新定義“α對稱旋轉”

2024年西城區九年級數學期末第28題

數學中的對稱，在初中階段通常指軸對稱和中心對稱，屬于圖形變化版塊，無論哪種對稱，全等是其中最重要的關系，畢竟軸對稱和中心對稱，也是特殊的全等圖形。在新課標中，對于圖形的旋轉，有如下要求：通過具體實例認識平面圖形關于旋轉中心的旋轉。探索它的基本性質：一個圖形和旋轉得到的圖形中對應點到旋轉中心距離相等，兩組對應點分別與旋轉中心連線所成的角相等。當旋轉角為180°時，即為中心對稱。

在2024年西城區九年級上學期的期末試題中，“α對稱旋轉”利用這些旋轉特性，構建出新的概念，呈軸對稱（或中心對稱）的兩個點分別作為旋轉中心，按不同方向旋轉相同的角度，從而完成某個圖形的變換，對學生理解旋轉變換提出了較高的要求。

題目

如圖，在平面直角坐標系xOy中，點S(-1,0)，T(1,0).對于一個角α(0°<α≤180°)，將一個圖形先繞點S順時針旋轉α，再繞點T逆時針旋轉α，稱為一次“α對稱旋轉”.

(1)點R在線段ST上，則在點A(1,-1)，B(3,-2)，C(2,-2)，D(0,-2)中，有可能是由點R經過一次“α對稱旋轉”后得到的點是_____________________；

(2)x軸上的一點P經過一次“α對稱旋轉”得到點Q.

①當α=60°時，PQ=______________；

②當α=30°時，若QT⊥x軸，求點P的坐標；

(3)以點O為圓心作半徑為1的圓，若在圓O上存在點M，使得點M經過一次“α對稱旋轉”后得到的點在x軸上，直接寫出α的取值范圍.

解析：

01

(1)從新定義的描述中，發現“α對稱旋轉”較為簡潔，旋轉中心分別是兩個定點S和T，旋轉方向分別是順時針和逆時針，旋轉角同為90°；

點R在線段ST上，意味著線段ST上所有點都有可能是點R，因此我們在考慮點R的“α對稱旋轉”時，不妨把所有可能的點都考慮到，即線段ST的“α對稱旋轉”，如下圖：

線段ST先繞點S順時針旋轉90°，得到ST'，再將線段ST'繞點T逆時針旋轉90°，得到線段S'B，即圖中紅色線段，于是所有可能的點R經過一次“α對稱旋轉”后的點，都在這條紅色線段S'B上，本小題結論一眼可知，B點和C點；

02

(2)①當α=60°時，x軸上的點P經過一次“α對稱旋轉”：點P繞點S順時針旋轉60°得到點P'，點P'繞點T逆時針旋轉60°得到點Q，如下圖：

由于旋轉角是60°，因此△SPP'和△TP'Q都是等邊三角形，這便是常見的“手拉手模型”，所以可以得到△STP'≌△PQP'，于是ST=PQ=2；

②當α=30°時，x軸上的點P經過一次“α對稱旋轉”：點P繞點S順時針旋轉30°得到點P'，點P'繞點T逆時針旋轉30°得到點Q，如下圖：

新增條件QT⊥x軸，又因為∠PSP'=∠P'TQ=30°，于是∠STP'=90°-30°=60°，于是△STP'是含30°角的直角三角形；

ST=2，得到SP'=√3=SP，最后得到點P坐標為(-1+√3，0)；

03

(3)作為本題難度“天花板”，我們仍然遵從題目中描述的“α對稱旋轉”定義，對于圓O上存在的點M，不妨先考慮整個圓作為一個整體進行一次“α對稱旋轉”，只要變換后的圓與x軸有公共點，即可得到點M；

先作圓O，將它繞點S順時針旋轉α得到圓O'，再將圓O'繞點T逆時針旋轉α得到圓O"，隨著α從0°變化到180°，全過程動畫如下：

綠色的是圓O'，紅色的是圓O"，我們重點觀察后者，發現它與x軸有公共點的時間段有兩個，第一段是α從0°開始，到30°結束，第二段是從150°開始，到180°結束，當然這是動畫演示的結果，并不能代表學生也能這樣精確去構思。

對于學生來講，只需要明白圓O"與x軸有公共點時，即存在點M，而圓O"的半徑是1，所以我們觀察圓心O"的位置，當O"與x軸距離小于等于1的時候存在點M；

整個過程中，我們需要求解的α值其實只有兩個，即當圓O"兩次與x軸相切時的旋轉角；

第一次，如下圖：

為了方便觀察，我們將圓都隱去，只保留圓心，在實際解題時，也鼓勵學生使用這種作圖草稿的辦法，只關注核心要素，如下圖：

由于旋轉角均為α，因此對于等腰△SOO'與等腰△TO'O"，它們是相似三角形，且頂角均為α，底角為90°-1/2·α，它們各自的腰與底之比相同，可得SO':O'O=O'T:O'O"，即△SO'T與△OO'O"的一組對應邊成比例，同時易證∠SO'T=∠OO'O"，所以△SO'T∽△OO'O"，從而推導出∠O'OO"=α，我們需要作出點O"到x軸的距離，同時也過點O'作x軸的垂線段，如下圖：

繼續前面的推導，∠O'OC=90°-∠SOO'=1/2α，則∠O'OO"=α，于是∠O"OC=1/2α，所以∠O"OB=90°-1/2α，所以∠O'OA=∠O"OB，可證△O'OA∽△O"OB，其中O"B=1，于是O'A=1/2，最后回到Rt△SAO'中，sinα=1/2，于是∠α=30°；

由此我們得到第一段的范圍是0°<α≤30°；

第二次，如下圖：

我們采用同樣的推導方式，如下圖：

結論也類似，當EO"=1的時候，DO'=1/2，我們仍然能求出∠DSO'=30°，于是α=150°；

由此我們得到第二段的范圍是150°≤α≤180°；

綜上，α的范圍是0°<α≤30°，150°≤α≤180°.

解題反思

在2024年各區期末數學試題中，西城區這道新定義壓軸題難度較高，基本上前面不再“無腦送”，而是需要去認真理解“α對稱旋轉”，通常情況下解這類壓軸題，有句俗語叫“磨刀不誤砍柴功”，別急著去看第1小題，在草稿紙上任意取點，按定義描述去畫一畫，想一想，只要這一步做踏實了，后面無論圖形位置、大小如何，畫草圖就容易得多。

解這道壓軸題的時候，需要學生較強的手動作圖能力，雖然作為老師可以利用幾何畫板、GGB等工具精準繪圖，但僅限于解題研究，如果給學生講題，則必須切換作圖思維，在純手工作圖環境下，如何得到本題所需的圖形，即培養學生的作圖能力。所以在解讀新定義環節，需要以“任意點”來進行嘗試，分別以S、T為旋轉中心，“任意α角”進行順時針或逆時針旋轉，在作圖過程中，腦子里也需要進行圖形動態化處理，從而形成動畫過程，當這種嘗試遇到困難時，第1小題提供了特殊化處理，也是為了降低學生理解難度，顯然第2小題則在前面的基礎上對理解加深了一層，深度是否足夠，則第3小題來檢驗。

在網上也搜索到了部分這道題的講解視頻，這些視頻大多推出較早，基本上在考試結束后便出現了，對于第3小題為什么α臨界值是30°和150°，只是簡單用繪圖工具演示或猜測，并沒有進行嚴格幾何推理，這對于中等生理解十分不友好，其實學霸理解也要遵循這些推導，只是速度較快罷了。如果是給學生講，還是淺顯一點的好。

數學老師研題，不是簡單把題目解出來，把自已的方法告訴學生這么簡單，而是要分析題目從條件推導出結論的全過程，將整個思維顯現出來，再引導學生沿這條路走，告知和引導，是兩種完全不同的教學，因此，強烈推薦《從優秀試題研究中領悟初中數學教學》叢書，上冊已出版，中冊即將出版，它將為初中數學老師推開一扇教學研究的大門。