摘要

供應鏈對現代生產至關重要，但其關鍵特性仍缺乏充分研究。本文提出了一種具有隨機生產能力的模型，分析物料流向根節點的情況，重點關注網絡拓撲結構（Network topology）和緩沖庫存（buffer stocks）。通過數值模擬“臨界需求”，即系統無法滿足需求并出現顯著缺口的情況。研究表明在沒有庫存的情況下，系統的運作由最低生產能力決定，此時網絡拓撲結構變得無關緊要。然而，當引入庫存后，系統會出現“記憶效應”，使得網絡拓撲結構變得至關重要。因此，增強局部連接性是有益的：企業應優先選擇“寬而短”而非“長而窄”的供應鏈結構。

關鍵詞：供應鏈、隨機模型、物料流、臨界需求、緩沖庫存、網絡拓撲結構、系統臨界行為

Yannick Feld、Marc Barthelemy丨作者

趙思怡丨譯者

周莉丨審校

論文題目：Critical Demand in a Stochastic Model of Flows in Supply Networks 論文地址：https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.134.217401 論文來源：Physical Review Letters

引言

在全球化進程不斷深化與產業鏈高度互聯的背景下，供應鏈已成為現代生產體系中不可或缺的關鍵基礎設施。其運行穩定性不僅關系到企業的持續運營，更直接影響國家層面的經濟安全。然而，近年來一系列突發事件——如 COVID-19 疫情引發的全球供應鏈中斷、俄烏沖突對能源和糧食流通造成的沖擊——暴露出當前供應鏈在面對突發需求激增時所存在的系統性脆弱（systemic fragility）。

正如《Physics》雜志《FOCUS》欄目文章 “How to Make Supply Chains More Resilient”（作者 Mark Buchanan）所指出：

“在需求顯著增長時，那些允許儲存冗余物資、且具備多條冗余路徑的供應鏈表現更為穩健。”

這一觀點印證了學界當前的共識：傳統以效率最大化為目標的供應鏈優化模型，在解釋系統在非穩態條件下的臨界行為方面存在明顯不足。現實中，許多企業廣泛采用“準時制交付”（just-in-time delivery）策略以降低庫存成本，但在面對超出常規的需求峰值時，這類高度精簡的網絡往往缺乏足夠的冗余與緩沖能力，從而導致系統失穩甚至崩潰。

為填補理論與現實之間的這一空白，Barthelemy 和 Feld 提出了一種基于隨機生產能力的物料流模型（stochastic model of material flow），首次系統性地將網絡拓撲結構與緩沖庫存兩個關鍵因素納入分析框架，研究它們如何共同影響供應鏈在臨界狀態下的表現。本文將以該模型為基礎，深入探討在不同網絡結構與庫存策略下系統臨界行為的演化機制，旨在為復雜供應鏈的優化設計與風險防控提供堅實的理論支撐與具有操作性的策略建議。

背景

供應鏈對現代生產至關重要，進而對整個社會也極為關鍵 [1,2,3]。企業依賴于及時交付的輸入材料——例如螺絲工廠需要金屬原料——來維持生產。這些輸入可以存儲在緩沖庫存中，也可以通過準時制方式直接交付 [4,5]。緩沖庫存提高了抗沖擊能力，但也增加了成本，因此在效率和抵御中斷之間存在權衡，這也是供應鏈優化中的關鍵因素。供應鏈通常通過流動方程建模，其中節點代表企業或倉庫，連線代表產品流動 [1,2]。這些模型通常通過變分不等式來求解最優的成本效率 [1,2,6]。雖然這些模型在管理中很有效，但它們無法深入揭示系統對擾動響應的行為，這些響應可能從小幅延誤 [7] 到嚴重危機 [8] 不等。一個關鍵問題是：系統能否吸收擾動，還是會引發連鎖故障[9,10]。

復雜的現實世界模型 [11,12] 往往掩蓋了背后的韌性原則，Moran 等人 [13] 最近提出了一個隨機模型來研究動態拓撲下供應鏈中的延遲傳播，揭示了一個重要現象：當系統延遲超過某一閾值時，會出現“臨界行為”，即延遲快速放大，但該模型未納入需求和庫存等關鍵因素。本文提出了一個用于分析供應鏈中物料流的隨機模型，研究一個向消費者銷售產品的根節點企業。本模型重點分析了隨機供應波動（stochastic supply fluctuations）如何影響物料流動，特別是緩沖庫存如何左右系統的動態行為。我們將聚焦于臨界需求速率*，即一旦超過此速率，系統將進入無法滿足客戶需求的狀態。庫存引入了“記憶效應”，根據統計物理的經驗，庫存引入“記憶效應”會顯著改變系統狀態，從而顯著影響臨界需求速率*。通過研究網絡拓撲結構如何影響這一臨界速率，我們的目標是找出構建韌性供應鏈的設計原則。

模型

我們提出的基本假設是：物料流動網絡可以表示為一個有向無環網絡（Directed Acyclic Network）[14–17]。這意味著網絡中不存在任何節點能夠成為其自身的祖先（詳見[20]）。值得注意的是，這一假設排除了諸如回收、翻新等具有反饋路徑的過程 [18,19]。整個網絡拓撲結構由一個包含N個節點（企業）的列表來表示。每個節點i都有一個“父節點列表”Pi（即其直接客戶）和一個“子節點列表”Ci（即其直接供應商）。我們關注某一特定產品的流動，該產品僅由唯一的根節點企業i=0生產并銷售給外部客戶。該根節點是網絡中所有其他節點的共同祖先。它面臨一個外部需求D0，即來自最終客戶的訂單量。在每一個時間步t，根節點的需求D0(t)由前一時間步未滿足的需求u(t?1)和當前新增的固定需求r組成：

我們假設r是恒定不變的。對于任意企業i，其需求Di表示其需從所有子節點獲取的產品總量。注意此處的數量單位是任意的，例如一次需求“1”可能代表從子節點A請求三噸產品、從子節點B請求十克產品。每家企業i可以為其子節點l維持一定庫存kil(t)，庫存上限為s，我們假設所有企業的庫存容量相同。如果當前庫存kil(t)小于企業i的需求Di(t)，則該企業將向其子節點追加訂購：

這一機制驅動著需求在網絡中的傳播。除根節點外的所有非根節點0"},"displayMode":"inline","viewType":"inline"}}">i>0的需求，由其所有父節點發出的訂單總和決定：

由于實際限制因素（如生產線數量、員工病假、設備維護等），每個企業在時間步t的最大生產能力為mi(t)，這是其當期可生產的最大產量。我們假設所有mi(t)獨立且服從區間[0,1]上的均勻分布，并在每個時間步重新隨機生成，即采用“退火” (annealed) 設定。對于沒有子節點的葉節點，其實際產量為：Ii(t)=min?[mi(t),Di(t)]，即不超出自己的最大產能，也不多于接收到的訂單。對于其他有子節點的企業i，其產量還受到子節點產品可用性的限制，這些包括來自子節點l的交付量ail(t)和當前庫存kil(t)。因此其產量為：

每家企業在t時刻能夠供應給其父節點（客戶）的產品總量顯然不能超過其實際產量Ii(t)。如果企業有多個父節點，它需要決定如何將產量分配給各個客戶。我們假設這種分配按各父節點在其總需求中的占比進行，即：

接下來，每個節點i會嘗試將未使用的產品繼續存儲，以供未來使用。由于每類產品的最大庫存為s，因此更新規則為：

根節點未滿足的需求為：u(t)=D0(t)?I0(t)。由于網絡是無環的，我們可以根據上述公式給各節點排序，以確保模型的可計算性。我們在[20]中提供了偽代碼，并在圖 1 中展示了模型的關鍵交互機制。本模型的核心問題在于探索其臨界行為，即找出臨界需求速率r = r*，一旦超過此值，未滿足需求u會在平均意義上不斷增長（關于如何測量r*詳見[20]）。該增長表明供應鏈已經無法滿足外部需求。我們特別關注r*如何隨網絡拓撲結構變化而改變。

圖1：動態機制的示意圖。（a）展示了一個小型示例網絡，包含一個根節點 i = 0 、一個中間節點 i = 1 和一個葉節點 i = 2 ，圖中可視化了需求與產品的流動過程。（b）展示了任意節點i的局部放大圖，該節點具有父節點j和子節點l，圖中展示了產量Ii如何由需求、隨機生產能力mi、來自子節點的交付量ail以及庫存kil共同決定。

無庫存

我們首先在無庫存（即s = 0）的極限條件下研究該模型，此時所有庫存kij(t)始終為0。我們記Ci為節點i的所有后代（descendants）集合，包括所有直接或間接影響其生產的節點。我們聚焦于一種特殊情形：所有節點除了根節點外均只有一個父節點，這意味著所有節點的需求Di相同，且若l是i的子節點，則ail(t) = Ii(t)。此時，產量公式（見前文公式（4））變為：

在一個簡單的一維鏈結構（one-dimensional structure）中，除葉節點外，每個節點i恰有一個子節點l = i + 1。當需求足夠大時，最小值中的Di項可以忽略（見前文公式4、7），因此節點i的平均產量 〈li〉約等于N - i個獨立同分布的 [0,1] 區間均勻變量的最小值的期望值。該值在統計學中是已知的，其表達式為：

這意味著，某節點的產量僅取決于它距離葉節點的距離。顯然，臨界需求速率r*就是根節點i = 0的平均產量，因此：

需要注意的是：這個公式對所有樹狀網絡都成立，只要每個節點最多只有一個父節點[20]。有趣的是，在一維鏈結構的淬火情形（quenched case）下，所有mi固定不變，根節點需求的演化由如下隨機微分方程控制：

這個公式清楚地說明了，生產瓶頸由最小的生產能力mi所決定。

非零庫存

我們現在研究庫存容量非零（ 0"},"displayMode":"inline","viewType":"inline"}}">s > 0）的情況，此時系統具有一定的“記憶”，使得分析變得更復雜。在一維鏈結構下可以得到一些解析結果[20]，但我們主要通過數值模擬研究模型行為 [21]。為考察庫存容量s的影響，我們測量不同節點數量N下的臨界需求速率r*（在固定s的條件下）。需要指出的是：由于某節點的祖先不會影響其動態，因此在一維鏈中，平均產量僅與其距離葉節點的距離相關。

我們發現，對于大的N，數據可以很好地擬合如下冪律形式（power law）：

其中α、β和c為擬合參數，依賴于庫存容量s。圖 2 展示了這一結果。為減小有限規模效應，我們僅使用N≥400的數據進行擬合。

圖2： 對于不同庫存容量 s 的單鏈結構，臨界需求速率 r* （減去常數 c 后）隨節點數量 N 變化的數值結果。圖中符號表示測量數據，實線為對公式 (11) 的擬合結果，而虛線表示無庫存情況下的理論值（即公式 (9)）。圖中顯示的小圖直觀地表示本圖描述的是單鏈結構。插圖展示了擬合所得指數β隨 s 的變化關系。所有擬合的決定系數 R2 均大于 0.998，表明擬合質量良好。

與無庫存情況一樣，增加節點數量N會降低臨界需求速率r*，因為依賴關系越多，系統越容易阻塞。當N = 1時，庫存無影響，此時r* = 1/2。但當N增大時，庫存容量s的提升會顯著提高r*，因為庫存可以緩沖供給波動（即緩沖kil的波動）。我們強調，庫存不僅改變了冪律函數的前因子，還改變了指數本身，從根本上改變了系統行為。這一效應在長鏈式供應鏈中尤為顯著，此時引入庫存將帶來顯著優勢。

當 s→0 時，我們恢復無庫存情形的結果[20]，即： β→1 ， α→1 ， c→0 。對于非常大的 s ，我們預期 r*→1/2 ，因為過剩的產量會被儲存，從而節點平均產量趨于1/2。不過，如果系統初始時庫存為空，實現穩定產量需要一定時間，其所需時間取決于鏈的長度。我們的大規模數值模擬結果支持這一結論[20]。然而，一旦網絡中存在多父節點的情形（如：某節點有多個客戶），這一行為將發生變化，因為其產出必須在多個客戶之間分配。接下來的分析中，我們將主要聚焦在庫存容量為 s=1 的情形。

開放與封閉鏈結構

我們現在研究一種開放鏈結構，即從根節點出發，有z0條長度相同的鏈。我們定義節點j的高度為從該節點到根節點的最短路徑所經過的節點數。因此根節點的高度為h = 1，而整個網絡的高度定義為所有節點中最大的高度。

我們測量不同z0和不同高度h下的臨界需求速率r*，并使用先前的冪律擬合函數（公式 (11)）進行擬合（詳細見[20]）。結果基本表明：當網絡中鏈的數量增加時，系統的臨界需求速率r*會下降，這也符合直覺，因為更多的鏈意味著更多的依賴路徑，從而可能產生更多瓶頸。

對于封閉鏈結構，我們假設所有這些鏈最終匯聚至某個共同的節點θ，并向該節點再連接一條新鏈，以改變節點θ到葉節點之間的距離。該結構最重要的拓撲特征是：多個節點共享同一個供應商θ。由于θ的產品需分配給z0個父節點，因此系統的臨界產能受到限制，其上限為：，也就是說：整個網絡無法滿足的需求超過了θ節點產能在所有父節點之間的分配份額時，系統將無法穩定運作。

規則樹結構

我們現在轉向研究一種規則樹結構，即每個節點向下分出z個子節點，直到樹的最大高度h為止。我們通過數值模擬發現，在可計算范圍內，臨界需求速率r*能很好地被以下函數描述：

其中α、β和c是依賴于子節點數z的擬合參數。當z = 1時，該公式自然退化為一維鏈的情況（見公式 (11)），說明它具有一致性。

為檢驗上述函數形式，我們注意到，如果該表達式成立，那么繪制以下變換后的數據：

對比h應當得到一條直線y = x。圖 3 展示了實際數據的對比結果，我們看到不同z和h的數據成功對齊，驗證了擬合函數的合理性（擬合參數詳見[20]）。我們進一步觀察到：

• 隨著子節點數z的增加，指數β也會增加。這說明更多的子節點意味著更多的依賴關系，從而降低了系統的臨界產能；

• 常數項c基本保持不變，表明當節點數量N→∞時，所有規則樹趨向相同的臨界需求速率r*；

• 對于s = 1的情況，規則樹的r*遠大于一維鏈，但由于樹的節點數隨z指數增長，該結論較難在大z下驗證。

圖3：我們在此展示了通過將公式 (12) 擬合到不同正則樹結構（由子節點數z和高度h定義）下數值測量得到的臨界需求速率r*所獲得的數據坍縮結果。所有擬合的決定系數R2均大于 0.999。圖中所示的小型網絡是一個視覺輔助，用于表明本圖描述的是樹狀結構。插圖為完整起見展示了r*隨h的變化情況。

隨機樹結構

我們現在考察樹結構中的隨機性對系統性能的影響，方法是對比一棵規則樹與一棵具有相同節點數量的隨機樹。為了生成具有N個節點的隨機樹，我們從根節點（層數為 1）開始構建。對于當前層的每個節點，從預定義集合（如{1, 2, 3}）中隨機選擇其子節點數量，并逐一添加。這個過程層層遞進，直到添加更多節點會超過總數N為止，從而確保最終的樹結構恰好有N個節點。我們用以下指標來量化隨機性對性能的影響：

• 若 0"},"displayMode":"inline","viewType":"inline"}}">Δ r* > 0，表示規則樹的平均產能更高；

• 若Δ r* < 0，說明隨機樹表現更優。

圖 4 主圖顯示了不同子節點選擇范圍下的 0\"},\"displayMode\":\"inline\",\"viewType\":\"inline\"}}","style":"font-size: 15px"},"namespaceURI":"http://www.w3.org/1999/xhtml"}]">Δ r*分布密度函數。結果如下：

• 若隨機樹的本地連接度為z∈{1, 2}，性能通常劣于規則樹；

• 若z∈{2, 3}，則隨機樹始終優于規則樹；

• 若z∈ {1, 2, 3}，性能介于上述兩者之間。

這些結果表明，一般而言，避免線性段，并盡量將后代節點靠近根節點是有益的。

圖4：在主圖中，我們展示了在不同子節點數z分布下，通過數值模擬得到的臨界需求差異Δr*的概率密度ρ(Δr*)（最大庫存容量為s=1）。對于每種概率密度，我們生成了8×105棵獨立的隨機樹，并測量了它們各自的臨界需求速率r*，從而構建直方圖。紫色柱狀圖對應z∈{1, 2}，綠色柱狀圖對應z∈{1, 2, 3}，藍色柱狀圖對應 z∈{2, 3}。所有使用的樹結構均包含恰好N=63個節點，對應高度h=6。插圖展示了在不同最小樹結構（僅包含根節點及其z0個子節點，即N=z0+1）下，庫存s對生產差異影響的測量結果。

為了進一步探討這個現象，我們比較兩種極端結構：

1. 一棵樹，其根節點擁有N - 1個直接子節點（“扁平結構”）；

2. 一條長度為N的線性結構（“長鏈結構”）。

在相同的最大產能條件下，我們施加一個大于 1 的根節點需求（確保系統不是因需求太小而受限，具體細節見[20]），并測量樹結構相對于線性結構的產量增益：

圖 4 插圖顯示了不同庫存容量s下的：

• 當s = 0（無庫存）時， = 0，符合預期：此時系統性能僅取決于節點數量，與結構無關；

• 對所有 0"},"displayMode":"inline","viewType":"inline"}}">s > 0， 0"},"displayMode":"inline","viewType":"inline"}}">> 0，并隨著z0增加而增長，說明“樹狀結構”比“線性結構”更具優勢；

• 當s繼續增加時，在s≈0.315達到峰值；

• 對于非常大的s， → 0，因為此時庫存無限大，產能不會浪費，結構差異影響減弱。

因此，在樹狀網絡中，只要需求不是限制因素，平均產量趨近于系統最大產能，即1/2。

結語

本文提出了一個用于供應鏈網絡中物料流動的隨機模型，并重點研究了系統的臨界需求速率r*。在無庫存（s = 0）的情況下，我們通過解析推導發現臨界需求速率r*很簡單，僅取決于節點數量N，與網絡拓撲結構無關，只要每個節點至多只有一個父節點即可。

而在引入庫存（ 0"},"displayMode":"inline","viewType":"inline"}}">s > 0）后，系統表現出記憶效應，使得動態行為更加復雜，網絡拓撲結構開始發揮重要作用。除了[20]中提到的某些特例外，這一情況下的系統行為變得難以解析，我們主要依賴數值模擬進行研究。庫存不僅改變了臨界需求的前因子，還改變了指數本身，徹底改變了系統的動力學特性。對于真實世界的供應鏈，哪怕是適度的中間庫存，也能顯著提升長鏈系統的魯棒性和韌性，應優先考慮，而非一味追求準時制交付。

我們研究了多種具有代表性的拓撲結構，從一維鏈、多鏈，到規則樹與隨機樹。數值結果表明：

• 將節點盡可能靠近根節點是有益的；

• 相較于“長而窄”的鏈式結構，“寬而短”的樹狀結構更具優勢；

• 若某個節點具有多個父節點（即多個客戶），其產量需在這些客戶之間分配，將顯著降低整體系統的臨界需求速率r*，因此這類結構應謹慎使用。

此外，我們還提出了幾個值得未來研究的擴展方向：

1. 令某節點的最大產能依賴其父節點數量，以揭示更多結構效應；

2. 將固定需求率r替換為隨機變量，以研究需求波動對系統的影響；

3. 引入節點產能之間的相關性（如共同能源成本等），以更貼近現實世界供應鏈。通過設定一個控制參數，可以系統性地分析這些相關性對臨界行為的影響。

參考文獻

[1] A. Nagurney, M. Yu, A.H. Masoumi, and L.S. Nagurney, Networks Against Time, 1st ed. (Springer, New York, NY, 2013).

[2] A. Nagurney, Labor and Supply Chain Networks, 1st ed. (Springer, Cham, 2023).

[3] A. Nagurney, D. Hassani, O. Nivievskyi, and P. Martyshev, Multicommodity international agricultural trade network equilibrium: Competition for limited production and trans portation capacity under disaster scenarios with implications for food security, Eur. J. Oper. Res. 314, 1127 (2024).

[4] A Journey through Manufacturing and Supply Chain Strategy Research, edited by E. Bartezzaghi, R. Cagliano, F. Caniato, and S. Ronchi (Springer, Cham, 2016).

[5] K. Katsaliaki, P. Galetsi, and S. Kumar, Supply chain disruptions and resilience: A major review and future research agenda, Ann. Oper. Res. 319, 965 (2022).

[6] J. Dong, D. Zhang, and A. Nagurney, A supply chain network equilibrium model with random demands, Eur. J. Oper. Res. 156, 194 (2004), eURO Excellence in Practice Award 2001.

[7] C. Colon and M. Ghil, Economic networks: Heterogeneity induced vulnerability and loss of synchronization, Chaos 27, 126703 (2017).

[8] P. Caraiani, A. M. Dima, and C. P?un, T. Stamule, and M. V. Vargas, Production networks and resilience: How dense production networks shield economies in financial crisis, PLoS One 19, 1 (2024).

[9] S. Battiston, D. Delli Gatti, M. Gallegati, B. Greenwald, and J. E. Stiglitz, Credit chains and bankruptcy propagation in production networks, J. Econ. Dyn. Control 31, 2061 (2007), tenth Workshop on Economic Heterogeneous Interacting Agents.

[10] E. J. Hearnshaw and M.M. Wilson, A complex network approach to supply chain network theory, Int. J. Oper. Prod. Manage. 33, 442 (2013).

[11] Sustainable Supply Chains: Strategies, Issues, and Models, 1st ed. (Springer, Cham, 2020).

[12] T. Sawik, Stochastic Programming in Supply Chain Risk Management, edited by U. Ramanathan and R. Ramanathan (Springer, Cham, 2024).

[13] J. Moran, M. Romeijnders, P.L. Doussal, F.P. Pijpers, U. Weitzel, D. Panja, and J.-P. Bouchaud, Timeliness criticality in complex systems, Nat. Phys. 20, 1352 (2024).

[14] M.J. Meixell and V.B. Gargeya, Global supply chain design: A literature review and critique, Transp. Res. Part E 41, 531 (2005).

[15] R. Wiedmer and S.E. Griffis, Structural characteristics of complex supply chain networks, J. Bus. Logist. 42, 264 (2021).

[16] T. Kito, A. Brintrup, S. New, and F. Reed-Tsochas, The structure of the toyota supply network: An empirical analysis, Sa?d Business School WP 2014-3 (2014), https:// papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=2412512.

[17] S. S. Perera, M.G.H. Bell, M. Piraveenan, D. Kasthurirathna, and M. Parhi, Topological structure of manufacturing industry supply chain networks, Complexity 2018, 3924361 (2018).

[18] M. Fleischmann, H.R. Krikke, R. Dekker, and S.D.P. Flapper, A characterisation of logistics networks for product recovery, Omega 28, 653 (2000).

[19] D. Francas and S. Minner, Manufacturing network con figuration in supply chains with product recovery, Omega 37, 757 (2009), role of Flexibility in Supply Chain Design and Modeling.

[20] See Supplemental Material at http://link.aps.org/ supplemental/10.1103/PhysRevLett.134.217401 for addi tional results and figures.

[21] A.K. Hartmann, Big Practical Guide to Computer Simu lations, 2nd ed. (World Scientific, Singapore, 2015).

[22] https://cland.lsce.ipsl.fr

參考文獻可上下滑動查看

金融復雜性讀書會

當前，全球金融系統正遭受多重不確定性沖擊，如氣候風險加劇、中美貿易摩擦及俄烏沖突等，導致金融系統復雜性與不確定性達到前所未有的高度。在金融復雜系統中，市場、機構及異質利益相關者的行為呈現非線性與網絡化特征，常引發意想不到的結果。

正如“知己知彼，百戰不殆”所言，我們需系統探究金融復雜系統的理論基礎、量化識別方法、生成演化機制及風險治理路徑，以更有效地認知、建模與決策。為此，集智俱樂部聯合北京師范大學李紅剛教授、愛爾蘭都柏林圣三一學院Brain Lucey教授、中國地質大學（北京）黃書培副教授、首都師范大學王澤講師、北京林業大學幸小云副教授及北京化工大學王欣雅副教授，共同發起。讀書會自2025年8月4日起，每周一19:00-21:00舉行，預計持續10周。歡迎掃碼加入，共建“金融復雜性”社區。

詳情請見：

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.