女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

前11個對稱群可以用一個正方形的基本單元來表示。剩下的六個需要一個除正方形之外的基本單元。例如，第十二個對稱組需要一個直角三角形(對角切成兩半的正方形)。用于在該對稱組中創(chuàng)建圖案的拼塊是正方形。最后五種形狀要求其倍數(shù)形成菱形或六邊形拼塊——60°菱形、等邊三角形和90°、60°、30°三角形。第十六對稱群有一個基本單元，它是一個半六邊形，一個四邊風(fēng)箏形狀，角度為120，90，60，90，或一個三角形，角度為120，30，30。圖4.1中所示的形狀可用于這些剩余對稱組中的圖案布局。

圖4.1 單元格用于實驗接下來的六種對稱。

12.傳統(tǒng)塊(p4m)對稱性

傳統(tǒng)塊(p4m)對稱組是最常用的一種，尤其是在拼布和被子設(shè)計中。事實上，所有傳統(tǒng)的被子塊絕大多數(shù)都是由這種對稱性構(gòu)成的，這也是我給它取這個名字的原因。主單元是一個90，45，45的等腰直角三角形，通過鏡像該三角形的長邊，然后沿著鏡像線的一個角度旋轉(zhuǎn)這些單元中的四個來創(chuàng)建單幅圖塊。需要八個基本單元來創(chuàng)建重復(fù)的拼塊，其中四個正面朝上，四個鏡像或反轉(zhuǎn)。

標準符號—p4m

標準的符號系統(tǒng)將這種對稱性標記為P4m。由于m緊跟在4之后，主單元必須首先被鏡像(m ),并且結(jié)果在由鏡像形成的直角上旋轉(zhuǎn)四次(p4)。

為了練習(xí)在這個對稱組中創(chuàng)建圖案，你可以將前11個對稱中的正方形單元沿對角線切成兩半。使用八個相同的三角形，制作四組鏡像對，鏡子沿著三角形的長邊。將一對疊放在另一對的頂部，所有的都朝向同一個方向，然后將它們圍繞由鏡像線形成的兩個角中的一個旋轉(zhuǎn)。然后可以重復(fù)所得到的拼塊以形成整體圖案。根據(jù)使用的單元，會出現(xiàn)四種不同的圖案。旋轉(zhuǎn)點的位置非常重要。鏡像單元格后，它將旋轉(zhuǎn)兩個新的90度角中的一個，而不是原來的三角形。如果鏡像單元格在三角形中旋轉(zhuǎn)90度，將出現(xiàn)鏡像風(fēng)車(p4g)圖案。

下圖顯示了傳統(tǒng)塊(p4m)對稱圖案的幾個示例。

圖4.4 在印度齋浦爾的窗戶上發(fā)現(xiàn)的切割石材圖案；該圖案是傳統(tǒng)塊(p4m)對稱性的一個例子。圖表顯示了如何創(chuàng)建圖案。

圖4.5 印度齋浦爾琥珀宮的馬賽克地板，展示了傳統(tǒng)砌塊(P4m)對稱性的一個例子。

圖4.6 羅賓·莫里森創(chuàng)作的《午夜之星》

13 三重旋轉(zhuǎn)(p3)對稱

需要一個60菱形的主單元來創(chuàng)建三旋轉(zhuǎn)(P3)對稱組的單幅圖塊。不需要鏡像或反向單元。就像在中點旋轉(zhuǎn)(p2)和風(fēng)車(p4)對稱組中所做的那樣，簡單地旋轉(zhuǎn)單元。影印圖4.1中所示的菱形單元格，剪下其中三個，并以相同的方向?qū)⑺鼈兌询B在一起。在兩個120度角中的一個上放一個大頭針，然后圍繞那個角度旋轉(zhuǎn)鉆石，直到它們形成一個六邊形。這種拼塊然后重復(fù)形成整體設(shè)計。旋轉(zhuǎn)兩個角度中的哪一個并不重要。無論哪種情況，都會出現(xiàn)相同的圖案。

圖4.8和圖4.9所示的圖案是三重旋轉(zhuǎn)(p3)對稱的例子。

標準符號—p3

p3標記指的是創(chuàng)建圖塊所需的三(3)重旋轉(zhuǎn)的主單元(p)。

圖4.7 創(chuàng)建具有三重旋轉(zhuǎn)(P3)對稱性的圖案

圖4.9 折紙，Jinny Beyer，1997。三重旋轉(zhuǎn)(p3)對稱的例子。

14 六重旋轉(zhuǎn)(p6)對稱

六重旋轉(zhuǎn)(p6)對稱群中的圖案可以產(chǎn)生等邊三角形或風(fēng)箏形狀。創(chuàng)建圖塊需要六個單元格，都是正面朝上的，只需將這些單元格旋轉(zhuǎn)60°即可。要創(chuàng)建拼塊，剪下6個等邊三角形，如圖4.1所示；將它們堆疊在一起，朝向相同的方向；在其中一個角上放一枚別針；旋轉(zhuǎn)它們直到它們形成六邊形拼塊。當一個等邊三角形被用來創(chuàng)建這個對稱組時，根據(jù)哪個角被旋轉(zhuǎn)，可以生成三個不同的圖案，如圖4.11所示。

圖4.12和4.13顯示了六旋轉(zhuǎn)(p6)對稱的其他例子。

圖4.11。根據(jù)旋轉(zhuǎn)的角度，可能有三種不同的圖案。

標準符號—p6

p6標簽顯示主單元(p)需要六次旋轉(zhuǎn)(6)來完成密鋪。

圖4.10 創(chuàng)建具有六旋轉(zhuǎn)(p6)對稱性的圖案

圖4.11 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的角度，可能有三種不同的圖案。

圖4.12 Jinny Beyer的《狂想曲》細節(jié)(第166頁)展示了一個六重旋轉(zhuǎn)(p6)對稱的例子

圖4.13 展示六旋轉(zhuǎn)(p6)對稱示例的織物設(shè)計

15.鏡像和三重旋轉(zhuǎn)(p3m1)對稱性

當在鏡子和三重旋轉(zhuǎn)(p3m1)對稱組中創(chuàng)建圖案時，等邊三角形也被用作主要單元，但這一次，由于出現(xiàn)了鏡子，三角形將需要被影印到紙上。此對稱組的圖案是通過首先鏡像三角形的一邊，然后沿鏡像形成的角度旋轉(zhuǎn)結(jié)果三次來創(chuàng)建的。如果你把鏡子放在主單元的四周，你會看到這個圖案。

要創(chuàng)建拼塊，制作三個相同的三角形鏡像對。將得到的鉆石以相同的方向堆疊在一起，然后將它們旋轉(zhuǎn)120度。無論三角形的哪一側(cè)首先被鏡像，整體設(shè)計將保持不變。

圖4.14 創(chuàng)建鏡像和三重旋轉(zhuǎn)(p3m1)對稱的圖案。

圖4.15 展示三重旋轉(zhuǎn)(p3m1)對稱示例的織物設(shè)計

圖4.16顯示鏡面和三旋轉(zhuǎn)(p3m1)對稱性的圖形設(shè)計。將其與第78頁所示的相似類型設(shè)計進行比較，但具有三個旋轉(zhuǎn)和一個鏡像(p31m)對稱性。不同的對稱操作會在圖案中產(chǎn)生細微的差異。

16 三重旋轉(zhuǎn)和鏡像對稱(p31m)

該對稱組中圖案的基本單元可以是半個六邊形、半個60°菱形或風(fēng)箏形狀(風(fēng)箏形狀的角度為120°、90°、60°、90°)。總共需要六個原始單元來產(chǎn)生拼塊，其中三個正面朝上，三個反面朝上。使用圖4.1中影印到醋酸纖維上的風(fēng)箏形狀，將三個單元正面朝上堆疊在一起，所有單元都朝向同一方向。將它們旋轉(zhuǎn)120度，直到它們形成等邊三角形。制作另一個完全相同的三角形，然后鏡像它以形成菱形拼塊。這些鉆石然后轉(zhuǎn)化成圖案。插圖4.17顯示了用風(fēng)箏形狀創(chuàng)建的單幅圖塊。圖4.19顯示了可用于這種對稱的半菱形。

圖4.17使用三次旋轉(zhuǎn)和一個鏡像(p31m)對稱創(chuàng)建圖案。

圖4.18、4.20和4.21顯示了由三次旋轉(zhuǎn)和一個鏡像對稱形成的圖案，圖中顯示了單元和拼塊。

圖4.18 .顯示三個旋轉(zhuǎn)和鏡像(p31m)對稱示例的織物設(shè)計。

圖4.19 用30°、30°和120°三角形(或半菱形)說明的三個旋轉(zhuǎn)和一個鏡像(p31m)對稱。

圖4.20 Satsuma圖板是三個旋轉(zhuǎn)和一個鏡像(p31m)對稱的例子。圖表顯示了設(shè)計是如何創(chuàng)建的。與圖4.16相比，圖4.16具有相似的外觀，但使用了不同的對稱操作，從而產(chǎn)生了細微的差異。

圖4.21 丘比特失火是三次旋轉(zhuǎn)和鏡像(p31m)對稱的一個例子。圖表顯示了設(shè)計是如何創(chuàng)建的。

標準符號——p3m1和p31m

人們很容易混淆p3m1和p31m，然而這兩個對稱群產(chǎn)生非常不同的圖案。兩者都有三重旋轉(zhuǎn)，都包含鏡子。但是如果你記得標準符號系統(tǒng)是如何組織的(參見第24頁到第29頁)，這就更有意義了。我對這些符號的解釋如下：因為每一個對稱都需要旋轉(zhuǎn)三次，所以必須有一個120度的旋轉(zhuǎn)角。

對于p3m1，m緊跟在3之后，這意味著必須首先鏡像主單元，然后旋轉(zhuǎn)三次(P3)。因此，你必須從一個有60度角的等邊三角形開始。形狀鏡像后，60°角加倍為120°，然后可以圍繞鏡像線形成的兩個120°角之一進行旋轉(zhuǎn)。

對于p31m，第四個位置的m表示主單元在被鏡像為m之前必須先旋轉(zhuǎn)三次(p3)。這些標簽中的1用于明確(m)的位置。1基本上是一個分隔符，意味著單元格的另一邊沒有任何動作。因為在這種對稱性中旋轉(zhuǎn)首先發(fā)生，所以原始單元必須具有120°的角度，旋轉(zhuǎn)可以圍繞該角度發(fā)生。風(fēng)箏形狀、半個六邊形和半個60°鉆石都適合這種對稱。

17.萬花筒(p6m)對稱

當通過萬花筒觀察時，人們可以看到一個形狀的各個側(cè)面都有鏡子，產(chǎn)生錯綜復(fù)雜的變化圖案。根據(jù)萬花筒內(nèi)鏡子的角度，會出現(xiàn)不同的設(shè)計。雖然前面討論過的幾個對稱群可以通過在主單元的四面放置鏡子來形成，但在我看來，這個更像是一個真正的萬花筒，這就是我為什么給它起這個名字的原因。

標準符號—p6m

p6m的標記系統(tǒng)如下：因為緊接在6后面有一個m，所以主單元在旋轉(zhuǎn)六次(p6)之前必須首先被鏡像(m)。

圖4.22使用萬花筒(p6m)對稱創(chuàng)建圖案

萬花筒(p6m)對稱組中的圖案形成方式幾乎與鏡子和三旋轉(zhuǎn)(p3m1)對稱組中的圖案完全相同。然而，這一次，不同形狀的三角形(90，60，30)是主要單元。通過在三角形的所有邊上放置鏡子可以看到這個圖案。要創(chuàng)建拼塊，制作六對鏡像三角形。鏡像兩條最長邊中的任何一條，因為在任何一種情況下都會產(chǎn)生相同的圖案。如果鏡像最長的一邊，結(jié)果將是一個風(fēng)箏形狀；如果鏡像第二長的邊，結(jié)果將是一個等邊三角形。將鏡像的一對堆疊在另一對之上，所有的鏡像都朝向相同的方向，并將它們旋轉(zhuǎn)六次以形成拼塊。在風(fēng)箏形狀的情況下，確保旋轉(zhuǎn)發(fā)生在60°角附近(圖4.22)。

圖4.23 菱形圖塊也可以通過鏡像單元格的長邊、將結(jié)果旋轉(zhuǎn)120°并鏡像該三角形來創(chuàng)建。不管怎樣，結(jié)果都是一樣的。

如圖4.23所示，菱形拼塊可以用來形成圖案，但創(chuàng)建拼塊要復(fù)雜一些。由于整體圖案是相同的，我發(fā)現(xiàn)最簡單的方法就是創(chuàng)建六邊形拼塊。

這里展示的紫蘇盒子的細節(jié)和下頁的兩個例子展示了萬花筒(p6m)對稱性的其他例子。

圖4.24 來自Jinny Beyer的紫蘇盒子(第66頁)的細節(jié)描繪了萬花筒(p6m)對稱性。每個六角形都有p6m對稱性，較大的六角形包含七個較小的六角形。

圣誕萬花筒，南希·約翰遜，1997。這張被子是萬花筒(p6m)對稱的一個例子。

圖4.25顯示萬花筒(p6m)對稱示例的織物設(shè)計。

二維對稱群的總結(jié)

這兩天的文章解釋了如何通過使用17個對稱群，可以創(chuàng)建大量的二維圖案。對這些概念的透徹理解將極大地有助于你創(chuàng)建自己的圖案，這對于理解互鎖或鑲嵌設(shè)計是如何開發(fā)的尤為重要。最好的學(xué)習(xí)方法是自己操縱初級單元。

《光線》，金妮·拜爾，1977。

整個被子是雙鏡對稱(PMM)的一個例子，也就是二維對稱。在邊界圖案中可以發(fā)現(xiàn)三種不同的線性對稱性：雙鏡(Mm)、垂直鏡(M1)和平移(11)。

青山不改，綠水長流，在下告退。

轉(zhuǎn)發(fā)隨意，轉(zhuǎn)載請聯(lián)系張大少本尊。