能帶來改變的知識，才是真知識，否則就是累贅。

用包子、饅頭和肉丸解釋微積分

就算你有再多的知識，如果不能轉(zhuǎn)化為行動，帶來改變，都是無用的知識，甚至是累贅。

學(xué)以致用。有用即是真理。

不瞞你說，在學(xué)以致用這方面，我就是一個(gè)經(jīng)典的反面教材。

大學(xué)里面，雖然算不上學(xué)霸，但線代、概率論、微積分咱也都80分以上一次性通過，考研數(shù)學(xué)，咱也120多分拿下。

隨便拿出一道微積分，咱也能如數(shù)家珍一樣，頭頭是道地在紙上解出來。

雖然但是，然并卵。大學(xué)剛一畢業(yè)，所有這些就還給了老師，然后跟高數(shù)失聯(lián)。

她可能?在夢里給我寫過信?，但我從來沒收?到過。不知道是因?yàn)槲彝涀鰤袅耍€是我忘了她。

如果不是今天寫這篇文章，高數(shù)我倆，大概已經(jīng)有20年沒見過面了。

?自我印象里，我還是一個(gè)非常念舊的人?。?

不說了，一首陳奕迅的《好久不見》送給你，高數(shù)，好久不見。

所以，正是基于這樣一種心情，當(dāng)今天看到下面這個(gè)數(shù)學(xué)梗時(shí)，讓我想起了她。

有人在網(wǎng)上分享了一個(gè)用包子解釋極限的例子：

圖：禿頭崽崽/小紅書

就是這兩個(gè)極限等式：

出自《三大算法》一書，用日常生活的例子，解釋極限的概念。

翻譯成大白話就是，給包子求極限，當(dāng)餡無限趨于（→）0，包子就變成了（=）饅頭；當(dāng)餡無限趨于（→）正無窮（+∞）時(shí)，包子就變成了（=）肉丸。

學(xué)過微積分的人，都知道這個(gè)例子的含金量。

通俗易懂極了。雖然有人說極限的概念很好理解，但是飽漢子不知餓漢子饑，很多人，就是因?yàn)闊o法理解“極限”這樣的基本概念，而被微積分拒之門外，無緣牽手。

這才是我想要的教材

顯然飽 漢子不知餓漢子饑。

有人說要是當(dāng)年信息這么發(fā)達(dá)不至于補(bǔ)考高數(shù)：

有人說數(shù)學(xué)就應(yīng)該通俗易懂：

有人說要是當(dāng)年這么學(xué)，能學(xué)不會嗎：

有人說死去的記憶復(fù)蘇了：

有人說這么解釋一下子就明白了：

有人說秒懂：

有人說這才是想要的教材：

有人終于懂了，并發(fā)出由衷的贊嘆：

有人推薦國外初高中的微積分教材：

有人借機(jī)求通俗易懂的教材：

有人相見恨晚：

有人感嘆這世界變化快：

有人說一學(xué)高數(shù)就感覺被喂飽：

有人比較幸運(yùn)：

有人建議重編數(shù)學(xué)書：

有人說這次像說人話了：

當(dāng)然還有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目季颗桑赋鲞@個(gè)例子的不足：

不夠嚴(yán)謹(jǐn)：

餡兒無限趨于負(fù)無窮，才是饅頭，趨于零，只是空心包子：

有人說應(yīng)該給餡/面求極限，否則會出現(xiàn)一個(gè)充滿宇宙的大包子：

有人說第二個(gè)極限應(yīng)該皮無限趨于零：

有人說用生活語言解釋初等數(shù)學(xué)還行，高等不行：

還有人借機(jī)玩梗：

有人借題發(fā)揮，頭腦風(fēng)暴，被靈感擊中：

有人說如果所有知識都這么有趣，就好了：

還有人說，寫得太通俗易懂，人人都靠650，有人不同意：

我記憶深處的碎片告訴我，當(dāng)年學(xué)高數(shù)這些東西，一開始也沒那么簡單。

尤其是有些概念太抽象，既沒有背景知識，也沒有人給出通俗易懂的指點(diǎn)，只能似懂非懂地蒙混過關(guān)。

所以，我開始有點(diǎn)理解，之前網(wǎng)上流行的“反自學(xué)”教材梗了。

我甚至開始有點(diǎn)相 信陰謀論：有的書，可能并不是不可以寫得更通俗易懂，真的是為了防止自學(xué)。

所以呀，微積分同學(xué)，雖然我忘了你，一忘就是20年，但這事也不能完全怪我絕情呀。

極限的來歷和含義

既然聊到極限、聊到微積分，咱們就多聊點(diǎn)，雖然很可能有點(diǎn)無聊。

極限是微積分中的核心概念，其歷史和發(fā)展反映了數(shù)學(xué)在追求嚴(yán)謹(jǐn)性和實(shí)用性方面的演變。

極限概念的現(xiàn)代形式主要由19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家奧古斯丁-路易·柯西（1789-1857）和卡爾·魏爾斯特拉斯（1815-1897）正式化。

圖：卡爾·韋爾斯特拉斯/維基百科

柯西提出了較為正式的極限定義，例如“當(dāng)變量的值無限接近某個(gè)固定值時(shí)，其差可以小到任意程度”，而魏爾斯特拉斯進(jìn)一步發(fā)展了著名的ε-δ定義，使極限成為微積分嚴(yán)謹(jǐn)?shù)幕A(chǔ)。

然而，極限思想的根源可以追溯到更早。

古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯（約公元前408-355年）提出了“窮竭法”，用于計(jì)算面積和體積，這被認(rèn)為是極限概念的雛形。

阿基米德（約公元前287-212年）進(jìn)一步發(fā)展了這一方法，例如計(jì)算球體和圓柱體的體積，使用的思路類似于現(xiàn)代極限。

圖：卡爾·韋爾斯特拉斯/維基百科

17世紀(jì)，艾薩克·牛頓和戈特弗里德·萊布尼茨獨(dú)立發(fā)展了微積分，他們雖然沒有明確使用“極限”一詞，但通過無窮小量（infinitesimals）處理導(dǎo)數(shù)和積分，實(shí)際上隱含了極限的思想。

圖：牛頓/維基百科

有趣的是，18世紀(jì)的讓·勒朗·達(dá)朗貝爾（Jean le Rond d'Alembert，1717-1783）首次提出應(yīng)以極限而非無窮小為基礎(chǔ)來構(gòu)建微積分，這為后來的柯西和魏爾斯特拉斯奠定了理論基礎(chǔ)。

由此可見，極限并非某一個(gè)人的發(fā)明，而是數(shù)學(xué)家在幾個(gè)世紀(jì)中逐步完善的結(jié)果。

極限也不是憑空產(chǎn)生的，極限的出現(xiàn)，有著深厚的背景。

極限概念的背景，是解決早期微積分中邏輯上的漏洞。

牛頓和萊布尼茨的微積分依賴于無窮小量，但這種方法在18世紀(jì)受到廣泛質(zhì)疑。

例如，哲學(xué)家喬治·貝克萊在1728年發(fā)表的《分析家》（The Analyst）中批評無窮小缺乏明確定義，稱其為“幽靈般的實(shí)體”。這種批評促使數(shù)學(xué)家尋求更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶娲桨浮?/p>

19世紀(jì)，數(shù)學(xué)界進(jìn)入“嚴(yán)謹(jǐn)化”階段，柯西和魏爾斯特拉斯等人通過極限概念消除了無窮小的爭議。

極限允許我們描述函數(shù)在接近某點(diǎn)時(shí)的行為，而無需依賴模糊的“無限小”概念。例如，導(dǎo)數(shù)的定義可以通過極限表達(dá)為：

這不僅解決了邏輯問題，還為微積分的應(yīng)用提供了更堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

極限到底有什么用？

極限的發(fā)明是為了滿足微積分中兩個(gè)核心問題的需求：一是計(jì)算函數(shù)在某點(diǎn)的瞬時(shí)變化率（導(dǎo)數(shù)），二是計(jì)算曲線下的面積或體積（積分）。

這些問題在物理和工程中有重要應(yīng)用，例如：

計(jì)算物體的速度和加速度需要導(dǎo)數(shù)，而導(dǎo)數(shù)的定義依賴于極限。

計(jì)算拋物線下的面積需要積分，而積分本質(zhì)上是無限多個(gè)小面積的和，其嚴(yán)謹(jǐn)性也依賴于極限。

此外，極限還幫助處理函數(shù)在某些點(diǎn)可能不定義的情況，例如分母為零時(shí)。通過極限，我們可以研究函數(shù)的漸近行為，例如

這在分析無窮大或無窮小的行為時(shí)，非常有用。

極限有著非常廣泛的應(yīng)用。

極限是微積分的基礎(chǔ)，廣泛應(yīng)用于多個(gè)領(lǐng)域：

一個(gè)意想不到的細(xì)節(jié)是，極限在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中有重要應(yīng)用。

例如，在渲染逼真的3D場景時(shí)，極限用于處理像素的漸進(jìn)行為，確保圖像在遠(yuǎn)距離時(shí)的平滑過渡。

此外，極限還出現(xiàn)在數(shù)論和拓?fù)鋵W(xué)中，例如研究數(shù)列的收斂性或拓?fù)淇臻g的極限點(diǎn)。

極限概念的演變體現(xiàn)了數(shù)學(xué)從直觀到嚴(yán)謹(jǐn)的轉(zhuǎn)變。

從古希臘的窮竭法到牛頓、萊布尼茨的微積分，再到柯西和魏爾斯特拉斯的正式化，極限成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)分析的核心工具。

其應(yīng)用不僅限于傳統(tǒng)科學(xué)，還擴(kuò)展到工程、經(jīng)濟(jì)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)，顯示了其廣泛的影響力。

當(dāng)然，以上說了這么多，我的目的并不是希望你記住這些微積分知識。

而是希望你能發(fā)現(xiàn)更有趣的方式、方法，去學(xué)習(xí)新的、舊的知識，進(jìn)而把這些知識，應(yīng)用到實(shí)際工作和生活里面去，進(jìn)而帶來改變。

能帶來改變的知識，才是真知識，否則就是累贅。