在伽利略發現單擺的等時性之后，1637 年，他在與一位朋友的信中寫道：“單擺可作為計時器，它是如此精確以至于在任何地方，任何季節都能準確無誤地記錄無論多么小的時間間隔。”

單擺示意圖

現在我們知道，伽利略是錯的。

單擺的周期與振幅的關系

單擺的周期并非嚴格不變，而是隨振幅增加而增大。只是當擺角較小（例如在 以內）時，周期的變化幾乎可以忽略。

那么，如何才能使擺的周期完全取定值呢？

這個問題由荷蘭物理學家惠更斯（Christiaan Huygens，1629~1695）解決。

克里斯蒂安·惠更斯（1629-1695）

作為 17 世紀除牛頓之外的最重要的物理學家之一，惠更斯的研究涉及數學、天文、力學和光學等領域，作出了杰出的貢獻。

例如，他首次推導出單擺的周期公式和離心力公式，首次發現了土衛六，尤其是他提出了光的波動學說，并基于他提出的所謂惠更斯原理解釋了光的各種現象，影響深遠。

作為一位極致的天才科學家，年輕的惠更斯發表了大量的科學著作。但自 1650 年代開始，惠更斯轉而全身心投入到改進時鐘性能所涉及的機械和數學問題中，這項工作幾乎占據了他整個科學生涯的大部分時間。

惠更斯在研究鐘表技術

為什么惠更斯對鐘表問題如此著迷，除了他自身興趣之外，一個重要的原因是，在 17 世紀時，荷蘭作為海上強國，制造精準的時鐘，是一項極為重要的科技攻關項目。

鐘表技術在當時備受矚目

1656年，當惠更斯最初設計擺鐘時，他使用了一種技巧來提升擺的等時性。

惠更斯研究發現，擺球在偏離豎直方向較遠的地方，速度較小，如果使其軌跡在靠近兩端的位置變得更為陡峭一些，那么將通過加速來抵消延時。

于是，惠更斯制作了兩個曲面，它們的上端靠在一起，下端向外張開，形成如下圖所示的喇叭狀的區域。將一個擺吊在兩曲面的交界處，讓擺在這個區域里擺動。

惠更斯的對單擺的改進

當單擺擺動時，擺繩會部分地被曲面頂住，從而導致擺在越偏離豎直位置，其擺繩變得越短。這樣一來，就實現了他原來的設想————軌跡在靠近兩端的位置變得更陡峭一些。

惠更斯的措施取得了很好的效果，擺鐘的周期在較大角度的擺角范圍內具有幾乎不變的周期。

惠更斯改進的擺鐘

他很快意識到，擺球的軌跡是決定因素。他堅信，當擺球沿某種特定的軌跡擺動時，其擺動將具有完全的等時性。

那么，這種軌跡應該滿足什么條件呢？

自 1659年起，惠更斯著手對此問題的理論研究。他試圖確定這種神奇的曲線所具有的數學特征。

不久之后，惠更斯發現，這個軌跡與他之前研究的一種曲線相似，該曲線是平面上勻速滾動的輪子的邊緣上一點的運動軌跡，它的名字叫旋輪線。

旋輪線示意圖

考慮一個半徑為 的輪子，輪子在水平面上向右做純滾動，所謂純滾動，即繞輪子中心的角速度與輪子中心對地的線速度之間滿足關系：

我們來考慮邊緣上一點 P 的運動。

設 0 時刻時，p 點在最低點，選擇此時 P 下方的地面位置為原點 O，選擇 軸向右， 軸向上。

設 時刻，輪子轉過了 角，則輪子中心 Q 的坐標為

而 P 點相對于 Q 點做圓周運動，相對位置為

則得 P 點的絕對位置為

取 ，得 得圖像如下。

根據旋輪線參數方程繪制的函數圖像

那么，如何證明沿旋輪線運動的擺具有等時性呢？

關于這個問題，1673 年，惠更斯在他的著作《The Pendulum Clock》中給出了一種基于幾何方法的冗長的證明，過于繁瑣，這里就不介紹了。

惠更斯的著作《The Pendulum Clock》

實際上，這個問題可通過微積分嚴格證明。

設擺球的初始位置為 ，其軌跡的最低點為原點 。

擺球由靜止開始沿軌跡下降，只有重力做功，當擺球下降到 處時，根據動能定理

故得

根據

故質點滑到最低處用時為

聯立以上各式得

此積分可由阿貝爾變換求解，此處略。總之，經過一番不太簡單的計算后，得如下結果：

設 ，則得

其中 ，與旋輪線相比，僅 前面的符號相反。

同樣取 ，圖像如下所示。

倒轉的旋輪線

該曲線看起來與旋輪線形狀相同，只是平移半個周期再上下顛倒了而已。

實際上，只要將前面輪子的旋輪線的坐標原點向上平移 ，并將 軸改為向下，此時輪子的最高點運動所對應的旋輪線，即為惠更斯鐘擺的運動軌跡。

換句話說，該曲線它就是貨真價實的旋輪線。

由此證明，旋輪線的半個周期內的曲線，就是惠更斯所尋找的等時擺的軌跡。

根據旋輪線的特點，前面的系數 是滾輪的半徑，它顯然是定值，故可知上式中的 是常量，其值為

但 只是擺的 1/4 周期，擺的周期 為

至此說明，沿旋輪線運動的擺，具有等時性！

小球沿旋輪線運動，周期與振幅無關

換句話說，無論擺的振幅是多少，沿確定旋輪線運動的擺，其周期都不變。

但問題又來了，如何讓擺球沿旋輪線運動呢？

惠更斯之前用兩個背靠背的曲面來提升單擺的等時性。那么，什么樣的曲面能令單擺的擺球的運動軌跡剛好是一條旋輪線呢？

奇跡出現了！

惠更斯發現，這個曲面上與擺繩共面的曲線也是旋輪線！

為什么是這樣？諸君有興趣的可以自行證明。

總之，只要按旋輪線的形狀制作兩個曲面，將其背靠背固定在一起，則在它們下方張開的空間內擺動的單擺，其運動軌跡剛好也為旋輪線。

沿旋輪線運動的擺

至此，惠更斯從理論上找到了實現等時性的方法。1657 年，惠更斯成為第一個制造出精確擺鐘的人。

惠更斯設計的第一臺擺鐘

惠更斯并沒有因此而停止，他繼續在鐘表技術領域深耕。為此，他甚至將畢生的財富都投進了計時器技術的研究中。

1659 年，他又制造出另一種全新的時鐘，它不是用擺來計時，而是采用一根在彈簧的拉動下振動的輪子————即所謂平衡輪，來計時。

為了使平衡輪能持續振動，惠更斯又發明了擒縱輪，它的作用是，當平衡輪每次經過平衡位置時，擒縱輪就輕觸它一下，以補充能量，從而維持其不斷振動。

平衡輪與擒縱輪結構示意圖

自此，惠更斯提出的平衡輪和擒縱輪成為傳統鐘表的核心結構，直到現在，這一結構仍然是所有機械鐘表的技術標準。

但令人遺憾的是，直到惠更斯去世，他都并沒能成功地研制出適合海上航行條件、精確到可以測量經度的航海計時器。

沒有達成最終目標，這也許是惠更斯的一大遺憾。但對我們來說，他執著的科學研究精神，他的數十年如一日的專注和不懈的努力，永遠值得所有人學習。

參考文獻

https://www.worldhistory.org/Christiaan_Huygens/
http://www.antique-horology.org/thuret/huygensthureteng.htm
https://www.britannica.com/science/cycloid

來源：妙含物理

原標題：怎樣擺才能嚴格等時？

編輯：yhc

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