從新定義看學生運算模型的建構

站在小初高一體化貫通培養的高度看整個12年的教育經歷，中考和高考是兩個重要節點，尤其是后者，俗語說高考是整個基礎教育的風向標，一點都沒錯，我們不妨先看一下幾份2024年高考數學試卷的壓軸題，如下圖：

2024年全國新課標I卷第19題

2024年全國新課標II卷第19題

2024年北京高考數學第21題

關鍵詞：數列、新定義、集合、函數、圓錐曲線、概率；

明確了方向，再來看中考，2024年全國各地中考題里，也有不少壓軸題以新定義形式呈現；所謂新定義，考察學生理解概念并運用概念的能力，這在數學學習中非常重要，畢竟數學就是玩概念，如何把概念教學做好，也是初中數學教師應該正視的問題，從七年級開始，滲透新定義的理念，在這個階段，學生會重新從基本運算開始，數域擴充后的運算與小學區別很大，許多在小學行之有效的學習方法例如刷題、強記等，在初中行不通，整個初中階段，在運算上花費最多時間的，也正是在七年級有理數運算章節中，我們通過這一章的學習，究竟要學到什么？僅僅是會計算就行了嗎？

個人認為，這個章節結束之后，學生應該建立自已的運算模型，不僅能夠完成數字與數字之間的運算，也能夠在看到式與式之間的運算后不感到驚詫莫名、手足無措，等進一步學習了代數式和整式的加減，這個運算模型就成型了，并借助這個模型，在進一步擴充至實數范圍后，無疑銜接，而在高中階段再一次擴充數域，這個經驗能夠用得上。

下面以海淀區七年級期中試題第26題為例：

題目

解析：

01

(1)讀懂新定義是關鍵，對于這兩個新運算，簡稱圈加和圈乘，圈加的意思是給兩個整式分別乘以相應的系數a、b，再相加，熟悉高中數學內容的會立刻想起矩陣乘法，如下圖：

在跟學生解讀時，可以借助這個符號，但不必提矩陣概念；

這一小題本質上是模仿，我們多數所謂新運算題都是這個套路，給列式套上了個新定義的殼兒；

02

(2)本小題需要對新運算有著更深入的理解：

每次運算都是對前面的結果的迭代，觀察前面三次運算后A的系數，由a+b變成a(a+b)+b=a2+ab+b，再變成a(a2+ab+b)+b=a3+a2b+ab+b，特點是有幾個A參與運算，結果就有幾項，再合并同類項，最高次項只有單獨字母a，次數比項數少1，最低次項是單獨字母b，并且除第一項外，各項均有因數b；

這里的難點是數運算中A的個數，n個A圈加，先拿前兩個進行一次運算，還剩下n-2個A，再從剩下的拿出一個繼續和前面的結果進行一次運算，還剩下n-3個A，依次類推，到最后一次運算，應該剩下0個A，對照前面a的次數即可得到結論；

然后是對最后得到的式子進行數學解讀，等式右邊是固定數字1，而由于n是任意正整數，因此需要讓其底數為0或1才能保證結果唯一，顯然a=0更符合，在得到a的值之后，b的值也隨之確定，因此a=0，b=1；

03

(3)增加了A和B這兩個代數式的復雜度，運算模型不變，因此繼續利用前面的經驗推導：

此時需要理解“不含xy項”的意義，即將上式利用分配律去年括號之后，含xy項的系數合并為零，所以我們沒有必要把全部整式乘法展開，只需要盯住7xy和前面系數相乘，以及-30xy與前面系數相乘的結果；

p和q是正整數，我們可以開始嘗試了，先觀察右邊有因數30，因此左邊的運算結果中，個位數為0，則要求7乘某個數后，個位數為4，根據乘法口訣，7×2=14，即2的p+1次冪，個位數為2，而在2的乘方運算中，1次和5次冪結果個位數為2，所以p+1首先要從1和5開始試，顯然p+1=1時，p=0，不符合；因此p+1=5時，p=4，左邊=240，右邊可求出q=3；

于是p=4，q=3.

解到此處應該算完結，但始終會存在一個疑問，p和q再取更大一點的正整數，會不會仍然成立呢？

自已試了一下，p+1=9時，左邊=3600，也確實沒找到相應的正整數q使等式成立，沒繼續尋找下去，但心里又沒底，所以建議這道題最后一問改為找出最小的正整數p和q的值或找到一組存在的p和q的值.

解題思考

新定義題型對學生的數學閱讀能力、邏輯推理能力以及分析問題和解決問題的能力都有相對較高的要求，它讓學生經歷了一次完整的“用數學”過程，這對于未來學習新的數學內容，就是可供借鑒的寶貴經驗，我們通常所說的授人以漁，這個“漁”的含義就是數學經驗；

學生在七年級階段經歷的就是一種運算模型的建構，我們在學習有理數運算法則時，學習的是如何將那些用運算符號連接的數字求出結果，而在學習整式的加減時，只當過將數字換成了整式，法則仍然不變，所以對于法則的理解，從有理數到整式，是更深了一層，其實學生在學習過程中，也很自然地發現，合并同類項本質上就是進行加法，而且屬于代數和，去括號本質上就是乘法分配律，這些都在運算法則框架下，包括本題中的圈加和圈乘，依然適用于七年級學習的這些法則。

由常識可知經驗的積累是一個長期過程，因此數學學習也一定是個慢過程，無論是作為老師或家長，心里需要存在一種期待。雖然我們在現實中，講的最多的就是高效、快捷等一系列與“慢”字相反意義的詞句，但這些并不矛盾，所謂的慢，是指建立模型的過程，一旦建立成功，那自然就快了，該慢則慢，該快則快，是要分場景的，不要一概而論。

所以對于我們的課堂，請盡可能“慢”下來，讓數學有更多時間滲透到每個孩子的腦子里，對于每位家長，也請把心也“慢”下來，花開需要時間。