拋物線背景下的矩形存在性——東湖高新區(qū)九年級(jí)數(shù)學(xué)第24題

關(guān)于矩形存在性的探究，在函數(shù)綜合題中很常見(jiàn)，根據(jù)矩形本身的圖形屬性，我們已知其中兩個(gè)頂點(diǎn)，求剩下的頂點(diǎn)，方法是“兩垂一圓”，即分別以這兩個(gè)頂點(diǎn)所連線段為邊，或者為對(duì)角線，尋找另外兩個(gè)頂點(diǎn)。

題目

解析：

01

(1)本小題方法很多，最快的方法是利用拋物線頂點(diǎn)式，設(shè)y=a(x-2)2+4，把(0,0)代入，求出a=-1，即y=-x2+4x；

02

(2)思考這樣一個(gè)問(wèn)題，經(jīng)過(guò)O、E兩點(diǎn)的拋物線，對(duì)稱(chēng)軸在哪？

所以很明顯P、Q兩點(diǎn)均在OE的垂直平分線上，拋物線C2甚至不需要畫(huà)出來(lái)，然后再去作PQ的垂直平分線，如下圖：

不妨設(shè)Q(2,n)，則M，N的縱坐標(biāo)為n/2+2，可列方程-x2+4x=n/2+2，利用配方法解這個(gè)方程，得到M，N的橫坐標(biāo)，則MN長(zhǎng)度可用含n的代數(shù)式表示，然后再表示出PQ的長(zhǎng)度，四邊形PMQN的面積可用對(duì)角線乘積的一半來(lái)求，推導(dǎo)如下：

現(xiàn)在可求出Q點(diǎn)坐標(biāo)(2,20/9)，再利用頂點(diǎn)式設(shè)拋物線C2為y=a(x-2)2+20/9，代入(0,0)即可求出a=-5/9，最后得到拋物線C2的函數(shù)表達(dá)式為y=-5/9(x-2)2+20/9；

03

(3)先求出平移后的拋物線為y=-x2+2x+3，再分別求出A(0,3)和B(3,0)，得到直線AB的解析式為y=-x+3；

下面我們分情況討論：

①當(dāng)AB為矩形邊長(zhǎng)時(shí)，分別過(guò)點(diǎn)A、B作AB的垂線，與直線PH的交點(diǎn)即為點(diǎn)C，如下圖：

過(guò)點(diǎn)A且垂直于AB的直線解析式為y=x+3，與PH的交點(diǎn)為C(2,5)，從點(diǎn)A到點(diǎn)C，橫縱坐標(biāo)分別加2，故點(diǎn)D坐標(biāo)在點(diǎn)B的基礎(chǔ)上，橫縱坐標(biāo)分別加2，得D(5,2)；

過(guò)點(diǎn)B且垂直于AB的直線解析式為y=x-3，與PH的交點(diǎn)為C(2,-1)，從點(diǎn)B到點(diǎn)C，橫縱坐標(biāo)分別減1，故點(diǎn)D坐標(biāo)在點(diǎn)A的基礎(chǔ)上，橫縱坐標(biāo)分別減1，得D(-1,2)；

②AB為矩形對(duì)角線時(shí)，我們找到線段AB的中點(diǎn)G，根據(jù)矩形對(duì)角線互相平分且相等，不妨設(shè)C(2,m)，兩點(diǎn)距離公式求AB=3√2，則CG=3√2/2，可列方程求出m的值，如下圖：

解題反思

本題函數(shù)味道稍弱，幾何味道略強(qiáng)，由點(diǎn)坐標(biāo)求線段長(zhǎng)度，再由線段長(zhǎng)度表示面積，本質(zhì)上是幾何屬性，只不過(guò)這些量中都含參數(shù)，這個(gè)參數(shù)是由函數(shù)引起的。

矩形的存在性探究，已知兩個(gè)頂點(diǎn)，需要從直觀上去確定這個(gè)矩形的大致形狀，即AB為邊，或?yàn)閷?duì)角線，由于AB本身位置的特殊性，△AOB是等腰直角三角形，所以利用幾何圖形性質(zhì)同樣可以得到結(jié)論，而不僅依靠于求直線解析式。

矩形存在性與直角三角形存在性本質(zhì)上是一樣的，所采用的分類(lèi)方法及尋求頂點(diǎn)的方法一致。我們?cè)贏B為直角邊時(shí)，分別取A和點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，以AB為斜邊時(shí)在直線AB兩側(cè)各尋找到一個(gè)直角頂點(diǎn)，這又可以與圓聯(lián)系起來(lái)，所以在作圖時(shí)，我們通常會(huì)有兩垂一圓的說(shuō)法，這個(gè)圓即以AB為直徑的圓，圓周上任何一點(diǎn)都可以構(gòu)成以AB為斜邊直角三角形。

這些事實(shí)，需要在教學(xué)中學(xué)生領(lǐng)悟，或者在教師引導(dǎo)下領(lǐng)悟，如果順序反了，先告訴學(xué)生事實(shí)，然后通過(guò)練習(xí)去記憶，最后學(xué)生不會(huì)理解，更不會(huì)運(yùn)用。