本月主題：

1. 拓撲學和房性心動過速

2. 熱力學線性代數

作者：Tony Phillips（石溪大學數學教授）2025-1-16

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2025-1-18

1. 拓撲學和房性心動過速

據《循環：心律失常和電生理學》 Circulation: Arrhythmia and Electrophysiology雜志11月5日發表的一篇文章 https://www.ahajournals.org/doi/10.1161/CIRCEP.124.013102 ，拓撲結構可以幫助了解心房撲動（一種心臟跳動過快的疾病） https://my.clevelandclinic.org/health/diseases/22885-atrial-flutter ，并有助于矯正手術計劃。

心房撲動（atrial flutter）通常是由稱為大折返性房性心動過速的心臟傳導網絡紊亂引起的。控制心房（心臟的兩個上腔室）收縮的電信號發生短路，病理性地加速心跳。

為了了解拓撲的作用，我們需要一些有關心臟和心臟傳導網絡的信息。

心臟傳導網絡示意圖

心臟的四個心室分別標記為LA、RA（左心房、右心房；心房Atrium）和 LV、RV（左心室和右心室；心室Ventricle）。

心臟的自主神經系統（橙色）由SA（SinoAtrial）竇房結（節點SA）和AV（AtrioVentricular）房室結（節點AV）控制。

激活心臟不同區域的時間（以秒為單位）由綠色箭頭和數字表示。

圖源：Richard E. Klabunde博士，經許可使用 https://cvphysiology.com/arrhythmias/a003

左右兩個心房分別通過靜脈從肺部和身體其他部位接收血液。竇房結SA是起起搏器作用的細胞簇 https://cvphysiology.com/arrhythmias/a002 。

一次循環中，竇房結啟動一個通過心房傳播的去極化波（depolarization wave），使心房收縮并將血液排入心室。

房室結AV是一段組織，它延遲此信號，讓血液有時間移動，然后通過標記的路徑將其發送到心室，左右心室收縮并通過動脈將血液分別排出到肺和其他身體部位。

去極化（depolarization）和再極化（repolarization，復極化）的傳播，通過疊加在心臟正面視圖上的顏色顯示。

在每個循環中，去極化波（紅色）掃過心臟。細胞從靜息電位（未突出顯示）變為去極化（藍色），然后再極化（黃色）。

注意SA節點的啟動和AV節點的延遲。

圖源：Patrick J. Lynch，醫學插畫家，根據CC BY 2.5使用，來自Wikimedia Commons https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Basic_representation_of_cardiac_conduction.gif

這種情形可能出現偏差的一種方式是部分去極化波在一個心房周圍再循環，并導致該心房額外快速收縮。這是折返性房性心動過速（reentrant atrial tachycardia，字面意思是心臟加速）的“折返”，是一種潛在的危險狀況。

主要作者Mattias Duytschaever及其同事在他們的文章中解釋了拓撲分析如何能夠對這種病理學和治愈步驟提供有用的描述。

正如上面的去極化波圖像所示，心臟傳導是一種二維現象。從這個角度來看，心室的功能就像曲面一樣。

例如，左心房作為一個曲面，在拓撲上是一個具有三個孔的二維球面（每個肺靜脈的兩個分支的入口點可能足夠接近，因此，就曲面上的傳導而言，它們構成了一個孔）。

為了研究傳導，左心房是一個有邊界的曲面：一個帶有三個孔的球曲。這些孔對應于右左肺靜脈（RPV、LPV，靜脈PV，Pulmonary Vein）以及將左心房LA與左心室LV分開的二尖瓣MV（Mitral Valve）。

圖源：Tony Phillips

分析的第一步（集中于左心房心動過速）是將傳導模式可視化為相位場，為曲面上的每個點分配0和2π之間的角度，表示在一個周期中該點首次受到去極化波沖擊的時間。

明確地講，如果LAT（Local Activation Time）是該點的局部激活時間，TCL（Tachycardia Cycle Length）是心動過速周期長度，則作者將該點的相位定義為 ? = 2π LAT/TCL 。

接下來，他們將曲面上某個區域的拓撲電荷TC（Topological Charge）定義為環繞包圍該區域的曲線逆時針方向的總相位變化，并將邊界分量的拓撲電荷定義為圍繞該分量逆時針方向的相位變化。

具有拓撲電荷TC(A)=-1,0,+1的區域A的示例。

我們將每個點與可能相位的圓相關聯，并通過以適當的角度為每個點在其圓中分配一條線段來描繪相位場。例如，當A邊界上的所有點同時經歷去極化時，就會導致拓撲電荷為0：TC(A)=0

圖源：Tony Phillips

存在左心房心動過速意味著去極化波在曲面某處繞圈。這意味著必須有一條曲線圍繞具有拓撲電荷+1或-1的區域。（曲線內的區域必須包含一個孔或一個不傳導波的點，例如一個疤痕。）

作者應用他們所謂的指標定理來斷言，還必須存在另一個具有相反拓撲電荷的區域。

• 指標定理。假設有邊界的曲面被曲線分割成區域 A?, A?, ?, An。如果在整個曲面上定義了相位場，則A?, A?, ?, An的拓撲電荷，加上邊界的拓撲電荷，總和必須為零。

多邊形A?具有頂點x?, x?, x?, x?, x?；相鄰的多邊形A?具有頂點x?, x?, x?, x?。

圖源：Tony Phillips

證明。假設曲面包括相鄰的曲線多邊形A?和A?，如圖所示。A?的拓撲電荷，即圍繞A?邊界的相位場的總旋轉，是其沿著x?x?、x?x?等等這些邊始終逆時針移動的旋轉之和。類似地，A?的拓撲電荷是沿邊x?x?,x?x?,x?x?,x?x?逆時針移動的旋轉之和。

請注意，沿x?x?的旋轉是沿x?x?旋轉的負值。曲面上的每條邊（包括沿邊界的邊）將對拓撲電荷之和貢獻兩倍，且符號相反。所以總和一定為零。

作者將“臨界邊界”（CB，Critical Boundary）稱為一條曲線，通常是邊界分量，相位場圍繞該曲線具有非零旋轉。根據指標定理，折返性房性心動過速意味著將有兩個CB；在大多數情況下，通過消融（ablation，破壞它們之間的一條曲面帶）將一個與另一個連接起來可以重建正常的心律。

該文章包含布魯日圣約翰醫院一項涉及131名患者（其中106名患者患有左心房折返性房性心動過速）的臨床研究結果，該研究為這些患者的診斷和治療提供了信息。

2. “熱力學線性代數”

一個振蕩彈簧系統可以幫助求解線性方程。這是《自然》新期刊《npj自然伙伴期刊——非傳統計算》npj Unconventional Computing（npj，即Nature Partner Journals）11月5日發表的一篇文章的結論 https://www.nature.com/articles/s44335-024-00014-0 。

該文章的八位作者認為，線性代數是許多科學算法的核心，加速其實現將非常有價值。這篇題為“熱力學線性代數”的新論文提供了“基于經典熱力學以物理為基礎的計算范式”。

讓我們看看熱力學范式是如何工作的。我們專注于求解線性方程組的經典線性代數問題。一維情況非常簡單：我們有一個方程ax=b，其解為x=b/a。為了將范式應用于這種情況，我們將構建一個具有勢能函數U=?ax2-bx的機械系統。

例如，它可能是具有彈簧常數a的彈簧懸掛在引力場b中的單位質量（如下所示）。我們對系統進行初始撞擊，然后等待。該系統沒有阻尼，因此它會永遠彈跳。但系統將演化到平衡狀態，此時平均構型對應于勢能函數的最小值，而不管選擇的特定初始條件如何。（這是熱力學最小能量原理。）U的最小值出現在dU/dx = ax-b = 0，即x=b/a處，這是我們代數問題的解。

該機械系統由懸掛在彈簧常數a的彈簧上的單位質量組成，被重力常數b的重力場向下吸引。

該系統的勢能函數U=?ax2-bx繪制在右側。

當系統達到熱力學平衡時，x的測量值將落在以x=b/a為中心的區間（灰色陰影）內。

圖源：Tony Phillips

在實踐中，該范式應用于大型系統。N個未知數x?,...,x?合并為一個向量 = (x?,...,x?) ，系數a變為系數(a_{ij})構成的一個N×N矩陣A，常數b變為長度N的向量 = (b?,...,b?)，并且ax=b 變為矩陣方程A= 。

作者解釋了我們如何將討論限制在a_{ij}=a_{ji}，即矩陣是對稱的情況。這允許機械實現，其中系數a_{ij}表示x?和xj處單位質量之間的彈簧耦合，而a??是與x?處的質量相關的彈簧常數，向量表示一個n-元組的“重力場”，每個質量對應一個重力常數b?。

該裝置具有勢能函數

U(x) = ??A - ?

推廣了?ax2-bx ，其中被寫為列向量，而?是其行向量轉置；和?類似。就像一維情況一樣，系統被給予初始撞擊，當它達到熱力學平衡時，坐標的平均值（隨時間變化）將給出勢能函數最小值的位置。

定位這個最小值涉及與給出x=b/a類似的計算，除了偏導數之外，并且與之前一樣，最小值的坐標(x?,...,x?)正是我們開始使用的線性方程組的解。

作者提供了他們的算法圖。

求解線性方程組的算法圖（以及用于估計逆矩陣的配套算法）。“提取軌跡”（extract trajectory）和“動力學求積分”（integrate dynamics）框代表算法最后的平均過程。

圖源：該開放獲取論文，獲得CC4.0許可

參考資料

https://mathvoices.ams.org/mathmedia/tonys-take-november-2024/

https://www.ahajournals.org/doi/10.1161/CIRCEP.124.013102

https://my.clevelandclinic.org/health/diseases/22885-atrial-flutter

https://cvphysiology.com/arrhythmias/a003

https://cvphysiology.com/arrhythmias/a002

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Basic_representation_of_cardiac_conduction.gif

https://www.nature.com/articles/s44335-024-00014-0

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