精彩點評一

認真學習了劉老師對天津市2022年中考數學第25題的研究，有滿滿的收獲。該題目是一道函數類問題，以二次函數為背景，主要考查線段最值問題，整體來看難度不大。通過劉老師的講解，讓我對函數以及最值問題又有了進一步的認識。以下幾點值得我學習：

一、鉆研教材，通向數學核心素養

解答這個題目中所應用的知識點，劉老師將其細化，分為了代數式、方程與勾股定理、一次函數、二次函數以及軸對稱等內容，追根溯源，尋找到教材對應的內容，結合新課標學業要求進行一一解讀。這個過程在教學中非常有必要，點對點的進行教學，能更好的把握重難點，同時也能將核心素養更貼切的融入其中。劉老師針對部分核心素養進行了講述，學生對于幾何直觀這一點來說是比較難，教學中很多時候都是多媒體展示圖形，而學生缺少了作圖的過程，有的同學甚至幾何語言轉換成圖形都成問題，更不用談后續思考了。運算能力是從小學都在培養的，但是在初中階段可以發現問題仍然很多，計算過于刻板，不會觀察尋求簡便計算，從而耗費太多時間，在壓軸題中往往會有含參計算，需要一定的計算技巧，但往往很多人都會因為計算而放棄。在今后的教學中，對于計算的練習和規范還需加強。

二、專題探究，系統解決最值問題

劉老師對最值專題進行了詳細系統的講解，這也是近些年來考試中的熱點問題，其中“將軍飲馬”問題也正是該題目所應用的方法，這個問題在教學中也正是我所遇到的一個難點，學生拿到題目后無法動筆，在一個復雜的圖形中能不能發現“將軍飲馬”問題，發現后以哪個點為定點？找哪個點的對稱點？以哪條直線為對稱軸？這些問題往往是學生的難點，但是只要將圖形畫出來后學生也能理解并且能夠繼續解答。對于幾何最值問題，它不僅涉及幾何知識，而且對數學思維能力的要求較高，但其實都是根據“兩點之間，線段最短”和“點到直線的距離最短”知識點得來，主要考查學生的探究能力和創新意識。

最后感謝張欽博士為我們搭建的學習交流平臺，讓我能有機會學習如此多優秀同行的寶貴經驗。感謝劉老師為我們帶來的精彩講解，讓我發現自己教學中存在的不足與改進的方向！

精彩點評二

認真學習了劉老師2022年天津中考第25題，收獲頗多。天津中考第25題起點較低，學生容易入手。第（2）已知線段最大值，求點的坐標。將點的坐標與線段之間進行相互轉換是這小問的核心。而第（3）小問則是已知幾條線段的和的最小值，求點的坐標。利用將軍飲馬模型就能進行解決。在研題中劉老師充分考慮題目中的知識點與教材間的聯系，回歸教材，結合新課標，通過對新課標的研究，把握新課標對知識點的高度，指導教學。通過學習我有以下收獲。

（1）羅列知識點，形成知識框架圖。本道題中涉及到的知識點分為數與代數以及圖形與幾何兩部分。數與代數涉及的知識點為：代數式、方程、函數、一次函數、二次函數；圖形與幾何涉及的知識點為：點線面體、三角形、圖形的軸對稱。通過對課標中學業要求以及教材體現來分析知識點，理清知識點之間的關聯，進行知識之間的遷移，幫助學生獲得更好的學習效果。

（2）深入解讀課標，指導課堂教學。劉老師對課標的解讀非常的深入，每個知識點的解讀深入淺出，精準的解讀知識點，從而把握知識點高度，再結合教材，將課標的理論與教學的實踐相結合起來。

（3）專題研究廣泛，知識點針對突出。劉老師研究大量的2022年全國中考數學試卷的“最值問題”。她從幾何和代數兩個方面進行探究，歸納了初中階段的最值問題。其中幾何方面有兩點之間線段最短問題以及圓上一點到直線的距離。代數中研究了函數與不等式。她從將軍飲馬開始，研究兩個定點與一個動點的最值問題；再研究一個定點與兩個動點的最值問題，接著研究兩個動點與兩個定點的問題。通過列舉中考試題，探究出它們的本質是兩點之間線段最短問題。

（4）及時總結知識點，歸納思想方法。劉老師研題一個很大的特點是及時歸納小結，在專題研究中每個知識點都及時進行了總結，這樣的習慣特別好。我們在平時上課時及時總結知識點以及思想方法，有利于學生更好的理解掌握知識，讓學生的知識形成體系，這樣知識的遺忘速度就會變慢。

（5）關注細節，養成良好的學習習慣。劉老師特別關注學生學習的細節。例如如何用草稿紙。在我的教學中我會默認學生會用草稿紙，而這次研題中劉老師提出草稿紙的使用，我才意識到原來草稿紙的使用也關系到學生運算能力的培養。在以后得教學中我將要求學生準備好一個好的草稿本，一頁分成兩部分，一部分打草稿，一部分留在后面的驗算。

學無止境，劉老師這節課優點很多，值得我學習的地方也很多。感謝張欽博士給我們這樣一個平臺，感謝劉老師這次精彩的研題，讓我在教學路上越走越遠。

精彩點評三

認真學習了劉老師2022年天津中考25題，收獲頗豐，以下是我本次的學習心得。本題是一道以二次函數為基礎的綜合題，主要考察了線段的最值問題，包含代數式、方程與勾股定理、軸對稱、一次函數、二次函數等知識點。劉老師在引導學生思考的過程中，將題目所涉及的知識點聯系教材，將書中的習題與考題進行鏈接，做到學與考相聯系，在此同時，結合新課標，將理論和教學結合，幫助學生更好地理解吸收知識。

本題第一問入手比較簡單，學生可以利用待定系數求出拋物線解析式，通過頂點公式求解P點坐標。在求M、G坐標時，引導學生作出圖象觀察MG的長度變化過程，從幾何問題中抽象出代數模型，數形結合，從而利用二次函數的增減性便能確定最值，得出結果。

第二問學生難點在于如何利用PF+FE+EN最小值為5這個條件，部分同學能聯想到最短路徑問題，但是如何選取合適的點來做軸對稱，實現化折為直是面臨的困難，這便考察學生的思維能力。在完成這一步后，同學們能利用兩點間距離公式或者勾股定理解方程求a值，再利用待定系數法求直線的解析式，從而求出坐標。

在反思環節，劉老師利用思維導圖，形成知識框架，從數與代數、圖形與幾何兩個方面進行歸納總結，立足教材與課標，鏈接書后習題，實現知識遷移。對于“最值問題”，劉老師進行了專題探究，從幾何和代數兩個方面進行小結，每種方法后面均有不同題目進行練習。從幾何出發，主要從兩點之間線段最短和圓上一點到直線的距離兩個知識點進行引導，結合圖形與問題從實際問題中抽象出準確的模型，幫助學生理解掌握。從代數入手，更加側重函數和不等式，需要學生選擇合理的未知量設為未知數，并結合實際問題確定自變量的取值范圍。

在解題過程中，不論是幾何還是代數，學生都無法回避運算，而學生的運算能力普遍存在問題，因此教學過程中我們應該注重學生對于算法算理的理解，培養學生好的運算習慣，實現提高學生的運算能力。

以上是我本次的學習心得，感謝張欽博士為我們搭建的學習平臺，感謝劉老師精彩的講解，讓我受益匪淺。

精彩點評四

認真學習了線上研題第101講――宜昌市西陵區第四中學劉珊老師分享的2022年天津市中考數學第25題的研究成果，分享的內容全面，信息量大，層次分明，內涵豐富，收獲頗豐。該題目是一道較為典型的函數綜合類數學問題，以二次函數為大的背景，還涉及到一次函數、方程、幾何圖形、線段和的最值等數學知識，雖然題目呈現出的難度值不是特別大，但涵蓋與考查的代數與幾何方面的知識點較多，要求學生對相關的知識體系掌握較全面，思路較清晰才能用初中階段所學的數學知識與技能順利的完成解題。通過劉老師對本題的分析講解，特別是對本題素材的剖析、內涵本質的挖掘，讓我對函數知識體系以及義務教育階段涉及到最值問題有一個更加全面系統的了解，有了更進一步的認識與提升。幾點學習感悟如下：

１. 劉老師的研題分享接地氣。

一是研題基于學生，基于學生的“學”，對每個問題的解答分析都建立在學生思考問題的角度與解題實際中學生可能出現的情況之上，針對學生做題過程已出現或可能出現的困難與問題出發，探討如何從教師“教”的角度去幫助學生引導學生的“學”，也就是劉老師突出了研題的一個核心功能――基于學生解題中可能存在的困難或誤區研究如何科學的“教”，以實現學生高效的“學”；

二是對所選例題本身的研究基于《新課程標準》找到題目設置所考查的數學知識要點的理論依據與起點，并對照課標具體分析了各個知識板塊的“要求”，同時基于“教材”找到對應知識點在各個年級段建構的學習體系，深入淺出闡明了一個道理：中考真題標準過硬，知識體系螺旋上升，數學教學依標對本；

三是對數學平常教學的指導意見基于自身經歷心得，可操作性強。比如針對學生數學核心能力――計算能力的整體提升的小妙招，非常好值得借鑒，對如何培養學生幾何直觀思維建立學生的抽象思維能力，劉老師也是獻出了自己教學實踐中的經驗，對有效提升數學成績培養學生數學思維能力方面能落實落地。

２. 劉老師的研題分享顯功底。

一是研題過程的呈現重題目內涵的分析、知識要點的梳理，輕繁雜的解法演繹，契合出題人的意圖研透一題考查哪些數學基礎知識、基本技能和哪些基本數學思想方法；

二是劉老師肯學習愛研究，對教材、課標的學習鉆研很深，通過一道函數中考題將本題所涵蓋的知識點用“雙向細目表”式方式一一呈現，將題目中的知識點與教材中各年級的學習體系有機對接，這樣研究既能很好幫助老師特別是年青教師教學基本功快速提升，更能幫助參與研題的教師思考如何更有效教學；

三是劉老師廣泛研究數學中考題，精選分享題例，本場研題劉老師圍繞選定的主研題的主題，采用了一拖多的形式展開，所選的這一系列中考真題既與研題主題相契合，又具有典型性。比如針對初中階段“最值”問題，劉老師選取了幾道有代表性的中考真題進行分析說明，很好的突出了本場研題的重點，也突破了“最值”問題之難點。讓我們對初中階段“最值”問題有了一個更全面系統的認識與思考。

四是劉老師在解題方法的探究與呈現上十分注重通法通解與“優化方案”意識，特別注重“透過現象看本質”抓住問題的內在聯系，找到實際問題與數學知識間的內在聯系，通過多題一解的研究幫助學生將同一類型問題一探到底，有利于深度學習深度理解從而較全面系統的掌握。

一點不成熟的小建議：在所分享的“2022年江蘇揚州卷27（3）”的解法陳述：“取半徑r=3dm的圓與直線ＡＢ切與點Ｏ時，此時r=3dm的圓能夠與拋物線相切”，似乎有些不太嚴密，有沒有可能此時這個圓與拋物線在y軸右側有兩個交點或都沒有交點（圓的半徑還可更大）呢？是不是設半徑3dm的圓與AB相切于點Ｏ，并與拋物線相交，用劉老師所講的方法通過計算求出此交點的坐標后，再說明與拋物線在y軸右側交點的唯一性，這樣是不是好一點。當然此題解法及結果都是成立的，僅前面的表述覺得不是很妥。

非常感謝劉老師的研題分享，帶給了我對數學題目解答方法、如何進行解題教學、如何引導學生學好數學等問題的進一步思考與反思，收獲很大。最后感謝張欽博士為我們搭建的這個線上研題交流學習平臺，讓我能有機會近距離向我們宜昌本土數學教育教學專家同仁學習。通過一講一講的聆聽學習，讓我深知自己業務功底的不足與教學技藝的淺薄，我將堅持學習反思，力爭數學教育教學走的更扎實更有實效！

個人感言

從上學期期末報名到本周完成研題，老實說，這半年來我的心情一直很糾結，幾乎每一個節點都在猶豫要不要放棄。一開始是因為這道中考壓軸題解題方法太過單一，根本不可能像其他老師一樣發散思維，例舉多種解法；然后又是因為本題最后一問和很多地方的中考壓軸題比起來太過簡單，我開始懷疑是否真的有研題的價值；最后就是不確定自己是否有足夠的知識儲備和經驗撐起一場研題。直到四月份在周靜老師的鼓勵下，我才重新撿起這道題。

首先，在我們四中九年級李焦枝老師的建議和組織下，把題目印發給了部分九年級學生做。一來是學生思維更廣闊，說不定他們會有不同的解法；二來哪怕學生也沒其他解法，至少還能收集到他們在實操時出現的各種問題。果不其然，30名學生幾乎個個有問題，總結起來就是研題中所呈現的四大類問題。由此可見，我還是沒有做到站在學生的角度思考問題，沒有意識到，我們教師所謂的“簡單”，對學生來說不見得就是“簡單”。

結合學生的問題，李老師建議我可以進行一個“最值問題”的專題探究，這是學生一直以來的一個難點。但我也深知在這一專題里，比我講得全面透徹的老師多的是，不差我這么一個班門弄斧的。所以我把2022年全國各地中考試卷中涉及到最值問題的題目都找了出來，按照最基礎的知識點進行分類講解。或許這部分內容對于能做壓軸題能拿高分的A等生來說有些基礎，但中考不僅僅是面向他們，也還有很多聽不懂壓軸題基礎差的學生，或許以這種角度展開會讓他們覺得最值問題其實也沒有想象中的難，努努力，也能拿到分數。

我是先完成了第二部分的專題探究再回過頭寫第一部分的試題分析。一開始我只是參照新課標對于試題中所考察到的學業要求進行了一個梳理，但經過黃毅老師的指點，我才意識到這一環節有些浮于表面。研題，雖然題目是個引子，但并不意味著照本宣科的念解析和答案就行。要重視對于學生思維的引導和啟發，也要重視新課標中對于試題所涉及到的知識點提出了什么具體的內容要求和學業要求，以及要達到這些要求和目標，教材在哪個地方以什么形式呈現的，平時課堂上我們是如何處理的，處理過程中學生會出現什么樣的問題，如何解決等等。

修改的過程中，我也明白了，之前教學總是把握不好知識拓展的度，其實就是因為自己對于教材、新課標的研究不夠透徹。以后無論是新授課還是習題課，前期的備課不僅要思考如何把本堂課的內容傳授給學生，更要重視這些內容背后的來龍去脈，自己做到心中有數，把握有度。

最后教學反思部分也讓我意識到在平時的教學過程中總結不夠及時。記憶力再好的人也不可能在一次性回想起每一天的教學中都有哪些反思，所以哪怕平時再忙，沒時間安靜地坐下來寫到備課本上，也應該先用手機等方便記錄的東西先記下來，再在空余時間進行整理。

現在看來，前幾個月的猶豫無異于是在浪費時間，只有行動才會有切實的收獲。再次感謝張欽博士、黃毅老師、周靜老師，感謝研題群周雪老師、盧卉芳老師、肖璐露老師、吳方銀老師的精彩點評，感謝我校數學組每一位老師對我的支持和幫助。

劉珊老師簡介

劉珊，宜昌四中數學教師。曾榮獲西陵區優質課競賽一等獎，四中“教壇新秀”稱號，西陵區初中命題設計評比一等獎，宜昌四中第四屆校本教研節作業管理方略優秀獎，湖北省教師信息素養提升實踐活動三等獎。

教研參考書籍推薦

《從優秀試題研究中領悟初中數學教學》（張欽著）

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