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如果我在一個光速飛船上奔跑,我的速度比光速快嗎?

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這是個很容易想到的問題。狹義相對論早已給出了回答:不會,在地面看起來你的速度仍然是光速。



要理解這個結論,首先要明白,為什么這會成為一個問題。你的直覺是什么?是“在地面看來,你的速度等于飛船相對于地面的速度加上你相對于飛船的速度”,對不對?

好,這是生活中的常識。但在相對論中,這個常識是錯誤的!

讓我們用數學把這個問題表述得簡潔一些。有兩個互相之間做勻速直線運動的參照系,在1號參照系看來2號參照系的速度是u,而一個物體在2號參照系中的速度是v,而且這兩個速度在同一個方向上。我們把這個物體在1號參照系中的速度記作v'。那么,你的常識就是:

v' = v + u。

這個式子叫做“伽利略變換”,是意大利科學家伽利略(1564-1642)最先注意到的。

在日常生活中,伽利略變換是正確的。比如說,你在一輛汽車上跑步,你相對于汽車的速度是5米每秒,汽車相對于地面的速度是15米每秒,那么你相對于地面的速度就是20米每秒。

但是,相對論會告訴你,伽利略變換只是個近似公式,真正準確的公式是:



也就是:v' = (v + u) / (1 + uv/c^2)。

其中c是光速,大約30萬公里每秒,^2表示“平方”。這個公式叫做“洛倫茲變換”,是由荷蘭科學家洛倫茲(1853-1928)發現的(不是愛因斯坦哦,愛因斯坦提出了狹義相對論的理論體系,但洛倫茲變換在此之前就發現了)。它相當于在伽利略變換的基礎上,加了一個1 + uv/c^2的修正因子。

這個公式會告訴你什么呢?

當u和v跟光速相比很小時,uv/c^2接近于0,分母1 + uv/c^2接近于1,這時v'基本上就是v + u,你就回到了伽利略變換。

在上面那個u = 15米每秒,v = 5米每秒的例子中,情況就是如此。如果你把精確的式子代進去,會發現對結果的修正只有10的負16次方的量級,也就是說要到小數點后第16位才能顯示出差別,這樣小的效應甚至都超出了儀器的探測能力。

但是,當u或者v跟光速可以相比時,情況就不同了,這時你就要嚴肅對待這個1 + uv/c^2的修正因子了。

例如,u = v = c/2,你相對于汽車和汽車相對于地面都以光速的一半運動,這時會怎么樣?你的直覺是v' = c,你相對于地面達到了光速。但正確結果是,v' = (1/2 + 1/2) / (1 + 1/4) c = 1 / (5/4) c = (4/5) c。在地面看來,你的速度是光速的80%,仍然低于光速!

再來看,如果u = v = (3/4) c呢?這時你的直覺是v' = (3/2) c,你相對于地面超過光速(這是很多人設想的超過光速的辦法)。但正確結果是,v' = (3/4 + 3/4) / (1 + 9/16) c = (3/2) / (25/16) c = (24/25) c。你離光速更近了,達到了光速的96%,但仍然低于光速!

實際上,用一點初中級別的數學就可以證明,如果u和v都小于c,v'必然也小于c(你不妨來證明看看)。也就是說,希望通過運動疊加的方式達到光速,是不可能的。

最后來看題目中的情況。這時u = c,你的直覺是v' = v + c,但洛倫茲變換的結果是什么呢?

是v' = (v + c) / (1 + v/c)。這個式子化簡以后是什么?

就是c啊!

在地面看來,你的速度仍然是光速!

你以為會是光速加上v,但v這部分剛好完全被洛倫茲變換相對于伽利略變換的修正吃掉了,剩下的仍然是光速。

你很容易發現,如果u和v中有一個等于c,那么v'就等于c。如果u和v都等于c,v'還是等于c。

經常有人問:“如果兩束光相向而行,那么在一束光看來另一束光的速度是不是2c?”現在你知道了,答案仍然是c。

總之,光速有這么一種特性,能擊敗一切的通過變換參照系對它進行修正的努力。無論你怎么換參照系,光速總是那么多,既不會更高,也不會更低。這正是相對論的基本原理之一,叫做“光速不變性”。

最后,有兩點需要提醒一下。

一,這個題目說得有點問題,因為根據相對論,飛船這種“靜質量”不為零的物體是不可能達到光速的,只有光這種“靜質量”為零的物體才會以光速運動。所以原題目最好改成“在一個飛行的飛船上有一束光,在地面看來它比光速快嗎”。也就是說,與其問u = c會發生什么,不如問v = c會發生什么。不過,這對于本文的內容并沒有影響,因為你可以注意到,在洛倫茲變換中u和v的地位是完全等價的,把兩者換一下得到的是同樣的公式。



二,洛倫茲變換明顯違反日常生活的直覺,但科學界早就承認它是正確的。這不是因為科學家喜歡標新立異,而是因為它符合實驗結果。如果你堅持伽利略變換,就會預測一些錯誤的實驗結果。比如說,通過測量在地球運動的不同方向上光速的區別,就可以確定地球在宇宙中的絕對速度。這個實驗叫做“邁克爾孫-莫雷實驗”。這個實驗真的做了,結果卻是測量不到在地球運動的不同方向上光速有任何區別!現在,你明白洛倫茲變換的威力了吧?

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