導語

集智學園聯合華僑大學鄭志剛教授開設，從同步到集群，從動力系統到統計物理，本課程為你全面、系統地介紹涌現動力學，從物理學視角建立起理論框架。

現作為系列課程的第七講，鄭志剛教授將以「時空的涌現：非線性波與斑圖 」為題，將從微觀建模到宏觀分析來系統介紹時空結構涌現，引入反應擴散方程，探討振幅方程與斑圖選擇，開展時空系統的線性穩定性分析，并重點剖析圖靈（Turing）斑圖、非線性波特別是螺旋波的形成機理與轉變。

主題：時空的涌現：非線性波與斑圖

課程簡介

我們生活的大自然呈現出各種各樣的空間結構，不同動物都有自己特定的體表斑紋模式。這些漂亮的結構是怎樣形成的？自然界的這些美麗畫卷莫非是上帝之手繪就的么？

人們將這些既有時間演化又有空間模式特征的研究對象稱為時空斑圖。從科學視角來看，斑圖(pattern) 可以一般定義為在時間或空間上具有某種規律性的非均勻宏觀有序結構。斑圖是自然的自組織形式。

本次課將從微觀建模到宏觀分析來系統介紹時空結構涌現，引入反應擴散方程，探討振幅方程與斑圖選擇，開展時空系統的線性穩定性分析，并重點剖析圖靈（Turing）斑圖、非線性波特別是螺旋波的形成機理與轉變。

課程大綱

1.概述：非平衡態與耗散結構

2.反應擴散方程：圖靈分岔與霍普夫分岔

3.對稱性分析：振幅方程

4.斑圖選擇：振幅方程分析

5.動態斑圖與螺旋波

6.討論分析

專業術語

Boltzmann有序性原理，耗散結構，自組織過程，斑圖，反應擴散方程，對稱性分析，振幅方程，螺旋波，靶波，行波，愛克豪斯失穩，漫游螺旋波（Dopler）失穩，失穩。

關鍵解釋：

1. 自組織過程：內部具有一定功能的開系離開平衡態時，因其無序狀態的失穩， 在系統內部漲落的驅動下轉變為穩定的時間、空間或功能結構的過程。形成的 結構稱作“耗散結構”（Dissipative Structure），它必須在系統不斷與外界 交流物質、能量的條件才能出現和維持。

2. Hopf分岔：均勻定態變成時間振蕩，時間平移對稱性破缺。系統在臨界點最危險的模為k=0的模（空間均勻微擾引起的系統失穩）。

3. 圖靈分岔：均勻定態到非均勻空間振蕩態（圖靈斑圖），空間平移對稱性破缺 系統對均勻微擾穩定，但對某些模數的微擾不穩定，產生鞍結分岔 。

4. 擴散：當物質中粒子數密度不均勻時，由于分子的熱運動使粒子從密度高的地方遷移到數密度低的 地方的現象。

5. 靈斑圖的高級分岔：一般來講，圖靈分岔后系統形成的斑圖會隨控制參數的變化而失穩，從而導致新的斑圖態的產生。這種失穩被稱為圖 靈斑圖的高級分岔。

參考文獻

1. A. M. Turing, The chemical basis of morphogenesis, Philos. Trans. R. Soc. B, 1952, 237: 37-72.

2. I. Prigogine and G. Nicolis, Self-Organization in Non-Equilibrium Systems, Wiley (1977)

3. H. Haken, Synergetics: An Introduction- 3rd Edition, Springer-Verlag, Berlin (1983)

4. M. Cross and P. Hohenberg, Pattern formation outside of equilibrium, Rev. Mod. Phys. 65, 851 (1993).

5. M. Cross and H. Greenside, Pattern Formation and Dynamics in Nonequilibrium Systems, Cambridge University Press, Cambridge (2009).

6. 歐陽頎, 反應擴散系統中的斑圖動力學(上海科技教育出版社, 上海，2000)

7. 歐陽頎2010非線性科學與斑圖動力學導論 (北京:北京大學出版社）

8. 鄭志剛，復雜系統的涌現動力學（上下冊），科學出版社 2019

9. Z.L. Qu, G. Hu, A. Garfinkel, and J.N. Weiss, Nonlinear and Stochastic Dynamics in the Heart, Phys. Rep. 543(2), 61 (2014).

10. Q. Ouyang and J.M. Flesselles, Transition from spirals to defect turbulence driven by a convective instability, Nature 379, 143 (1996).

11. V. Petrov, Q. Ouyang, and H. L. Swinney, Resonant pattern formation in a chemical system, Nature 388, 655 (1997).

12. Rietkerk, M., et al. (2021). Spatial Pattern Formation in Ecological Systems: Challenges of Turing Model Adaptation. Science, 371(6532), eabj0359

課程信息

課程主題：時空的涌現：非線性波與斑圖

課程時間：2025年6月16日（周一） 19:00-21:00

課程形式：騰訊會議（會議信息見群內通知）；集智學園網站錄播（3個工作日內上線）

課程主講人

鄭志剛，華僑大學二級教授，研究員-教授雙崗，薈萃計劃特聘教授，閩江學者、桐江學者特聘教授，福建省百人計劃、高層次領軍人才，系統科學學科負責人，物理學科帶頭人。

1997-2015年在北京師范大學工作，2001年破格教授，2006-2011年曾任物理系系主任。2015年至今在華僑大學信息科學與工程學院工作，任華僑大學系統科學研究所所長。曾獲全國百篇優博、高校青年教師獎、優秀骨干教師獎等。

目前擔任《JAND》雜志副主編，《Chaos》、《Scientific Reports》、《Entropy》、《Chinese Physics B》、《物理學報》等雜志編委。長期從事復雜系統統計物理與非線性動力學方面的教學研究，承擔包括973、國家自然科學基金重點項目等國家和省部級項目30多項，在國際刊物發表學術論文200多篇。出版《混沌控制》、《耦合非線性系統的時空動力學與合作行為》、《從動力學到統計物理學》、《復雜系統的涌現動力學》、《生物分子馬達的統計物理與復雜輸運》等多部專著。

課程適用對象

1. 領域研究者、理工科研究生或高年級本科生：a. 對非線性動力學、復雜科學、統計物理等領域感興趣； b. 具備一定的微分方程、線性代數及計算基礎； c. 對交叉領域研究有熱情的研究者；2. 具有探究精神的學生：a. 樂于參與討論、假設推導和問題反思的學生。

報名須知

1. 課程形式：騰訊會議直播，集智學園網站錄播。本系列課程不安排免費直播。2. 課程周期：2025年4月14日-2025年6月16日，每周一晚19點-21點進行。3. 課程定價：799元

掃碼付費報名

課程課程鏈接：https://campus.swarma.org/course/5482?from=wechat

付費流程：

1. 掃碼付費；

2. 課程頁面添加學員登記表，添加助教微信入群；

3. 課程可開發票。

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