精彩點(diǎn)評一

認(rèn)真學(xué)習(xí)了劉老師對天津市2022年中考數(shù)學(xué)第25題的研究，有滿滿的收獲。該題目是一道函數(shù)類問題，以二次函數(shù)為背景，主要考查線段最值問題，整體來看難度不大。通過劉老師的講解，讓我對函數(shù)以及最值問題又有了進(jìn)一步的認(rèn)識。以下幾點(diǎn)值得我學(xué)習(xí)：

一、鉆研教材，通向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

解答這個(gè)題目中所應(yīng)用的知識點(diǎn)，劉老師將其細(xì)化，分為了代數(shù)式、方程與勾股定理、一次函數(shù)、二次函數(shù)以及軸對稱等內(nèi)容，追根溯源，尋找到教材對應(yīng)的內(nèi)容，結(jié)合新課標(biāo)學(xué)業(yè)要求進(jìn)行一一解讀。這個(gè)過程在教學(xué)中非常有必要，點(diǎn)對點(diǎn)的進(jìn)行教學(xué)，能更好的把握重難點(diǎn)，同時(shí)也能將核心素養(yǎng)更貼切的融入其中。劉老師針對部分核心素養(yǎng)進(jìn)行了講述，學(xué)生對于幾何直觀這一點(diǎn)來說是比較難，教學(xué)中很多時(shí)候都是多媒體展示圖形，而學(xué)生缺少了作圖的過程，有的同學(xué)甚至幾何語言轉(zhuǎn)換成圖形都成問題，更不用談后續(xù)思考了。運(yùn)算能力是從小學(xué)都在培養(yǎng)的，但是在初中階段可以發(fā)現(xiàn)問題仍然很多，計(jì)算過于刻板，不會觀察尋求簡便計(jì)算，從而耗費(fèi)太多時(shí)間，在壓軸題中往往會有含參計(jì)算，需要一定的計(jì)算技巧，但往往很多人都會因?yàn)橛?jì)算而放棄。在今后的教學(xué)中，對于計(jì)算的練習(xí)和規(guī)范還需加強(qiáng)。

二、專題探究，系統(tǒng)解決最值問題

劉老師對最值專題進(jìn)行了詳細(xì)系統(tǒng)的講解，這也是近些年來考試中的熱點(diǎn)問題，其中“將軍飲馬”問題也正是該題目所應(yīng)用的方法，這個(gè)問題在教學(xué)中也正是我所遇到的一個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生拿到題目后無法動筆，在一個(gè)復(fù)雜的圖形中能不能發(fā)現(xiàn)“將軍飲馬”問題，發(fā)現(xiàn)后以哪個(gè)點(diǎn)為定點(diǎn)？找哪個(gè)點(diǎn)的對稱點(diǎn)？以哪條直線為對稱軸？這些問題往往是學(xué)生的難點(diǎn)，但是只要將圖形畫出來后學(xué)生也能理解并且能夠繼續(xù)解答。對于幾何最值問題，它不僅涉及幾何知識，而且對數(shù)學(xué)思維能力的要求較高，但其實(shí)都是根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”和“點(diǎn)到直線的距離最短”知識點(diǎn)得來，主要考查學(xué)生的探究能力和創(chuàng)新意識。

最后感謝張欽博士為我們搭建的學(xué)習(xí)交流平臺，讓我能有機(jī)會學(xué)習(xí)如此多優(yōu)秀同行的寶貴經(jīng)驗(yàn)。感謝劉老師為我們帶來的精彩講解，讓我發(fā)現(xiàn)自己教學(xué)中存在的不足與改進(jìn)的方向！

精彩點(diǎn)評二

認(rèn)真學(xué)習(xí)了劉老師2022年天津中考第25題，收獲頗多。天津中考第25題起點(diǎn)較低，學(xué)生容易入手。第（2）已知線段最大值，求點(diǎn)的坐標(biāo)。將點(diǎn)的坐標(biāo)與線段之間進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換是這小問的核心。而第（3）小問則是已知幾條線段的和的最小值，求點(diǎn)的坐標(biāo)。利用將軍飲馬模型就能進(jìn)行解決。在研題中劉老師充分考慮題目中的知識點(diǎn)與教材間的聯(lián)系，回歸教材，結(jié)合新課標(biāo)，通過對新課標(biāo)的研究，把握新課標(biāo)對知識點(diǎn)的高度，指導(dǎo)教學(xué)。通過學(xué)習(xí)我有以下收獲。

（1）羅列知識點(diǎn)，形成知識框架圖。本道題中涉及到的知識點(diǎn)分為數(shù)與代數(shù)以及圖形與幾何兩部分。數(shù)與代數(shù)涉及的知識點(diǎn)為：代數(shù)式、方程、函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)；圖形與幾何涉及的知識點(diǎn)為：點(diǎn)線面體、三角形、圖形的軸對稱。通過對課標(biāo)中學(xué)業(yè)要求以及教材體現(xiàn)來分析知識點(diǎn)，理清知識點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行知識之間的遷移，幫助學(xué)生獲得更好的學(xué)習(xí)效果。

（2）深入解讀課標(biāo)，指導(dǎo)課堂教學(xué)。劉老師對課標(biāo)的解讀非常的深入，每個(gè)知識點(diǎn)的解讀深入淺出，精準(zhǔn)的解讀知識點(diǎn)，從而把握知識點(diǎn)高度，再結(jié)合教材，將課標(biāo)的理論與教學(xué)的實(shí)踐相結(jié)合起來。

（3）專題研究廣泛，知識點(diǎn)針對突出。劉老師研究大量的2022年全國中考數(shù)學(xué)試卷的“最值問題”。她從幾何和代數(shù)兩個(gè)方面進(jìn)行探究，歸納了初中階段的最值問題。其中幾何方面有兩點(diǎn)之間線段最短問題以及圓上一點(diǎn)到直線的距離。代數(shù)中研究了函數(shù)與不等式。她從將軍飲馬開始，研究兩個(gè)定點(diǎn)與一個(gè)動點(diǎn)的最值問題；再研究一個(gè)定點(diǎn)與兩個(gè)動點(diǎn)的最值問題，接著研究兩個(gè)動點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)的問題。通過列舉中考試題，探究出它們的本質(zhì)是兩點(diǎn)之間線段最短問題。

（4）及時(shí)總結(jié)知識點(diǎn)，歸納思想方法。劉老師研題一個(gè)很大的特點(diǎn)是及時(shí)歸納小結(jié)，在專題研究中每個(gè)知識點(diǎn)都及時(shí)進(jìn)行了總結(jié)，這樣的習(xí)慣特別好。我們在平時(shí)上課時(shí)及時(shí)總結(jié)知識點(diǎn)以及思想方法，有利于學(xué)生更好的理解掌握知識，讓學(xué)生的知識形成體系，這樣知識的遺忘速度就會變慢。

（5）關(guān)注細(xì)節(jié)，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。劉老師特別關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的細(xì)節(jié)。例如如何用草稿紙。在我的教學(xué)中我會默認(rèn)學(xué)生會用草稿紙，而這次研題中劉老師提出草稿紙的使用，我才意識到原來草稿紙的使用也關(guān)系到學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)。在以后得教學(xué)中我將要求學(xué)生準(zhǔn)備好一個(gè)好的草稿本，一頁分成兩部分，一部分打草稿，一部分留在后面的驗(yàn)算。

學(xué)無止境，劉老師這節(jié)課優(yōu)點(diǎn)很多，值得我學(xué)習(xí)的地方也很多。感謝張欽博士給我們這樣一個(gè)平臺，感謝劉老師這次精彩的研題，讓我在教學(xué)路上越走越遠(yuǎn)。

精彩點(diǎn)評三

認(rèn)真學(xué)習(xí)了劉老師2022年天津中考25題，收獲頗豐，以下是我本次的學(xué)習(xí)心得。本題是一道以二次函數(shù)為基礎(chǔ)的綜合題，主要考察了線段的最值問題，包含代數(shù)式、方程與勾股定理、軸對稱、一次函數(shù)、二次函數(shù)等知識點(diǎn)。劉老師在引導(dǎo)學(xué)生思考的過程中，將題目所涉及的知識點(diǎn)聯(lián)系教材，將書中的習(xí)題與考題進(jìn)行鏈接，做到學(xué)與考相聯(lián)系，在此同時(shí)，結(jié)合新課標(biāo)，將理論和教學(xué)結(jié)合，幫助學(xué)生更好地理解吸收知識。

本題第一問入手比較簡單，學(xué)生可以利用待定系數(shù)求出拋物線解析式，通過頂點(diǎn)公式求解P點(diǎn)坐標(biāo)。在求M、G坐標(biāo)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生作出圖象觀察MG的長度變化過程，從幾何問題中抽象出代數(shù)模型，數(shù)形結(jié)合，從而利用二次函數(shù)的增減性便能確定最值，得出結(jié)果。

第二問學(xué)生難點(diǎn)在于如何利用PF+FE+EN最小值為5這個(gè)條件，部分同學(xué)能聯(lián)想到最短路徑問題，但是如何選取合適的點(diǎn)來做軸對稱，實(shí)現(xiàn)化折為直是面臨的困難，這便考察學(xué)生的思維能力。在完成這一步后，同學(xué)們能利用兩點(diǎn)間距離公式或者勾股定理解方程求a值，再利用待定系數(shù)法求直線的解析式，從而求出坐標(biāo)。

在反思環(huán)節(jié)，劉老師利用思維導(dǎo)圖，形成知識框架，從數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何兩個(gè)方面進(jìn)行歸納總結(jié)，立足教材與課標(biāo)，鏈接書后習(xí)題，實(shí)現(xiàn)知識遷移。對于“最值問題”，劉老師進(jìn)行了專題探究，從幾何和代數(shù)兩個(gè)方面進(jìn)行小結(jié)，每種方法后面均有不同題目進(jìn)行練習(xí)。從幾何出發(fā)，主要從兩點(diǎn)之間線段最短和圓上一點(diǎn)到直線的距離兩個(gè)知識點(diǎn)進(jìn)行引導(dǎo)，結(jié)合圖形與問題從實(shí)際問題中抽象出準(zhǔn)確的模型，幫助學(xué)生理解掌握。從代數(shù)入手，更加側(cè)重函數(shù)和不等式，需要學(xué)生選擇合理的未知量設(shè)為未知數(shù)，并結(jié)合實(shí)際問題確定自變量的取值范圍。

在解題過程中，不論是幾何還是代數(shù)，學(xué)生都無法回避運(yùn)算，而學(xué)生的運(yùn)算能力普遍存在問題，因此教學(xué)過程中我們應(yīng)該注重學(xué)生對于算法算理的理解，培養(yǎng)學(xué)生好的運(yùn)算習(xí)慣，實(shí)現(xiàn)提高學(xué)生的運(yùn)算能力。

以上是我本次的學(xué)習(xí)心得，感謝張欽博士為我們搭建的學(xué)習(xí)平臺，感謝劉老師精彩的講解，讓我受益匪淺。

精彩點(diǎn)評四

認(rèn)真學(xué)習(xí)了線上研題第101講――宜昌市西陵區(qū)第四中學(xué)劉珊老師分享的2022年天津市中考數(shù)學(xué)第25題的研究成果，分享的內(nèi)容全面，信息量大，層次分明，內(nèi)涵豐富，收獲頗豐。該題目是一道較為典型的函數(shù)綜合類數(shù)學(xué)問題，以二次函數(shù)為大的背景，還涉及到一次函數(shù)、方程、幾何圖形、線段和的最值等數(shù)學(xué)知識，雖然題目呈現(xiàn)出的難度值不是特別大，但涵蓋與考查的代數(shù)與幾何方面的知識點(diǎn)較多，要求學(xué)生對相關(guān)的知識體系掌握較全面，思路較清晰才能用初中階段所學(xué)的數(shù)學(xué)知識與技能順利的完成解題。通過劉老師對本題的分析講解，特別是對本題素材的剖析、內(nèi)涵本質(zhì)的挖掘，讓我對函數(shù)知識體系以及義務(wù)教育階段涉及到最值問題有一個(gè)更加全面系統(tǒng)的了解，有了更進(jìn)一步的認(rèn)識與提升。幾點(diǎn)學(xué)習(xí)感悟如下：

１. 劉老師的研題分享接地氣。

一是研題基于學(xué)生，基于學(xué)生的“學(xué)”，對每個(gè)問題的解答分析都建立在學(xué)生思考問題的角度與解題實(shí)際中學(xué)生可能出現(xiàn)的情況之上，針對學(xué)生做題過程已出現(xiàn)或可能出現(xiàn)的困難與問題出發(fā)，探討如何從教師“教”的角度去幫助學(xué)生引導(dǎo)學(xué)生的“學(xué)”，也就是劉老師突出了研題的一個(gè)核心功能――基于學(xué)生解題中可能存在的困難或誤區(qū)研究如何科學(xué)的“教”，以實(shí)現(xiàn)學(xué)生高效的“學(xué)”；

二是對所選例題本身的研究基于《新課程標(biāo)準(zhǔn)》找到題目設(shè)置所考查的數(shù)學(xué)知識要點(diǎn)的理論依據(jù)與起點(diǎn)，并對照課標(biāo)具體分析了各個(gè)知識板塊的“要求”，同時(shí)基于“教材”找到對應(yīng)知識點(diǎn)在各個(gè)年級段建構(gòu)的學(xué)習(xí)體系，深入淺出闡明了一個(gè)道理：中考真題標(biāo)準(zhǔn)過硬，知識體系螺旋上升，數(shù)學(xué)教學(xué)依標(biāo)對本；

三是對數(shù)學(xué)平常教學(xué)的指導(dǎo)意見基于自身經(jīng)歷心得，可操作性強(qiáng)。比如針對學(xué)生數(shù)學(xué)核心能力――計(jì)算能力的整體提升的小妙招，非常好值得借鑒，對如何培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀思維建立學(xué)生的抽象思維能力，劉老師也是獻(xiàn)出了自己教學(xué)實(shí)踐中的經(jīng)驗(yàn)，對有效提升數(shù)學(xué)成績培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力方面能落實(shí)落地。

２. 劉老師的研題分享顯功底。

一是研題過程的呈現(xiàn)重題目內(nèi)涵的分析、知識要點(diǎn)的梳理，輕繁雜的解法演繹，契合出題人的意圖研透一題考查哪些數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能和哪些基本數(shù)學(xué)思想方法；

二是劉老師肯學(xué)習(xí)愛研究，對教材、課標(biāo)的學(xué)習(xí)鉆研很深，通過一道函數(shù)中考題將本題所涵蓋的知識點(diǎn)用“雙向細(xì)目表”式方式一一呈現(xiàn)，將題目中的知識點(diǎn)與教材中各年級的學(xué)習(xí)體系有機(jī)對接，這樣研究既能很好幫助老師特別是年青教師教學(xué)基本功快速提升，更能幫助參與研題的教師思考如何更有效教學(xué)；

三是劉老師廣泛研究數(shù)學(xué)中考題，精選分享題例，本場研題劉老師圍繞選定的主研題的主題，采用了一拖多的形式展開，所選的這一系列中考真題既與研題主題相契合，又具有典型性。比如針對初中階段“最值”問題，劉老師選取了幾道有代表性的中考真題進(jìn)行分析說明，很好的突出了本場研題的重點(diǎn)，也突破了“最值”問題之難點(diǎn)。讓我們對初中階段“最值”問題有了一個(gè)更全面系統(tǒng)的認(rèn)識與思考。

四是劉老師在解題方法的探究與呈現(xiàn)上十分注重通法通解與“優(yōu)化方案”意識，特別注重“透過現(xiàn)象看本質(zhì)”抓住問題的內(nèi)在聯(lián)系，找到實(shí)際問題與數(shù)學(xué)知識間的內(nèi)在聯(lián)系，通過多題一解的研究幫助學(xué)生將同一類型問題一探到底，有利于深度學(xué)習(xí)深度理解從而較全面系統(tǒng)的掌握。

一點(diǎn)不成熟的小建議：在所分享的“2022年江蘇揚(yáng)州卷27（3）”的解法陳述：“取半徑r=3dm的圓與直線ＡＢ切與點(diǎn)Ｏ時(shí)，此時(shí)r=3dm的圓能夠與拋物線相切”，似乎有些不太嚴(yán)密，有沒有可能此時(shí)這個(gè)圓與拋物線在y軸右側(cè)有兩個(gè)交點(diǎn)或都沒有交點(diǎn)（圓的半徑還可更大）呢？是不是設(shè)半徑3dm的圓與AB相切于點(diǎn)Ｏ，并與拋物線相交，用劉老師所講的方法通過計(jì)算求出此交點(diǎn)的坐標(biāo)后，再說明與拋物線在y軸右側(cè)交點(diǎn)的唯一性，這樣是不是好一點(diǎn)。當(dāng)然此題解法及結(jié)果都是成立的，僅前面的表述覺得不是很妥。

非常感謝劉老師的研題分享，帶給了我對數(shù)學(xué)題目解答方法、如何進(jìn)行解題教學(xué)、如何引導(dǎo)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)等問題的進(jìn)一步思考與反思，收獲很大。最后感謝張欽博士為我們搭建的這個(gè)線上研題交流學(xué)習(xí)平臺，讓我能有機(jī)會近距離向我們宜昌本土數(shù)學(xué)教育教學(xué)專家同仁學(xué)習(xí)。通過一講一講的聆聽學(xué)習(xí)，讓我深知自己業(yè)務(wù)功底的不足與教學(xué)技藝的淺薄，我將堅(jiān)持學(xué)習(xí)反思，力爭數(shù)學(xué)教育教學(xué)走的更扎實(shí)更有實(shí)效！

個(gè)人感言

從上學(xué)期期末報(bào)名到本周完成研題，老實(shí)說，這半年來我的心情一直很糾結(jié)，幾乎每一個(gè)節(jié)點(diǎn)都在猶豫要不要放棄。一開始是因?yàn)檫@道中考壓軸題解題方法太過單一，根本不可能像其他老師一樣發(fā)散思維，例舉多種解法；然后又是因?yàn)楸绢}最后一問和很多地方的中考壓軸題比起來太過簡單，我開始懷疑是否真的有研題的價(jià)值；最后就是不確定自己是否有足夠的知識儲備和經(jīng)驗(yàn)撐起一場研題。直到四月份在周靜老師的鼓勵(lì)下，我才重新?lián)炱疬@道題。

首先，在我們四中九年級李焦枝老師的建議和組織下，把題目印發(fā)給了部分九年級學(xué)生做。一來是學(xué)生思維更廣闊，說不定他們會有不同的解法；二來哪怕學(xué)生也沒其他解法，至少還能收集到他們在實(shí)操時(shí)出現(xiàn)的各種問題。果不其然，30名學(xué)生幾乎個(gè)個(gè)有問題，總結(jié)起來就是研題中所呈現(xiàn)的四大類問題。由此可見，我還是沒有做到站在學(xué)生的角度思考問題，沒有意識到，我們教師所謂的“簡單”，對學(xué)生來說不見得就是“簡單”。

結(jié)合學(xué)生的問題，李老師建議我可以進(jìn)行一個(gè)“最值問題”的專題探究，這是學(xué)生一直以來的一個(gè)難點(diǎn)。但我也深知在這一專題里，比我講得全面透徹的老師多的是，不差我這么一個(gè)班門弄斧的。所以我把2022年全國各地中考試卷中涉及到最值問題的題目都找了出來，按照最基礎(chǔ)的知識點(diǎn)進(jìn)行分類講解。或許這部分內(nèi)容對于能做壓軸題能拿高分的A等生來說有些基礎(chǔ)，但中考不僅僅是面向他們，也還有很多聽不懂壓軸題基礎(chǔ)差的學(xué)生，或許以這種角度展開會讓他們覺得最值問題其實(shí)也沒有想象中的難，努努力，也能拿到分?jǐn)?shù)。

我是先完成了第二部分的專題探究再回過頭寫第一部分的試題分析。一開始我只是參照新課標(biāo)對于試題中所考察到的學(xué)業(yè)要求進(jìn)行了一個(gè)梳理，但經(jīng)過黃毅老師的指點(diǎn)，我才意識到這一環(huán)節(jié)有些浮于表面。研題，雖然題目是個(gè)引子，但并不意味著照本宣科的念解析和答案就行。要重視對于學(xué)生思維的引導(dǎo)和啟發(fā)，也要重視新課標(biāo)中對于試題所涉及到的知識點(diǎn)提出了什么具體的內(nèi)容要求和學(xué)業(yè)要求，以及要達(dá)到這些要求和目標(biāo)，教材在哪個(gè)地方以什么形式呈現(xiàn)的，平時(shí)課堂上我們是如何處理的，處理過程中學(xué)生會出現(xiàn)什么樣的問題，如何解決等等。

修改的過程中，我也明白了，之前教學(xué)總是把握不好知識拓展的度，其實(shí)就是因?yàn)樽约簩τ诮滩摹⑿抡n標(biāo)的研究不夠透徹。以后無論是新授課還是習(xí)題課，前期的備課不僅要思考如何把本堂課的內(nèi)容傳授給學(xué)生，更要重視這些內(nèi)容背后的來龍去脈，自己做到心中有數(shù)，把握有度。

最后教學(xué)反思部分也讓我意識到在平時(shí)的教學(xué)過程中總結(jié)不夠及時(shí)。記憶力再好的人也不可能在一次性回想起每一天的教學(xué)中都有哪些反思，所以哪怕平時(shí)再忙，沒時(shí)間安靜地坐下來寫到備課本上，也應(yīng)該先用手機(jī)等方便記錄的東西先記下來，再在空余時(shí)間進(jìn)行整理。

現(xiàn)在看來，前幾個(gè)月的猶豫無異于是在浪費(fèi)時(shí)間，只有行動才會有切實(shí)的收獲。再次感謝張欽博士、黃毅老師、周靜老師，感謝研題群周雪老師、盧卉芳老師、肖璐露老師、吳方銀老師的精彩點(diǎn)評，感謝我校數(shù)學(xué)組每一位老師對我的支持和幫助。

劉珊老師簡介

劉珊，宜昌四中數(shù)學(xué)教師。曾榮獲西陵區(qū)優(yōu)質(zhì)課競賽一等獎(jiǎng)，四中“教壇新秀”稱號，西陵區(qū)初中命題設(shè)計(jì)評比一等獎(jiǎng)，宜昌四中第四屆校本教研節(jié)作業(yè)管理方略優(yōu)秀獎(jiǎng)，湖北省教師信息素養(yǎng)提升實(shí)踐活動三等獎(jiǎng)。

教研參考書籍推薦

《從優(yōu)秀試題研究中領(lǐng)悟初中數(shù)學(xué)教學(xué)》（張欽著）

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