章標題中的梯子問題，本質上是探究如何在轉角移動一個梯子（見圖4）。（注6：別把它和“沙發問題”搞混了[12]。）

梯子問題的解恰好就是柯朗書中四個包絡線例子之一。如果這個梯子是單位長度的，則圖像中這些梯子線族的包絡（即與圖4中所有梯子直線相切的曲線）可以表達為

因此這個包絡是星形線的一部分。另外最近一篇清晰明了的文獻是格雷戈里·奎內爾（Gregory Quenell）的文章[11]，其中包括對弦線藝術的探討，以及多個包絡線的實例，包括梯子問題——研究等長直線族的包絡線。昆茨的畫作則展現的是另一番藝術景象。

圖4 梯子問題

數學上關于包絡線的定義有很多種，但我們當前語境下，幾何包絡線的定義或許是最直觀的：

需要指出的是，包絡線有多種不同的定義方式，其中一些定義所涵蓋的曲線范圍更為寬泛。根據文獻 [2]，我們接下來將介紹的包絡線算法，同樣定義了一種意義下的包絡線[4]。柯朗將其稱為“判別曲線”（Discriminant curve），因此我們稱之為“判別包絡線”（Discriminant envelope）。在本文例子中，判別包絡線與幾何包絡線是相同的。我們將在后文圖像中直觀呈現這一點。在正式定義包絡線算法之前，有必要先建立對其推導過程的直觀理解。

絡線與該直線族中的每條線在某一點相切。并且這條包絡線上每一點都必須和直線族中某一條線相切。一般來說，一條曲線可以在不同的位置上和不止一條直線相切，但幸運的是，如果合適地限制定義域，并且利用圖形的對稱性，我們可以避免這種情況。因此在一個合適的區間上，我們可以選擇光滑函數F,x,y，使得F(x(t),y(t),t)=0。

第二個有助于構建包絡線算法的性質可能不是很明顯。以下是一種理解方式：首先，限制

3. 結合前兩步得出的方程，消去t得到包絡線方程。

柯朗在[4, p.173]中寫道，“在求得判別曲線之后，仍有必要對每個具體情形進行深入分析，以判斷該曲線是否真正構成包絡線，或在何種程度上偏離包絡線的定義。” 在下文中，我們將構建自己的圖像，并與昆茨的作品進行對比。畢竟，唯有親見，方能相信。

隨處可見的拋物線

借助包絡線算法，我們可以十分自然地推導出艾瑪·昆茨靈擺幾何繪畫中所蘊含的包絡曲線。接下來，我們將具體探討她的三幅作品。

作品No.13

觀察圖5，畫面不僅關于原點對稱，并且關于x軸和y軸對稱。作為一幅視覺作品，色彩為整體構圖注入了石墨線條所無法賦予的生命與活力。然而從數學角度，真正令人著迷的，正是那些石墨線條。

圖5 昆茨的013號作品（圖片由艾瑪·昆茨基金會提供）

從圖5可以觀察到，石墨線條衍生出四條跨越不同象限、彼此相似的曲線。通過包絡線算法，我們可以為每一條邊界曲線推導出閉合表達式。仔細觀察便會發現，昆茨并沒有畫完所有的線條——如果我們想象這幅作品代表一只眼睛，似乎在她勾勒出虹膜完整的周邊區域時便戛然而止了（注7：我們將其視為眼睛這一解讀得益于艾瑪·昆茨中心的卡琳·凱吉（Karin K?gi）的提示）。因此，我們得到的曲線是下文所討論曲線的子集。我們將闡述如何推導這些包絡線的方程，并且概述應用包絡線算法的一般過程。

首先，我們必須考慮關于繪畫的一些假設。我們使用了博物館提供的一件復制品，其中每條線均按照方格紙上間隔約兩格（總計1厘米間距）沿著橫縱軸線繪制而成。繪圖本身被設定在一個邊長為40個單位的正方形區域，并以坐標原點為中心。當然，昆茨繪制的線條數量有限，但這些線條卻形成了看似連續光滑的曲線。為了應用包絡線算法，我們讓t在整個區間內取值。

在這幅作品中存在多組曲線，還有很多直線從中心向邊界放射延伸，而這些直線僅相交于原點，所以根據前面包絡線定義，該直線族不存在包絡線。此外，在每個角還有對角線族，其連線勾勒出跨越圖畫中不同角落的弧形。這些直線族將成為包絡線算法的研究對象，我們希望能夠求出其數學表達式。

先考慮主要位于第一象限的直線族，我們觀察到該族包含40條直線。這些直線的斜率逐漸變化，從水平線y=20到垂直線x=20。（假設原點位于中心，繪圖的寬度為[-20,20]）該直線族一種可能的參數化可以定義為以下方程的(x,y)解集，

圖6 線族疊畫在第一象限

作品NO.009

圖7展示了編號009的作品，其尺寸為101厘米×101厘米。在這幅作品中，我們采用與之前文類似的包絡線算法，可以得到空白區域八條邊界曲線的封閉形式解。接下來，我們將詳細描述其中一條曲線。

圖7 昆茨的009號作品（圖片由艾瑪·昆茨基金會提供）

在No.009號作品中，我們觀察到存在八個矩形區域，其中在頂部和底部的第一個和最后一個矩形互為鏡像對稱，而中間的兩個區塊則包含著空白區域，其邊界為簡單的閉合橢圓形曲線。我們先考慮該橢圓形狀四分之一的部分，其余部分可通過昆茨反復運用的對稱變換生成。與之前類似的是，紅藍直線與矩形邊界的交點大致是等距分布，但縱軸方向的間距是橫軸間距的三倍。

探究圖7與圖5相似性的關鍵在于x軸與y軸對應數值是等距分布這一條件。我們稍后會解釋這一點，但很明顯的是，包絡線算法與之前一樣有效：盡管我們當前所參考的圖像略顯模糊，但經估算，每一半矩形的寬度約為 16 個單位，長度約為 48 個單位。

在算法中，我們放置原點使得矩形區域邊界點為（-16，0），（16，0），（16，48），（-16，48）。由于我們只是縮放x軸和y軸，所以我們猜測包絡線仍是一段拋物線弧，而事實正是如此！因此，盡管昆茨這兩幅作品視覺上存在差異，但No.009作品（圖7）其實包含了我們在她No.013作品中曾看到過的圓錐曲線的縮放與重復的版本。

假設這些垂直線之間的間距均勻，且每次間隔三個單位，那么其中一族直線（對應于圖形右上角）可以由下列公式給出，

-t(y-48)=(48-3t)(x-16+t)

其中，參數t∈[0,16]。（譯者注：這里直線族構造是類似的，考慮直線y=48與直線x=16上，并且在繪圖寬度內平均分布的離散點，坐標為(16-t,48), (16,3t)，便可求得直線族的參數化。）

在這種情況下，我們可以得到，

將該曲線與艾瑪·昆茨繪制的直線族對比，我們可以從圖8中觀察到，紅色拋物線EI在第一象限確實形成了包絡線結構。圖中藍色拋物線EII亦可通過相同方法推導出，其對應的直線族可以沿用之前的參數化方法。特別之處在于，這一看似橢圓的形狀實際上并非真正的橢圓，這些閉合曲線由四條不同的拋物線弧段拼接而成。

作品No.130

分析圖9可以看出，其x軸均勻的間距與直線上y=x上均勻間距不同，但圖中依然包含拋物線弧。我們依據算法推導出直線方程，

以及第一象限中在x>y條件下拋物線的方程

圖9 昆茨的130號作品（圖片由艾瑪·昆茨基金會提供）

對于本文我們描述的圖像，其中的包絡線均為拋物線。事實上，如果我們在一條直線上取等間距的點，并在另一條不平行（也不必垂直）的直線上取另一組等間距的點（兩組點間距可不同），那么連接這些點所形成的直線族，其包絡線是一條拋物線：

假設我們從任意兩條不平行的直線出發，并在兩條線上取若干等間距的點。不失一般性，我們假設其中一條直線位于x軸上。為了將另一條直線變換為與x軸垂直，同時保持等距分布，我們可以進行一次水平剪切變換，即嚴格將點沿著水平方向移動，并且移動量與對應

展開后可以驗證其判別式仍為零。因此在變換后，拋物線仍為拋物線，所以變換前的包絡曲線確實是一條拋物線。這一推導具有普遍性，說明按照昆茨在這些作品中所采用的線性構造方法生成的包絡線一定是拋物線弧。

結語

在許多方面，艾瑪·昆茨無疑超越了她所處的時代。她對于醫學療愈的見解，包括使用Aion A（一種礦物制劑）和植物性治療藥物，以及她的繪畫作品，在如今可以說比她創作的時代更具現實意義：

盡管昆茨的工作方式可能顯得有些神秘，并且與她所希望的相反，她的方式也未得到廣泛實踐，但她關于如何棲居于環境的建議——包括對于本土的珍視，對農業單一種植的質疑，以及她整體性的醫療方法，與當今醫學、建筑、生態與氣候科學的討論不謀而合。[10]

同樣，昆茨許多幾何畫作直到后來才被人重視，并最終贏得了廣泛的觀眾。

正如本文展示，艾瑪·昆茨的藝術作品也自然地引發了很多數學研究。盡管幾乎可以肯定她不了解所謂的包絡線算法，但她的眾多作品卻可通過這一算法進行分析。當我們通過數學視角觀察她的作品時，我們不僅可以更進一步地理解昆茨的具有遠見的創作，同時也可以更好理解包絡線算法。

參考文獻

[1] Karin Althaus and Sebastian Schneider. World receivers. Available at https:// www. lenbachhaus.de/en/program/exhibitions/details/ world-receivers, 2018. Accessed July 26, 2024.

[2] Kelly Bickel, Pamela Gorkin, and Trung Tran. Applications of envelopes. Complex Analysis and Its Synergies 6:1 (January 2020), Paper No. 2, 14.

[3] Casey Cep. Why did so many Victorians try to speak with the dead? New Yorker, May 31, 2021. Available at https://www.newyorker.com/magazine/2021/05/31/why-did-so-many-victorians-try-to-speak-with-the-dead, 2021. Accessed June 16, 2024.

[4] R. Courant. Differential and Integral Calculus, volume 2. Wiley Classics Library, 2011.

[5] Dmitry Fuchs et al. Differential geometry of space curves: forgotten chapters. Math. Intelligencer 46.1 (2024), 9-21.

[6] Natalia Grabowska and Melissa Blanchflower. Emma Kunz. Visionary Drawings. Serpentine Gallery. Available at https://www.serpentinegalleries.org/whats-on/emmak unz-visionary-drawings-exhibition-conceived-christodoulos-panayiotou/, 2019. Accessed November 11, 2024.

[7] Karl E. Gustafson and Duggirala K. M. Rao. Numerical Range, Universitext. Springer, 1997.

[8] Dan Kalman. Solving the ladder problem on the back of an envelope. Math. Mag. 80:3 (2007), 163-182.

[9] Anton C. Meier. Emma Kunz 1892-1963. Emma Kunz Zentrum, 2004.

[10] Hans Ulrich Obrist and Melissa Blanchflower, curators, MuzeumSusch. Emma Kunz, Visionary Drawings. Available at https://www.muzeumsusch.ch/en/1159/Emma-Kunz-Visionare-Zeichnungen, 2021. Accessed June 15, 2024.

[11] Gregory Quenell. Envelopes and string art. Math. Mag. 82:3 (2009), 174-185.

[12] Dan Romik. The moving sofa problem. Numberphile. Available at https://www.youtube.com/watch?v=rXfKWIZQIo4, 2016. Accessed July 4, 2024.

[13] Peter Schjeldahl. Harald Szeemann's revolutionary curating. Available at https://www.newyorker.com/magazine/2019/07/22/harald-szeemanns-revolutionary-curating, 2019. Accessed August 4, 2024.

[14] Zachary Small. After the sudden heralding of Hilma af Klint, questions and court fights. Available at https://www.nytimes.com/2023/08/28/arts/design/hilma-af-klint-legacy.html, 2023. Accessed August 4, 2024.

[15] Victoria Zárate. Emma Kunz: the artist and healer who may have predicted the atomic bomb. El Pais. Available at https://english.elpais.com/culture/2022-03-02/emma-kunz-the-artist-and-healer-who-may-have-predicted-the-atomicbomb.html, 2022. Accessed June 14, 2024.

本文基于知識共享許可協議（CC BY-NC）譯自Dhar, S., Gorkin, P. & Jeffrey, S. The Mathematics Behind a Visionary Artist: The Envelopes of Emma Kunz. Math Intelligencer (2025).
https://doi.org/10.1007/s00283-024-10402-w

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