摘要

在自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的許多復(fù)雜系統(tǒng)中，在微觀尺度上控制系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的機(jī)制取決于粗粒化的宏觀尺度上表征系統(tǒng)的狀態(tài)變量的值（Goldenfeld and Woese, 2011，Noble et al., 2019，Chater and Loewenstein, 2023）。狀態(tài)變量，反過(guò)來(lái)，是相關(guān)微觀尺度變量概率分布的平均值。無(wú)論是自上向下的推理模型，還是自下向上的機(jī)械模型，都不能單獨(dú)預(yù)測(cè)這種尺度糾纏系統(tǒng)（scale-entwined systems）對(duì)擾動(dòng)的反應(yīng)。我們描述并探索了一種動(dòng)力學(xué)理論的特性，該理論結(jié)合了自上向下的信息理論推理和自下向上的狀態(tài)變量依賴機(jī)制。該理論預(yù)測(cè)了微觀變量上非平穩(wěn)概率分布的函數(shù)形式，并將隨時(shí)間變化的宏觀變量的軌跡與這些分布的形式聯(lián)系起來(lái)。從Maxent解中得到的拉格朗日乘子時(shí)間演化的解析表達(dá)式允許在高維系統(tǒng)中快速計(jì)算狀態(tài)變量的時(shí)間軌跡。在非平衡化學(xué)熱力學(xué)、流行病學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和生態(tài)學(xué)中可能應(yīng)用于規(guī)模的例子——纏繞系統(tǒng)舉例說(shuō)明了該理論潛在的多學(xué)科范圍。一個(gè)已完成的低維示例說(shuō)明了該理論的結(jié)構(gòu)，并演示了尺度糾纏如何導(dǎo)致從擾動(dòng)中恢復(fù)緩慢，響應(yīng)白噪聲輸入的時(shí)間序列譜變紅，以及參數(shù)位移和隨后恢復(fù)時(shí)的滯后。

今晚活動(dòng)分享，歡迎預(yù)約：

關(guān)鍵詞：復(fù)雜系統(tǒng)，最大熵，非平衡態(tài)，跨尺度因果（cross-scale causation），生態(tài)動(dòng)力學(xué)

論文題目：Dynamical theory of complex systems with two-way micro–macro causation 發(fā)表時(shí)間：2024年12月6日 論文地址：https://doi.org/10.1073/pnas.2408676121 期刊名稱：PNAS

在自然界和社會(huì)科學(xué)中，許多復(fù)雜系統(tǒng)的微觀機(jī)制與宏觀狀態(tài)變量相互依存：例如氣體分子的動(dòng)能與溫度、工人收入與國(guó)民經(jīng)濟(jì)總量、物種個(gè)體代謝率與生態(tài)系統(tǒng)生產(chǎn)力。傳統(tǒng)建模方法要么從微觀機(jī)制自下而上推導(dǎo)（Bottom-Up），要么從宏觀統(tǒng)計(jì)自上而下推斷（Top-Down），但兩者均無(wú)法捕捉跨尺度（scale entwinement）雙向因果——即宏觀變量影響微觀動(dòng)力學(xué)，而微觀變量分布又決定宏觀狀態(tài)。近期，發(fā)表于PNAS的一項(xiàng)研究提出了一種動(dòng)態(tài)最大熵跨尺度理論（DyMES），為這類“糾纏系統(tǒng)”提供了統(tǒng)一的建模框架。

傳統(tǒng)方法的局限：為何需要新理論？

經(jīng)典統(tǒng)計(jì)力學(xué)中，宏觀狀態(tài)（如溫度）通過(guò)最大熵原理（Maxent）約束微觀變量分布（如分子動(dòng)能）。但這一方法假設(shè)系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)，難以描述疫情傳播、經(jīng)濟(jì)波動(dòng)等動(dòng)態(tài)過(guò)程。另一方面，基于微觀機(jī)制的模型（如流行病學(xué)中的SIR模型）雖能追蹤個(gè)體行為，卻忽略宏觀變量對(duì)個(gè)體的反饋（例如公眾對(duì)疫情信息的響應(yīng)）。DyMES的核心突破在于將兩種方法結(jié)合：既用最大熵推斷微觀分布，又通過(guò)動(dòng)態(tài)約束反映宏觀狀態(tài)對(duì)微觀機(jī)制的調(diào)控。

DyMES架構(gòu)：熵、約束與動(dòng)力學(xué)耦合

該架構(gòu)通過(guò)引入時(shí)間依賴的拉格朗日乘子，將宏觀變量的時(shí)間導(dǎo)數(shù)納入最大熵的約束條件。具體步驟包括：首先對(duì)微觀分布進(jìn)行建模，基于當(dāng)前宏觀狀態(tài)變量及其時(shí)間導(dǎo)數(shù)，利用最大熵原理推斷微觀變量的概率分布；其次，通過(guò)微觀轉(zhuǎn)移函數(shù)（其形式可依賴宏觀變量）驅(qū)動(dòng)微觀動(dòng)力學(xué)，進(jìn)而更新宏觀狀態(tài)變量。該理論將傳統(tǒng)靜態(tài)最大熵?cái)U(kuò)展至動(dòng)態(tài)場(chǎng)景，通過(guò)引入時(shí)間導(dǎo)數(shù)約束，同步追蹤概率分布與宏觀變量的演化。其中，推導(dǎo)出拉格朗日乘子的微分方程，可以避免傳統(tǒng)方法中反復(fù)數(shù)值優(yōu)化的計(jì)算瓶頸，使高維系統(tǒng)模擬效率提升一個(gè)量級(jí)。

圖 1. DyMES架構(gòu)的基本概念。Maxent對(duì)系統(tǒng)微觀狀態(tài)的概率分布施加了來(lái)自于時(shí)間演化的宏觀狀態(tài)變量的約束，而機(jī)制微觀狀態(tài)動(dòng)力學(xué)既依賴于狀態(tài)變量也依賴于微觀變量的轉(zhuǎn)移函數(shù)的。宏觀尺度變量通過(guò)適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)變量的平均值及其在概率分布上的時(shí)間導(dǎo)數(shù)來(lái)更新。這就產(chǎn)生了一種將機(jī)制和動(dòng)力學(xué)相結(jié)合的理論。

跨學(xué)科驗(yàn)證：從化學(xué)反應(yīng)到生態(tài)系統(tǒng)

研究將DyMES應(yīng)用于下面四個(gè)案例，展示其普適性：

• 非平衡熱力學(xué)：模擬放熱反應(yīng)中分子動(dòng)能分布隨溫度升高的演變，預(yù)測(cè)化學(xué)反應(yīng)中非平衡分子動(dòng)能分布及溫度演化，驗(yàn)證Maxent在動(dòng)態(tài)熱力學(xué)系統(tǒng)的適用性。

• 疫情傳播：加入宏觀感染率對(duì)個(gè)體接觸行為的反饋，量化公共衛(wèi)生信息（如疫情通報(bào)）對(duì)微觀感染率與宏觀傳播軌跡的耦合作用。

• 經(jīng)濟(jì)不平等：假設(shè)個(gè)人財(cái)富增長(zhǎng)函數(shù)依賴國(guó)民總收入，揭示政策干預(yù)下收入不平等與GDP增長(zhǎng)的動(dòng)態(tài)關(guān)聯(lián)，驗(yàn)證經(jīng)濟(jì)模式與分布演化的雙向反饋。

• 生態(tài)恢復(fù)：擾動(dòng)后群落總生物量（N）呈現(xiàn)滯后恢復(fù)（hysteresis）和紅化頻譜（reddened spectrum），擴(kuò)展傳統(tǒng)的Logistic模型，解析擾動(dòng)下群落恢復(fù)延遲、滯后效應(yīng)及時(shí)間序列頻譜紅移的跨尺度成因（圖2）。

圖 2. DyMES示例生態(tài)系統(tǒng)對(duì)擾動(dòng)的響應(yīng)。

理論啟示：復(fù)雜系統(tǒng)的“記憶”與韌性

DyMES的模擬進(jìn)一步詳細(xì)討論了跨尺度因果的三個(gè)深層動(dòng)力學(xué)特性：

• 滯后效應(yīng)：當(dāng)宏觀參數(shù)（如死亡率d?）經(jīng)歷“擾動(dòng)-復(fù)位”過(guò)程時(shí)，微觀分布的歷史依賴性導(dǎo)致系統(tǒng)無(wú)法回歸原穩(wěn)態(tài)。這是由于轉(zhuǎn)移函數(shù)對(duì)宏觀變量的顯式依賴，使得微觀狀態(tài)的概率分布在擾動(dòng)期間積累了非平衡項(xiàng)，揭示了跨尺度反饋的不可逆性。

• 韌性下降：微觀過(guò)渡函數(shù)受宏觀狀態(tài)調(diào)控時(shí)，外部擾動(dòng)會(huì)通過(guò)雙向因果鏈放大響應(yīng)幅度并延緩恢復(fù)。 韌性下降反映了跨尺度耦合對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的“雙刃劍”效應(yīng)，增強(qiáng)適應(yīng)性的同時(shí)，降低了抗干擾能力。

• 雙層穩(wěn)態(tài)：拉格朗日乘子分為“零值”（經(jīng)典平衡態(tài)，系統(tǒng)無(wú)宏觀能量輸入）與“非零值”（動(dòng)態(tài)穩(wěn)態(tài)，有持續(xù)宏觀驅(qū)動(dòng)），后者對(duì)應(yīng)持續(xù)能量輸入的開放系統(tǒng)。 雙層穩(wěn)態(tài)突破了傳統(tǒng)平衡態(tài)框架，為開放系統(tǒng)的非平衡動(dòng)態(tài)提供了分類依據(jù)。

圖 3. 對(duì)隨機(jī)死亡率的響應(yīng)。

未來(lái)方向：從理論到數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)

DyMES的驗(yàn)證需結(jié)合高分辨率觀測(cè)數(shù)據(jù)，例如利用衛(wèi)星遙感追蹤生態(tài)系統(tǒng)擾動(dòng)后的物種分布演變，或通過(guò)經(jīng)濟(jì)高頻數(shù)據(jù)反推財(cái)富動(dòng)力學(xué)。理論擴(kuò)展方向包括多層級(jí)因果（如個(gè)體-群落-氣候的三向耦合）以及非平衡熵產(chǎn)生極值原理的探索。“從潮池望向星空，再回到潮池”——正在微觀與宏觀的糾纏中，人類不斷接近真理。

彭晨| 編譯

關(guān)于集智俱樂(lè)部

集智俱樂(lè)部成立于 2003 年，是一個(gè)從事學(xué)術(shù)研究、享受科學(xué)樂(lè)趣的探索者的團(tuán)體，也是國(guó)內(nèi)最早的研究人工智能、復(fù)雜系統(tǒng)的科學(xué)社區(qū)。它倡導(dǎo)以平等開放的態(tài)度、科學(xué)實(shí)證的精神，進(jìn)行跨學(xué)科的研究與交流，力圖搭建一個(gè)中國(guó)的 “ 沒(méi)有圍墻的研究所 ”。集智科學(xué)研究中心（民間非盈利企業(yè)）是集智俱樂(lè)部的運(yùn)營(yíng)主體，長(zhǎng)期運(yùn)營(yíng)社區(qū)生態(tài)，催化理論創(chuàng)新。使命：營(yíng)造跨學(xué)科探索小生境，催化復(fù)雜性科學(xué)新理論。

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)讀書會(huì)

集智俱樂(lè)部聯(lián)合合肥工業(yè)大學(xué)物理系教授李明、同濟(jì)大學(xué)副教授張毅超、北京師范大學(xué)特聘副研究員史貴元與在讀博士生邱仲普、張章共同發(fā)起 。本次讀書會(huì)將探討：同步相變的臨界性、如何普適地刻畫多穩(wěn)態(tài)與臨界點(diǎn)、如何識(shí)別并預(yù)測(cè)臨界轉(zhuǎn)變、如何通過(guò)局部干預(yù)來(lái)調(diào)控系統(tǒng)保持或回到期望穩(wěn)態(tài)、爆炸逾滲臨界行為的關(guān)鍵特征、不同類型的級(jí)聯(lián)過(guò)程對(duì)逾滲相變的影響有何異同、高階相互作用的影響能否等效為若干簡(jiǎn)單機(jī)制的疊加、如何有效地促進(jìn)人類個(gè)體間的合作等問(wèn)題。

讀書會(huì)計(jì)劃從3月7日開始，每周五晚19:30-21:30進(jìn)行，持續(xù)8-10周。誠(chéng)摯邀請(qǐng)領(lǐng)域內(nèi)研究者、尋求跨領(lǐng)域融合的研究者加入，共同探討。

詳情請(qǐng)見：

1.

2.

3.

4.

5.

6.