Similarity-based analogical proportions

基于相似性的類比比例

https://arxiv.org/abs/2402.18360

摘要

作者最近在泛代數（universal algebra）的一般框架下引入了類比比例（analogical proportions）和相似性（similarity）的抽象代數模型。本文的目的在于通過將“類比比例”用“相似性”的概念來表達，從而在二者之間架起一座橋梁。這種基于相似性的方法的好處是：比例與相似之間的聯系被內建于該框架之中，因此顯而易見——這一點頗具吸引力，因為類比的核心正是比例與相似；此外，關于相似性的未來研究成果可以直接應用于類比比例。

1. 引言與預備知識

作者最近在泛代數的一般背景下引入了形式為“a 對 b 如同 c 對 d”（記作 a : b :: c : d）的類比比例的抽象代數框架，具有良好的數學性質（Anti?, 2022）。該框架已被應用于邏輯程序綜合（logic program synthesis）（Anti?, 2023c），并在單一運算代數（monounary algebras）中進行了研究（Anti?, 2023b）。

與此同時，作者還提出了一個基于以下思想的抽象代數相似性模型：一個元素的泛化集合（generalizations）包含有關該元素性質的重要信息（Anti?, 2023e）。例如，項 2x 是整數 a 的泛化，當且僅當 a 是偶數；項 x2 是 a 的泛化，當且僅當 a 是平方數。

本文旨在結合上述兩個框架，通過將類比比例定義為基于相似性的結構，使相似性成為比例的核心。這種基于相似性的方法的優勢在于：比例與相似之間的聯系是框架內在的、顯而易見的——這在 Anti? (2022) 中給出的先前定義中并不成立。這一特點頗具吸引力，因為比例與相似都處于類比的核心地位。更重要的是，這種方法使得我們能夠直接將未來關于相似性的研究成果應用到類比比例上。

我們在第5節對這兩種方法進行比較，并注意到它們之間存在細微差異。具體而言，雖然 Anti? (2022) 中的框架總是滿足內部 p-自反性（inner p-reflexivity）a : a :: c : c，在本文提出的基于相似性的框架中卻不一定成立，例22給出了一個合理的反例加以說明。此外，Anti? (2022) 中的關鍵結果“唯一性引理”在此框架中也不成立（見警告24）。另一方面，在第4節中我們展示了 Anti? (2022) 中的同構定理（Isomorphism Theorems）可以順利地轉移到基于相似性的設置中，表明類比比例與保持結構的映射是兼容的。

我們假設讀者熟悉泛代數的基本知識，如 Burris 和 Sankappanavar (2000, §II) 所呈現的內容。

6.結論

本文的目的是在泛代數的一般框架下，基于代數相似性（Anti?, 2023e）這一定性概念來定義類比比例，從而將類比中兩個核心概念結合起來。我們展示了 Anti? (2022) 中的大多數結果可以輕松地被遷移過來。然而，我們也看到，內部 p-自反性 a : a ≈ c : c 在一般情況下并不成立（定理 12），例 22 中給出的合理反例對此進行了說明；此外，Anti? (2022) 中的關鍵“唯一性引理”也可能不成立（見警告 24）。總體而言，我們在泛代數的一般設置下建立了一個具有良好數學性質的、基于相似性的類比比例框架——最重要的是，未來關于代數相似性的研究成果可以直接應用于本文所定義的類比比例。

原文鏈接： https://arxiv.org/abs/2402.18360