四面體：最極限的穩(wěn)定挑戰(zhàn)

四面體是最簡單的多面體形狀——它僅由四個三角形的面組成。然而，這個簡單的形狀，卻依然籠罩著許多未解之謎。

例如，1966年，著名數(shù)學家約翰·康威（John Conway）與理查德·蓋伊（Richard Guy）就共同提出一個問題：是否有可能用一種密度均勻的材料構造出一個四面體，使其只能在其中一個面上保持平衡？這種無論以哪個姿態(tài)落地，最終都會翻轉到那個唯一穩(wěn)定的面的四面體，被稱為單穩(wěn)態(tài)四面體（monostable tetrahedron）。

幾年后，康威與蓋伊親自給出了答案：在重量均勻分布的前提下，是不可能構造出這樣的四面體的。之后，他們拋出了一個新的問題：如果允許重量不均勻分布，又會怎樣呢？

近日，一項新的研究首次展示了這種單穩(wěn)態(tài)四面體的首次實物驗證。由于它獨特的“自動翻正”特性，研究人員依據(jù)匈牙利語中意為“傾倒”的“billen”，為它取了名為“Bille”的綽號。

從康威的設想到理論驗證

在康威提出這個問題的時代，他所能依靠的工具只有筆和紙，因此他只能通過抽象的數(shù)學推導，來設法證明單穩(wěn)態(tài)四面體可能存在。但要真正找到一個具體的實例，幾乎難如登天。

但現(xiàn)在，數(shù)學家們可以利用計算機對海量的幾何形狀進行搜索。2023年，數(shù)學家Gábor Domokos與他的合作者通過計算機程序找到了一個滿足條件的四面體，其四個頂點的坐標明確可知，只要對其質量分布進行特定配置，就能使其成為一個單穩(wěn)態(tài)四面體。

在找到了一個單穩(wěn)態(tài)四面體的實例后，研究人員想知道，這是否意味著還有其他可能的形狀也具備這種特性？于是他們在后續(xù)的研究中進一步證明了：只要一個四面體具備特定幾何特征，并且其質心恰好落在原始四面體內部的一個被稱為“載荷區(qū)”的區(qū)域內（一種體積更小的四面體區(qū)域），它就可以實現(xiàn)單穩(wěn)態(tài)。

首個單穩(wěn)態(tài)四面體模型：Bille！

接下來，研究人員并不滿足于這樣的單穩(wěn)態(tài)四面體只存在于理論，而是想要把它們變成真實存在的物體。可是，當他們付諸行動時，才發(fā)現(xiàn)在抽象的數(shù)學世界中，要在四面體的“載荷區(qū)”和其余部分之間實現(xiàn)不同的重量分配并不困難，但在現(xiàn)實世界中卻面臨巨大挑戰(zhàn)。

這是因為，盡管理論上存在多個可行的單穩(wěn)態(tài)四面體，但其中有些方案在物理上幾乎無法實現(xiàn)，因為它們對材料密度的要求過高——甚至超過太陽核心的密度。

在經過進一步的重重搜索后，他們聚焦于一種相對可行的單穩(wěn)態(tài)四面體形狀。但即使如此，這個四面體中某個部位的密度也必須是其他部分的約5000倍。此外，所用材料還必須足夠堅硬——如果采用輕薄、容易彎曲的材質，就會破壞整體結構的穩(wěn)定性。

最終，他們設計出了一個基本中空結構的四面體：主體由輕質碳纖維骨架構成，僅在一小部分加入了比鉛還致密的碳化鎢。為了最大限度地降低其余部分的質量，甚至連碳纖維本身都被設計成中空的。

依據(jù)這個藍圖，他們終于展示了首個成功的單穩(wěn)態(tài)四面體模型——Bille：它重120克，最長邊長達50厘米。為了確保它能正常運作，制造過程中所涉及的質量與尺寸誤差都控制在0.1克和0.1毫米以內。最終，他們的實物模型成功實現(xiàn)了預期功能：不管從哪個角度放置，它都會翻轉回唯一穩(wěn)定的那一面。

只能穩(wěn)定停留在一個面上的四面體。（視頻/Gábor Domokos via QuantaMagazine）

Bille的問世，讓康威的猜想最終得到了證實。

Bille的意義

一個物體的面數(shù)越少，想讓它從任意方向都能回到同一面就越困難。因此，作為所有多面體中面數(shù)最少的形式，四面體被視為單穩(wěn)態(tài)結構中最具挑戰(zhàn)性的形狀。在這一領域，沒有比讓四面體實現(xiàn)單穩(wěn)態(tài)更難的問題了。如果能在四面體上實現(xiàn)這一點，就有望按同樣原理在任意多面體上構建類似結構。

目前，研究人員尚不明確單穩(wěn)態(tài)四面體究竟能帶來哪些新的理論見解，但圍繞它進行的實驗，或許能激發(fā)數(shù)學家提出更多關于多面體的有趣問題。與此同時，這一突破為結構設計開辟了新路徑，研究人員正嘗試將他們在構造過程中的經驗應用到工程實踐中，例如幫助設計具備自我翻轉能力的月球著陸器——即使摔倒，也能自動恢復到正常姿態(tài)。

#參考來源：

https://www.bme.hu/en/news/250630/bille-monostable-tetrahedron-gabor-domokos-gergo-almadi

https://www.quantamagazine.org/a-new-pyramid-like-shape-always-lands-the-same-side-up-20250625/

#圖片來源：

封面圖&首圖：Gábor Domokos