從新定義看學(xué)生運(yùn)算模型的建構(gòu)

站在小初高一體化貫通培養(yǎng)的高度看整個(gè)12年的教育經(jīng)歷，中考和高考是兩個(gè)重要節(jié)點(diǎn)，尤其是后者，俗語(yǔ)說(shuō)高考是整個(gè)基礎(chǔ)教育的風(fēng)向標(biāo)，一點(diǎn)都沒(méi)錯(cuò)，我們不妨先看一下幾份2024年高考數(shù)學(xué)試卷的壓軸題，如下圖：

2024年全國(guó)新課標(biāo)I卷第19題

2024年全國(guó)新課標(biāo)II卷第19題

2024年北京高考數(shù)學(xué)第21題

關(guān)鍵詞：數(shù)列、新定義、集合、函數(shù)、圓錐曲線、概率；

明確了方向，再來(lái)看中考，2024年全國(guó)各地中考題里，也有不少壓軸題以新定義形式呈現(xiàn)；所謂新定義，考察學(xué)生理解概念并運(yùn)用概念的能力，這在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常重要，畢竟數(shù)學(xué)就是玩概念，如何把概念教學(xué)做好，也是初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該正視的問(wèn)題，從七年級(jí)開(kāi)始，滲透新定義的理念，在這個(gè)階段，學(xué)生會(huì)重新從基本運(yùn)算開(kāi)始，數(shù)域擴(kuò)充后的運(yùn)算與小學(xué)區(qū)別很大，許多在小學(xué)行之有效的學(xué)習(xí)方法例如刷題、強(qiáng)記等，在初中行不通，整個(gè)初中階段，在運(yùn)算上花費(fèi)最多時(shí)間的，也正是在七年級(jí)有理數(shù)運(yùn)算章節(jié)中，我們通過(guò)這一章的學(xué)習(xí)，究竟要學(xué)到什么？?jī)H僅是會(huì)計(jì)算就行了嗎？

個(gè)人認(rèn)為，這個(gè)章節(jié)結(jié)束之后，學(xué)生應(yīng)該建立自已的運(yùn)算模型，不僅能夠完成數(shù)字與數(shù)字之間的運(yùn)算，也能夠在看到式與式之間的運(yùn)算后不感到驚詫莫名、手足無(wú)措，等進(jìn)一步學(xué)習(xí)了代數(shù)式和整式的加減，這個(gè)運(yùn)算模型就成型了，并借助這個(gè)模型，在進(jìn)一步擴(kuò)充至實(shí)數(shù)范圍后，無(wú)疑銜接，而在高中階段再一次擴(kuò)充數(shù)域，這個(gè)經(jīng)驗(yàn)?zāi)軌蛴玫蒙稀?/p>

下面以海淀區(qū)七年級(jí)期中試題第26題為例：

題目

解析：

01

(1)讀懂新定義是關(guān)鍵，對(duì)于這兩個(gè)新運(yùn)算，簡(jiǎn)稱圈加和圈乘，圈加的意思是給兩個(gè)整式分別乘以相應(yīng)的系數(shù)a、b，再相加，熟悉高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的會(huì)立刻想起矩陣乘法，如下圖：

在跟學(xué)生解讀時(shí)，可以借助這個(gè)符號(hào)，但不必提矩陣概念；

這一小題本質(zhì)上是模仿，我們多數(shù)所謂新運(yùn)算題都是這個(gè)套路，給列式套上了個(gè)新定義的殼兒；

02

(2)本小題需要對(duì)新運(yùn)算有著更深入的理解：

每次運(yùn)算都是對(duì)前面的結(jié)果的迭代，觀察前面三次運(yùn)算后A的系數(shù)，由a+b變成a(a+b)+b=a2+ab+b，再變成a(a2+ab+b)+b=a3+a2b+ab+b，特點(diǎn)是有幾個(gè)A參與運(yùn)算，結(jié)果就有幾項(xiàng)，再合并同類項(xiàng)，最高次項(xiàng)只有單獨(dú)字母a，次數(shù)比項(xiàng)數(shù)少1，最低次項(xiàng)是單獨(dú)字母b，并且除第一項(xiàng)外，各項(xiàng)均有因數(shù)b；

這里的難點(diǎn)是數(shù)運(yùn)算中A的個(gè)數(shù)，n個(gè)A圈加，先拿前兩個(gè)進(jìn)行一次運(yùn)算，還剩下n-2個(gè)A，再?gòu)氖Ｏ碌哪贸鲆粋€(gè)繼續(xù)和前面的結(jié)果進(jìn)行一次運(yùn)算，還剩下n-3個(gè)A，依次類推，到最后一次運(yùn)算，應(yīng)該剩下0個(gè)A，對(duì)照前面a的次數(shù)即可得到結(jié)論；

然后是對(duì)最后得到的式子進(jìn)行數(shù)學(xué)解讀，等式右邊是固定數(shù)字1，而由于n是任意正整數(shù)，因此需要讓其底數(shù)為0或1才能保證結(jié)果唯一，顯然a=0更符合，在得到a的值之后，b的值也隨之確定，因此a=0，b=1；

03

(3)增加了A和B這兩個(gè)代數(shù)式的復(fù)雜度，運(yùn)算模型不變，因此繼續(xù)利用前面的經(jīng)驗(yàn)推導(dǎo)：

此時(shí)需要理解“不含xy項(xiàng)”的意義，即將上式利用分配律去年括號(hào)之后，含xy項(xiàng)的系數(shù)合并為零，所以我們沒(méi)有必要把全部整式乘法展開(kāi)，只需要盯住7xy和前面系數(shù)相乘，以及-30xy與前面系數(shù)相乘的結(jié)果；

p和q是正整數(shù)，我們可以開(kāi)始嘗試了，先觀察右邊有因數(shù)30，因此左邊的運(yùn)算結(jié)果中，個(gè)位數(shù)為0，則要求7乘某個(gè)數(shù)后，個(gè)位數(shù)為4，根據(jù)乘法口訣，7×2=14，即2的p+1次冪，個(gè)位數(shù)為2，而在2的乘方運(yùn)算中，1次和5次冪結(jié)果個(gè)位數(shù)為2，所以p+1首先要從1和5開(kāi)始試，顯然p+1=1時(shí)，p=0，不符合；因此p+1=5時(shí)，p=4，左邊=240，右邊可求出q=3；

于是p=4，q=3.

解到此處應(yīng)該算完結(jié)，但始終會(huì)存在一個(gè)疑問(wèn)，p和q再取更大一點(diǎn)的正整數(shù)，會(huì)不會(huì)仍然成立呢？

自已試了一下，p+1=9時(shí)，左邊=3600，也確實(shí)沒(méi)找到相應(yīng)的正整數(shù)q使等式成立，沒(méi)繼續(xù)尋找下去，但心里又沒(méi)底，所以建議這道題最后一問(wèn)改為找出最小的正整數(shù)p和q的值或找到一組存在的p和q的值.

解題思考

新定義題型對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力、邏輯推理能力以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力都有相對(duì)較高的要求，它讓學(xué)生經(jīng)歷了一次完整的“用數(shù)學(xué)”過(guò)程，這對(duì)于未來(lái)學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)內(nèi)容，就是可供借鑒的寶貴經(jīng)驗(yàn)，我們通常所說(shuō)的授人以漁，這個(gè)“漁”的含義就是數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)；

學(xué)生在七年級(jí)階段經(jīng)歷的就是一種運(yùn)算模型的建構(gòu)，我們?cè)趯W(xué)習(xí)有理數(shù)運(yùn)算法則時(shí)，學(xué)習(xí)的是如何將那些用運(yùn)算符號(hào)連接的數(shù)字求出結(jié)果，而在學(xué)習(xí)整式的加減時(shí)，只當(dāng)過(guò)將數(shù)字換成了整式，法則仍然不變，所以對(duì)于法則的理解，從有理數(shù)到整式，是更深了一層，其實(shí)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，也很自然地發(fā)現(xiàn)，合并同類項(xiàng)本質(zhì)上就是進(jìn)行加法，而且屬于代數(shù)和，去括號(hào)本質(zhì)上就是乘法分配律，這些都在運(yùn)算法則框架下，包括本題中的圈加和圈乘，依然適用于七年級(jí)學(xué)習(xí)的這些法則。

由常識(shí)可知經(jīng)驗(yàn)的積累是一個(gè)長(zhǎng)期過(guò)程，因此數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也一定是個(gè)慢過(guò)程，無(wú)論是作為老師或家長(zhǎng)，心里需要存在一種期待。雖然我們?cè)诂F(xiàn)實(shí)中，講的最多的就是高效、快捷等一系列與“慢”字相反意義的詞句，但這些并不矛盾，所謂的慢，是指建立模型的過(guò)程，一旦建立成功，那自然就快了，該慢則慢，該快則快，是要分場(chǎng)景的，不要一概而論。

所以對(duì)于我們的課堂，請(qǐng)盡可能“慢”下來(lái)，讓數(shù)學(xué)有更多時(shí)間滲透到每個(gè)孩子的腦子里，對(duì)于每位家長(zhǎng)，也請(qǐng)把心也“慢”下來(lái)，花開(kāi)需要時(shí)間。