女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

許多瓷磚在它們自己的邊界內都有設計，即便瓷磚內部發(fā)生的事情并不影響相鄰瓷磚的拼接，但這種設計可以極大地改變瓷磚拼接時產生的圖案的外觀。例如，許多方形的浴室瓷磚的圖案都橫跨其中一個邊緣，有的甚至簡單到只有一條線。這些瓷磚可以全部以相同的方式定向，并反復拼裝，以填充一個表面，也可以以各種方式轉動，然后拼裝，如下圖。正是瓷磚的組合方式和每個位置所產生的對稱性導致了整體設計的產生。

對稱是一種組織設計中重復部分的系統(tǒng)。在平面設計中，有17種方法可以將重復的部分排列起來，以填充一個曲面（二維設計）。有7種方式可以排列部件以創(chuàng)造一個線性圖案（一維設計）。當這24種方式加在一起時，是所有表面裝飾圖案的基礎，包括墻紙、紡織品、被子和平面設計。

對稱性和鑲嵌性不可避免地交織在一起，對其中之一的理解會導致對另一個的更好理解。一維和二維對稱性的原理可以通過練習的形式呈現(xiàn)，讓你可以進行對稱性的實驗。通過使用紙、剪刀和膠帶，你將以不同的方式移動形狀，看看它們是如何結合在一起創(chuàng)造出對稱的圖案的。如果你做每一個練習，你會學得更輕松、更快速，因為它們有助于澄清概念并給你帶來直接的結果。當你身體力行時，你會看到對稱的原則是多么令人興奮，特別是當你能夠將它們應用到你自己的藝術作品中時。

無論你的設計興趣是什么，這些簡單的練習將讓你發(fā)現(xiàn)一個單一主題可以通過在表面上移動的方式來改變的多種方式。

理解對稱性是很重要的，因為這將使理解創(chuàng)造鑲嵌設計的原理變得容易得多。你也將有知識創(chuàng)造更多的設計，通過應用各種對稱到你創(chuàng)造的鑲嵌。

花時間仔細閱讀，研究插圖，完成練習，最重要的是，享受運用你學到的一切來豐富你自己的設計。

《城堡要塞》，Jinny Beyer，1981年

這床被子是傳統(tǒng)對稱(P4m)對稱的一個例子。

對稱性導論

圖案和對稱與節(jié)奏和交流一樣古老，存在于每一種文化中，無論多么原始。對稱圍繞著我們，無論是在我們的環(huán)境中自然發(fā)生的，還是由人類的頭腦和手創(chuàng)造的。對稱創(chuàng)造了圖案。這是一個基本的組織原則，一個由重復部分組成的系統(tǒng)形成了一個設計。當一個非對稱的主題(一個晶格單元)重復形成一個圖案時，對稱就開始了。圖案如何重復決定了圖案的外觀，單個單元可以以多種方式重復，產生許多不同的設計。對對稱性的清晰理解是創(chuàng)造鑲嵌圖案的關鍵。

圖2.1 在織物中發(fā)現(xiàn)的圖案的例子。

圖案

圖案是重復部分的組織或排列。在自然、藝術和音樂中，一種圖案依賴于三個特征:一個單一的部分或單元，該部分的重復，以及組織這些重復部分的系統(tǒng)。研究一下這一頁上的照片就會發(fā)現(xiàn)，每張照片中都有一個重復形成某種圖案的部分或單元。任何時候一個單元格或一個部分被重復多次，都會有一個圖案。

自然界充滿了奇妙的圖案和設計。出去散步時，你可能會在樹葉、樹木、花朵和巖石上辨別出圖案。動物會自然形成一種圖案——鳥類編隊飛行，魚類在池塘游泳，或者成群結隊地保護自己。一些與生俱來的本能導致它們以對稱的方式行事。蝴蝶的翅膀形成一個圖案，因為一個翅膀是另一個的鏡像；當水晶重復時，雪花形成美麗的圖案；樹枝上的葉子以重復的方式生長。

圖案和裝飾品與創(chuàng)造一樣古老，圖案的再現(xiàn)在整個人類歷史上一直是一個基本的設計原則，經常受到自然界中發(fā)現(xiàn)的美麗圖案的啟發(fā)。看看你的家。東方地毯上有圖案，有一塊布料，有墻紙，有鍵盤上按鍵的排列，有窗戶上的玻璃窗。對建筑的研究，無論是歷史的還是現(xiàn)代的，都揭示了重復的部分，形成了令人賞心悅目的圖案。

織物上的圖案通常由重復的元素組成。事實上，許多織物都是這樣設計的，即重復的元素組合在一起形成一個整體圖案。如這里所示的織物所示，很難看出瓷磚在哪里貼合在一起。圖案的重復元素可以以不同的方式排列，以形成各種不同的圖案。主題重復形成圖案的每一種方式都是一種對稱。

對稱的圖案和設計在自然界、動物行為和建筑中隨處可見。花瓣，葉子，蝴蝶的翅膀，孔雀的羽毛，和雪花顯示出美麗的重復圖案。本能驅使動物在成群的鹿、鳥群和魚群中形成對稱的圖案。

學校主樓單元

圖2.2。Judy Spahn于1983年制作的 "黃房子 "是傳統(tǒng) "學校之家 "設計的變體。左邊是用于制作圖案的單體或主單元。

圖2.3。這里展示的是重復構成 "Castle Keep "設計的較小單元，以及構成重復拼塊的四對鏡像單元。

圖2.4. 傳統(tǒng)拼布被子 "Castle Keep "的細節(jié)。

在過去的25年里，隨著人們對手工藝興趣的復蘇，成千上萬的人在編織、各種紡織藝術和被子制作中嘗試了表面設計。

分析傳統(tǒng)的被子圖案是研究對稱性的一個很好的方法，因為大多數(shù)被子都是由多個重復形成設計的單個單元組成的。在傳統(tǒng)的校舍被塊中，塊本身就是重復形成設計的單個單元或單元。多個較小的單元首先形成塊的設計，然后塊在面組的表面上重復。

對稱的類型

對稱是基本的組織原則；它是一種排列重復部分以形成圖案的系統(tǒng)。有各種類型的圖案可以用對稱的運動來創(chuàng)造。水仙花、雛菊、吊燈或足球都有對稱性，但在表面設計中，有兩種對稱圖案需要研究。其中之一是創(chuàng)建一維線性或飾帶對稱圖案的運動，其中重復部分僅在一個方向上，如圖2.5和2.6所示。

另一種通過對稱運動創(chuàng)建的圖案是二維或墻紙設計，其中重復的部分在兩個方向上填充整個表面，如地板上的瓷磚、馬賽克壁畫或被子中的塊。請看圖2.7中的例子。

圖2.5 睡蓮的詳細資料，在拼布邊界和織物邊界上都具有線性對稱。

圖2.6 在印度阿格拉的泰姬陵的建筑細節(jié)中可以看到幾個一維對稱的例子。

圖2.7 二維對稱，來自泰姬陵的細節(jié)。

布料和墻紙的圖案

在現(xiàn)代印刷設備發(fā)明之前的幾個世紀里，織物的圖案是用木頭雕刻出來的，圖案的重復是經過精心設計的。將木塊浸入染料中，然后小心翼翼地將其印在布上，直到整個表面都被圖案所覆蓋，這就是費力地印制織物的方法。設計中的每種顏色都用一塊木版。木版畫在16世紀通過與印度的印花布貿易傳入歐洲人手中，這種技術被用于印刷布料和墻紙。

18世紀中期，銅版印刷首次用于布料上。在一塊大銅片上刻著一個圖案，這片銅片和布一樣寬，有一碼長。這種方法一次可以打印更大的表面，從而極大地加快了印刷過程。因為密鋪(平移單元)更大，所以在重復之前可以有更多的設計元素。限制是只能印刷一種顏色，所以木版印刷繼續(xù)用于多種顏色的圖案。

織物手工雕版印刷。這種織物正在晾著。大約在1800年。

蘇格蘭雕版，嵌有金屬，用于手工雕版織物。

19世紀初，滾筒印刷機的發(fā)明徹底改變了紡織業(yè)。在這種技術中，圖案被雕刻在圓柱形的銅輥上，這樣布料就可以連續(xù)印刷，不同的輥對應不同的顏色。拼塊的重復部分是裝在巨大機器上的滾筒的周長。

手工印刷的織物木版。Sanganar，印度。

生成對稱圖案的方法

有四種運動可以產生所有的線性和二維對稱性。這四種運動很容易記住，而且了解它們將有助于你設計所有對稱和鑲嵌的設計。

平移

第一種生成圖案的方法叫做平移。在平移中，主要單元是拼塊。它總是朝向同一方向，并橫向、縱向或對角線地移動，如圖2.21所示。

旋轉

第二種操作單元格的方法是旋轉。在旋轉中，主單元格被旋轉一定的次數(shù)，旋轉次數(shù)取決于主單元格的形狀和旋轉的角度。旋轉的次數(shù)取決于主單元的形狀和旋轉的角度。在旋轉中，單元格并沒有被翻轉，而只是轉動。在圖 2.22 中，等邊三角形旋轉了六次，形成了六邊形的拼塊。正方形旋轉了四次以創(chuàng)建正方形拼塊，菱形旋轉了三次以創(chuàng)建六邊形拼塊，矩形旋轉了兩次以創(chuàng)建正方形拼塊。在所有情況下，箭頭都表示旋轉發(fā)生的位置。

鏡像

從主單元生成圖案的第三種方法是通過鏡像。這也被稱為“反射”。在鏡像中，主像元的一面或多面被反射。當生成具有鏡像的圖案時，您需要創(chuàng)建主單元的兩個版本，一個是另一個的鏡像。想象你有兩個單元格在一塊透明的纖維上。以完全相同的方式將它們疊放在一起，像打開一本書一樣打開上面的那本書。想象一下側面有一個鉸鏈。本質上你是在移動單元，然后翻轉它。如果單元格水平移動，它會水平翻轉。(這被稱為垂直鏡像，因為鏡像線在垂直方向上延伸。)如果垂直移動，則垂直翻轉。(因為鏡像線在水平方向上延伸，所以稱為水平鏡像。)圖2.23中的示例顯示了在一側、底部、兩側和底部鏡像的主單元。虛線表示單元的鏡像位置。

滑移

從原始單元生成圖案的第四種方法是滑移。滑移是平移和鏡像(反射)的結合，因此通常被稱為滑移反射，但我發(fā)現(xiàn)更容易簡單地稱之為滑移。有三種滑移方式，水平滑移、垂直滑移和對角滑移。這些操作可以通過各種方式實現(xiàn)，但這才是最適合我的。對于水平滑移，單元格水平移動并垂直翻轉(2.24a)。隨著垂直滑移，單元垂直移動并水平翻轉(2.24b)。這與鏡子形成對比，在鏡子中，單元在移動時被翻轉到相同的方向。在對角線滑移中，翻轉(或反射)發(fā)生在單元的一個角上，然后移動單元，使其側面鄰接原始單元的兩個側面中與反射角(2.24c)相鄰的任一側面。在本文中，由于空間限制和互鎖圖案的相關性，我們只探索基于水平或垂直滑移的圖案，但是讀者應該知道，在基于滑移反射的對稱組中，可以通過主單元的對角滑移來實現(xiàn)附加圖案。

圖2.25 17個二維對稱組中的每一個的圖案。

圖2.26 七個線性對稱組中的每一個的圖案。

這四個操作——平移、旋轉、鏡像和滑移——以及它們的組合將產生7個線性或邊界對稱(也稱為飾帶對稱)和17個二維對稱(通常稱為墻紙對稱)。

圖2.25和2.26顯示了使用17個二維對稱和7個線性對稱創(chuàng)建的設計示例。對于一些圖案是如何產生的，這似乎是一個完整的謎，但是解決方案非常簡單。如果你多做練習，研究例子，用不了多久你就能看到一切設計，找到基本單元，并理解那個設計是如何產生的。更重要的是，你將能夠使用各種對稱操作來創(chuàng)建自己的設計。

二維對稱標簽

不同的作者和數(shù)學家用許多不同的方法來標記或命名這17個二維對稱群。下面的信息是因為當你開始學習對稱時，你可能想知道為什么對稱群被這樣標記。此時，不要試圖完全理解標簽系統(tǒng)。瀏覽這一部分，繼續(xù)讀后文，然后回來再讀一遍這一部分。在你詳細閱讀了每一個對稱群以及它是如何產生的之后，它會變得更有意義。

當我第一次開始研究對稱的時候，我發(fā)現(xiàn)標記系統(tǒng)讓人迷惑，而對我來說把我自己的標簽貼在組上要容易得多。就我如何操縱單元而言，我自己的標簽對我來說是最符合邏輯的，而且它們似乎讓我教的學生對對稱不那么困惑了。然而，隨著我對對稱組越來越熟悉，標準的標簽開始變得更有意義，我現(xiàn)在可以互換使用它們。這本書將使用標簽，我已附加到每個對稱組與縮短標準標簽旁邊列出在括號。

多麗絲·夏茨施耐德（Doris Schattschneider）在1978年為《美國數(shù)學月刊》85期撰寫的一篇題為《平面對稱群:它們的識別和記法》的文章中解釋了命名17個二維對稱群的記法系統(tǒng)，該系統(tǒng)已成為標準

該系統(tǒng)是晶體學家用來對晶體進行分類的二維對應系統(tǒng)，因此，17個壁紙對稱群有時被稱為二維晶體群。結晶學的記法是把圖案作為一個整體來看待，而不一定是各個部分。作為一個設計師，我更感興趣的是各個部分是如何創(chuàng)造圖案的。在許多情況下，創(chuàng)建同一圖案的方法不止一種，因此有時會造成設計者對結晶器符號的混淆。我在這里的目標是解釋這個符號系統(tǒng)，因為它對我來說是最有意義的，而且，這樣做也是為了讓其他對創(chuàng)建圖案感興趣的人明白。對于我可能在他們的標簽上采取的任何自由行為，我向晶體學家們表示歉意。我特別感謝凱文·李（Kevin Lee）和多麗絲·夏茨施耐德（Doris Schattschneider）對符號系統(tǒng)的幫助。

圖案的對稱組是對一個主單元所做的所有操作（平移、旋轉、鏡像、滑移）的組合，以創(chuàng)建一個拼塊，通過平移重復產生圖案，而符號系統(tǒng)則告訴了每個操作是什么。晶體學系統(tǒng)最多基于四個符號。下面解釋我對這些符號的解釋。其中許多符號已經被縮短，以產生現(xiàn)在最常用來描述這些對稱性的標準系統(tǒng)。

從標簽上從左到右，我的解釋如下:

1.所有組的第一個字母要么是p，要么是c。p代表原始單元(晶體學家稱之為原始單元)。c代表居中單元(我將其稱為交錯單元)，但它實際上仍然是一個初級單元格。

2. 第二個位置的數(shù)字表示對稱中旋轉的最高階數(shù)。在拼塊的成型過程中，旋轉發(fā)生在什么位置，由數(shù)字后面的字母決定。凡是數(shù)字后面直接有一個m（表示鏡面）的時候，就表示旋轉發(fā)生在鏡面線上。換句話說，單元格必須先被鏡像，然后沿著鏡像形成的角度旋轉。如果m出現(xiàn)在另一個字母之后的第四個位置，則必須先旋轉單元格，然后再將鏡面應用到結果上。

只包含字母p或c后面跟著一個數(shù)字的對稱組是非常簡單的。記號p1表示一次完整的旋轉(360°)就能生成瓷磚。這與對單元格什么都不做本質上是一樣的。任何時候，當1出現(xiàn)在其他標簽中時，它只是作為一個占位符，意味著沒有任何操作。符號p2表示瓷磚旋轉2次（180°）；p3表示旋轉3次（120°）；p4表示單元格旋轉4次（90°）；p6表示單元格旋轉6次（60°）。如果標簽中沒有數(shù)字，則表示不需要旋轉來創(chuàng)建瓷磚。

3.第三個位置(如果標簽中沒有數(shù)字，則是第二個位置)是一個字母，表示對主單元的一側進行的第一個操作(m =鏡像，g =滑移，1 =旋轉前沒有操作)。

4.第四個位置(如果標簽的第二個位置沒有數(shù)字，則為第三個位置)也是一個字母，表示對單元格的相鄰邊所做的操作。

下表顯示了晶體學家對17個二維對稱群的標記、簡化的標準符號、我給這群的名稱和一個簡短的說明。在解釋中，原單元一詞被縮短為單元。描述指出哪些操作生成重復的密鋪。

注：當符號中出現(xiàn)兩個m（mm）時，意味著沿著單元的直角有水平和垂直的鏡像線。

二維對稱群

一維(線性)對稱標簽

已經有各種各樣的標簽加到了線性對稱群上。本文中解釋的符號是最常用的。

每一個線性對稱群都有一個由兩個符號組成的標簽——要么是兩個字母，要么是兩個數(shù)字，要么是一個字母和一個數(shù)字的組合。第一個位置總是包含m或a，如果m在第一個位置，則意味著該對稱性將包含垂直鏡像。第一個位置上的1表示沒有垂直鏡面，也沒有其他變化。1，就像在二維對稱中一樣，只是作為一個占位符使用。

第二個位置的符號將是1、2、m或g。1表示沒有變化，是為了完成記號。2表示中點或半圈旋轉，g表示滑移，m表示發(fā)生水平鏡像。

我給線性對稱組附上了自己的標簽。我的記號以及現(xiàn)在的標準標簽都列在圖中。

右邊是垂直鏡像和水平鏡像。

一維對稱群

歐若拉，Jinny Beyer, 1989年

為了設計這個被子，四個大單元被輪換使用。這是風車(p4)對稱的一個例子。

青山不改，綠水長流，在下告退。

轉發(fā)隨意，轉載請聯(lián)系張大少本尊。