時隔125年，著名的希爾伯特第六問題，終于被華人解決了！

這項研究共有三位作者，包括：

• 鄧煜，芝加哥大學(xué)教授，北大（07級）/MIT校友

• 馬驍，密歇根大學(xué)助理教授，本科畢業(yè)于中科大少年班

• Zaher Hani：密歇根大學(xué)教授，師從陶哲軒

希爾伯特第六問題，是David Hilbert在1900年提出的23個數(shù)學(xué)問題之一，要求通過公理化方法推導(dǎo)物理定律。

具體而言，就需要作者們從微觀的牛頓力學(xué)出發(fā)，通過玻爾茲曼（Boltzmann）動力學(xué)理論，推導(dǎo)出流體力學(xué)中的基本方程。

而他們的這一成果不僅具有理論上的重要意義，也為流體力學(xué)的研究提供了新的數(shù)學(xué)工具。

可以說是對數(shù)學(xué)界和物理界都產(chǎn)生了重要的影響。

小紅書網(wǎng)友“數(shù)學(xué)五人組”（五位在德國、法國讀純數(shù)學(xué)博士生們的賬號）給出了這樣的評價：

是華人數(shù)學(xué)奇跡年。 為狹義希爾伯特第六問題畫上了圓滿的句號。 （若論文）正確的話，那絕對是（菲爾茲獎）候選人之一。

不僅如此，網(wǎng)友們結(jié)合之前北大校友王虹（91年生，16歲考入北大，07級）破解了掛谷猜想，直呼“北大數(shù)學(xué)系不愧中華第一系”、“07級真的太牛了”。

那么希爾伯特第六問題，到底是如何解的？我們一起來看下論文~

從牛頓經(jīng)典力學(xué)到流體運動定律

1900年，在巴黎舉行的第二屆國際數(shù)學(xué)家大會上上，德國數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特提出了23道難題，被稱為“希爾伯特的23個問題”。

我們比較熟悉黎曼猜想、哥德巴赫猜想，以及孿生素數(shù)猜想，共同作為的第八個問題被列入了其中，而這次三人組合解決的是其中的第六個問題，也就是“公理化物理”。

略顯與眾不同的是，“公理化物理”不是一個具體的數(shù)學(xué)表達式，更像一種數(shù)學(xué)思想，它的核心內(nèi)容是這樣的：

將數(shù)學(xué)方法嚴格應(yīng)用于物理學(xué)，并為物理學(xué)建立數(shù)學(xué)公理體系。

具體來說，希爾伯特希望類比歐幾里得幾何的公理化過程，給物理學(xué)也構(gòu)建一個基于數(shù)學(xué)邏輯的嚴格體系。

希爾伯特在后續(xù)討論中，將問題拆分為兩個關(guān)鍵目標——

• 一是概率論的公理化基礎(chǔ)，這一部分已經(jīng)在20世紀上半葉被解決；

• 其二，就是從原子論到連續(xù)介質(zhì)運動定律的數(shù)學(xué)極限過程。

再說簡單些，就是從牛頓運動定律（微觀）出發(fā)，用數(shù)學(xué)方法推導(dǎo)出流體的運動方程（宏觀），而其中起到過渡作用的極限方法，就是玻爾茲曼方程（介觀）。

但牛頓運動定律是可逆的，玻爾茲曼方程卻是不可逆的，如何實現(xiàn)兩者之間的轉(zhuǎn)換，成了破解希爾伯特第六問題的關(guān)鍵。

包括希爾伯特本人在內(nèi)，科學(xué)家們一直在嘗試通過將玻爾茲曼方程展開等方式來完成這一過程。

直到1975年，美國數(shù)學(xué)家Oscar Lanford證明了蘭福德定理，表明宏觀不可逆性和微觀可逆性之間的概念差距在原則上是可以克服的，為希爾伯特第六問題的解決奠定了基礎(chǔ)。

直到去年，鄧煜等三人聯(lián)手，用一篇164頁的論文，從稀薄氣體硬球系統(tǒng)嚴格推導(dǎo)了玻爾茲曼動力學(xué)方程，使得希爾伯特第六問題的解決之路又向前邁進了一大步。

在這篇論文當中，作者采用累積量解析方法，通過引入累積量假設(shè)來追蹤粒子碰撞的完整歷史。

其核心步驟是將硬球動力學(xué)的演化表示為一系列費曼圖結(jié)構(gòu)，稱為碰撞歷史分子，并證明這些累積量在L1空間中的小性（smallness），即其對玻爾茲曼極限的漸近收斂性。

關(guān)鍵部分是通過一個復(fù)雜的“切割算法”來控制這些分子的組合性質(zhì)，確保其中的復(fù)碰撞數(shù)量受限，以消除導(dǎo)致發(fā)散的因素。

最終，研究者證明，在整個玻爾茲曼方程解的存在時間范圍內(nèi)，累積量的貢獻是可控的，從而嚴格推導(dǎo)出玻爾茲曼方程的長期有效性。

在此基礎(chǔ)之上，剛剛發(fā)表的新論文終于給給狹義希爾伯特第六問題畫上了圓滿的句號，并在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出了可壓縮流體的歐拉方程以及不可壓縮條件下的Navier-Stokes-Fourier方程。

作為此前工作的拓展，作者在2維和3維周期環(huán)面上推導(dǎo)了玻爾茲曼方程。

考慮一個由N個直徑為ε的粒子組成的硬球系統(tǒng)，假設(shè)粒子之間發(fā)生彈性碰撞，運動滿足牛頓定律。取Boltzmann-Grad極限，即N趨于無窮、ε趨于0，而Nεd-1保持為常數(shù)α。

在這個尺度下，作者證明了粒子系統(tǒng)的s粒子關(guān)聯(lián)函數(shù)收斂到玻爾茲曼方程的解，其中s遠小于總粒子數(shù)N，這一步將微觀的粒子系統(tǒng)與介觀的動理論方程玻爾茲曼方程聯(lián)系了起來。

接下來考慮從玻爾茲曼方程到宏觀流體力學(xué)方程的極限過程。在碰撞率α趨于無窮時，物理上對應(yīng)于稀薄氣體的平均自由程趨于0，宏觀上體現(xiàn)為流體的連續(xù)介質(zhì)極限。

數(shù)學(xué)上已有結(jié)果表明，在一定條件下，玻爾茲曼方程的局部Maxwellian形式的解會收斂到流體力學(xué)方程的解。

最后，將上述從粒子系統(tǒng)到玻爾茲曼方程、再從玻爾茲曼方程到流體力學(xué)方程的極限過程結(jié)合起來，取迭代極限，先固定α讓N趨于無窮、ε趨于0，再讓α趨于無窮，論文證明了粒子系統(tǒng)的物理量的極限滿足宏觀流體力學(xué)方程。

這就完成了Hilbert第六問題的方案，即從微觀粒子系統(tǒng)的牛頓定律出發(fā)，通過玻爾茲曼動力學(xué)理論，嚴格推導(dǎo)出了宏觀流體力學(xué)偏微分方程。

作者簡介

如開頭介紹，這項研究院由芝加哥大學(xué)教授鄧煜、密歇根大學(xué)的Zaher Hani教授和馬驍助理教授共同完成。

鄧煜畢業(yè)于深圳高級中學(xué)，之后進入北大，期間轉(zhuǎn)學(xué)到MIT，博士畢業(yè)于普林斯頓。

據(jù)鄧煜本人在知乎介紹，他轉(zhuǎn)到MIT的第二個學(xué)期，選了五六門數(shù)學(xué)課，同時讀著三本書，最多時每天工作8小時40分鐘，曾花一個星期讀完過85頁的論文并驗證每一個細節(jié)包括挑錯……

這則回答寫于2018年3月，當時鄧煜在貼文中稱自己快29歲了，由此推算，今年鄧煜的年齡大概是35歲。

有趣的是，關(guān)于前段時間剛被破解的掛谷猜想，鄧煜也在知乎寫過一篇科普文章。

密歇根大學(xué)教授Zaher Hani，年齡則要稍長一些。

Hani來自黎巴嫩，并在貝魯特美國大學(xué)完成了他的本科學(xué)業(yè)，碩士和博士均在UCLA就讀。

Hani讀博期間的導(dǎo)師，正是大名鼎鼎的數(shù)學(xué)家陶哲軒。

畢業(yè)后，Hani留校擔任研究和教學(xué)助理，2011年到紐約大學(xué)從事博后研究，然后到佐治亞理工學(xué)院工作。

2018年，Hani加入了現(xiàn)在任職的密歇根大學(xué)，并于2022年升任教授，研究興趣為“非線性偏微分方程的數(shù)學(xué)分析及其與統(tǒng)計物理和湍流理論的聯(lián)系”。

另一名作者馬驍，2018年畢業(yè)于中科大少年班，2023年博士畢業(yè)于普林斯頓。

之后馬驍?shù)矫苄髮W(xué)從事博后研究，并同時擔任助理教授。

論文地址：
https://arxiv.org/html/2503.01800v1

參考鏈接：
[1]https://www.zhihu.com/question/14073117334
[2]https://blog.sciencenet.cn/blog-2641489-1363512.html

— 完 —