人們常說“就算學(xué)了數(shù)學(xué)，在社會(huì)上也派不上什么用場(chǎng)”。然而事實(shí)并非如此。數(shù)學(xué)為我們的工作與生活提供支持，甚至可以說“世界是由數(shù)學(xué)建立的”。

舉例來說……

現(xiàn)在要把一張 A4 大小的海報(bào)放大至 A3 大小。因?yàn)榧垙埓笮M足“白銀比例”，所以圖案不會(huì)變形，操作起來很方便。

氣象局預(yù)測(cè)櫻花將在下周一開放。氣象局之所以能夠這樣預(yù)測(cè)，是因?yàn)檫\(yùn)用了“積分”。

“他那么帥，肯定有女朋友。”聽到這句話，你是不是覺得哪里不對(duì)？假如你懷疑它的因果關(guān)系，可以用“反證法”

想一想。

諸如此類日常生活中的場(chǎng)景，都會(huì)用到數(shù)學(xué)。

只要掌握了數(shù)學(xué)思維，就能有邏輯地思考事物。

《原來數(shù)學(xué)這么有用》的作者鶴崎修功從三歲起就沉浸在“數(shù)學(xué)沼澤”中的東京大學(xué)數(shù)學(xué)系博士，力圖用日常生活中的案例（如A4紙放大、櫻花預(yù)測(cè)、自助餐食物增量等）解讀數(shù)學(xué)原理，讓數(shù)學(xué)不再抽象。

通過這本書邀你領(lǐng)略數(shù)學(xué)之美、之趣、之用。無論是對(duì)數(shù)學(xué)有恐懼情緒的文科生，還是對(duì)數(shù)學(xué)著迷的理科生，都能在這本書中輕松獲得有趣的知識(shí)和有效的應(yīng)試技巧。

來源 | 《原來數(shù)學(xué)這么有用》

作者 | [日] 鶴崎修功

譯者 | 佟凡

01

自古以來令數(shù)學(xué)家陶醉的“黃金比例”

當(dāng)我們?cè)邙B取沙丘看到一片廣闊的沙灘時(shí)，在沙之美術(shù)館與精致的沙雕作品相遇時(shí)，抑或從中國(guó)地方 A 最高峰的峰頂俯瞰宏偉的大自然時(shí)……我們都能夠感受到“美”。

眼前的事物和風(fēng)景向我們的感性傾訴著“某種東西”，這種東西有時(shí)能用數(shù)學(xué)解釋。數(shù)學(xué)與美之間隱藏著出人意料的聯(lián)系。你知道“黃金比例”嗎？據(jù)說黃金比例是“能夠讓人從根源上感受到美的比例”。

因?yàn)辄S金比例會(huì)不經(jīng)意間出現(xiàn)在圖形和自然界中，所以自古以來就讓數(shù)學(xué)家們陶醉其中。黃金比例換算成整數(shù)大約為 5∶8。如果用具體的數(shù)表示，黃金比例是“1∶1.6180339887…”，比值約為 0.618。其中，1.6180339887…是無理數(shù)

，小數(shù)點(diǎn)以后的數(shù)字無限延續(xù)。這個(gè)數(shù)字被稱為“黃金數(shù)”，用希臘字母 Φ 表示。也就是說，

古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯創(chuàng)立的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的標(biāo)志是“五芒星”。五芒星是由正五邊形的對(duì)角線組成的星形。假設(shè)正五邊形的一邊邊長(zhǎng)為 1，那么對(duì)角線的長(zhǎng)度就是黃金數(shù) Φ，也就是說，正五邊形的邊長(zhǎng)與對(duì)角線的長(zhǎng)度比為黃金比例。

02

“米洛斯的維納斯”為什么那么美

出現(xiàn)黃金比例的著名作品是希臘的帕特農(nóng)神廟和米洛斯的維納斯。

據(jù)說帕特農(nóng)神廟的橫向與縱向長(zhǎng)度比為黃金比例。另 外，米洛斯的維納斯從腳底到頭頂?shù)拈L(zhǎng)度與從腳底到肚臍的長(zhǎng)度之比，以及從肚臍到頭頂?shù)拈L(zhǎng)度與從肚臍到下巴的長(zhǎng)度之比均為 Φ∶1。

不過，這些慣性認(rèn)知其實(shí)都來源于“當(dāng)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬比為黃金比例時(shí)，人們會(huì)感覺到美”的說法。因此，我們同樣可以認(rèn)為帕特農(nóng)神廟和米洛斯的維納斯中隱藏的黃金比例是后人附會(huì)的。

自古以來，人們就認(rèn)為長(zhǎng)寬比為黃金比例的長(zhǎng)方形是最美的，這種觀點(diǎn)尤以歐洲為甚。不過，事實(shí)也確實(shí)是大量建筑和藝術(shù)作品的設(shè)計(jì)中都遵循了黃金比例法則，比如巴黎的凱旋門和列奧納多·達(dá)·芬奇（1452—1519）的作品《蒙娜麗莎》。

03

黃金比例與“斐波那契數(shù)列”的神奇聯(lián)系

黃金比例與自然界同樣密切相關(guān)。與黃金比例關(guān)系密切的斐波那契數(shù)列就經(jīng)常出現(xiàn)在自然界中。

首先我來為大家介紹斐波那契數(shù)列。斐波那契數(shù)列從兩個(gè) 1 開始，按照“1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …”的順序排列，數(shù)列的規(guī)則很簡(jiǎn)單，后一項(xiàng)為前兩項(xiàng)之和。數(shù)列的名稱來源于意大利數(shù)學(xué)家列奧納多·斐波那契（約 1170—約 1240）。據(jù)說斐波那契通過觀察兔子的繁殖方式發(fā)現(xiàn)了這個(gè)數(shù)列。

黃金比例與斐波那契數(shù)列是如何聯(lián)系在一起的呢？

讓我們把斐波那契數(shù)列縱向排列，看一看上下兩個(gè)數(shù)之 比（ 見上頁(yè)圖 ）。 按 照

等計(jì)算，可以看出結(jié)果逐漸接近某個(gè)數(shù)。這個(gè)數(shù)正是 1.618033…，也就是黃金數(shù) Φ。自然界出現(xiàn)的黃金數(shù)和斐波那契數(shù)的代表有菠蘿、松果、向日葵等。舉例來說，如果從底部觀察松果，數(shù)一數(shù)螺旋鱗片的數(shù)量，就會(huì)發(fā)現(xiàn)順時(shí)針有 13 行，逆時(shí)針有 8 行，8 和 13 都是出現(xiàn)在斐波那契數(shù)列中的數(shù)。

為什么我們能夠感受到美？為什么與黃金比例有關(guān)的數(shù)會(huì)大量出現(xiàn)在自然界中呢？我從世界與數(shù)學(xué)的神奇聯(lián)系中感受到了浪漫。

04

在日本深受喜愛的“白銀比例”

剛才我說到了黃金比例自古以來就在歐洲深受喜愛，在日本同樣有自古以來就深受喜愛的“白銀比例”。白銀比例是 1∶ ，換算成整數(shù)大約為 5∶7。 是邊長(zhǎng)為 1的正方形的對(duì)角線長(zhǎng)度，也可以說是直角邊邊長(zhǎng)為 1 的等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)度。

白銀比例被日本的木工稱為“神之比例”，在日本法隆寺五重塔和伊勢(shì)神宮等建筑物中被大量應(yīng)用，因此它也被稱為“大和比”。

與黃金比例相比，我自己也更喜歡白銀比例，因?yàn)榘足y比例不僅美麗，而且功能性很強(qiáng)。

其實(shí)，我們非常熟悉的表示紙張大小的 A、B 開本的長(zhǎng)寬比正是白銀比例。活躍于日本江戶時(shí)代后期的詼諧小說作家大田南畝（1749—1823）在《半日閑話》中提到過：“日本紙張的規(guī)格應(yīng)該參考白銀比例。”白銀比例有一個(gè)特點(diǎn)——就算把紙張縮小到原來的 1/2、1/4、1/8……，也能始終保持長(zhǎng)寬比為白銀比例。舉例來說，就算用復(fù)印機(jī)放大 2 倍或者縮小 1/2，由于長(zhǎng)寬比相同，因此原本的圖案也不會(huì)變形。這是只有白銀比例才擁有的特點(diǎn)。

1929 年，日本確定了紙張規(guī)格。在調(diào)查了其他各國(guó)的情況后，日本確定了兩組符合白銀比例的紙張標(biāo)準(zhǔn)規(guī)格，即德國(guó)符合白銀比例的 A 組尺寸，以及以日本江戶時(shí)代的公用紙張“美濃判”為基礎(chǔ)的 B 組尺寸。

如下圖所示，現(xiàn)在 A0 紙的一半為 A1 紙，A1 紙的一半為 A2 紙，A2 紙的一半為 A3 紙，以此類推。B 組的紙張大小同樣如此。另外，B 組紙張的面積是 A 組的 1.5 倍。

就算紙張的大小縮小到原來的一半，依然能夠保持白銀比例，因此在造紙的工序中不會(huì)出現(xiàn)浪費(fèi)。這就是我說白銀比例“功能性很強(qiáng)”的原因。

05

直到 17 世紀(jì)，負(fù)數(shù)都是“不合理的數(shù)”

在這一節(jié)，我們將回顧數(shù)的歷史，比如在學(xué)校學(xué)到的負(fù)數(shù)、零、虛數(shù)等。人類最早發(fā)現(xiàn)的數(shù)是自然數(shù)，可以追溯到約 4000 年前的古巴比倫。

另外，約公元前 3 世紀(jì)的美索不達(dá)米亞文明已經(jīng)開始使用 0（零）作為占位符，不過當(dāng)時(shí) 0 并沒有被當(dāng)成數(shù)。比如“101”中的 0 只是一個(gè)記號(hào)，表示“十位上什么數(shù)都沒有”（空位）。據(jù)說 0 第一次被當(dāng)成數(shù)是在六七世紀(jì)的印度，因此人們會(huì)說“發(fā)現(xiàn) 0 的是印度人”。把 0 當(dāng)成數(shù)對(duì)待后，人們隨之也把 0 當(dāng)成計(jì)算對(duì)象來對(duì)待。也就是說，人們可以進(jìn)行“0 + 9 = 9”“13 × 0 = 0”等計(jì)算了。

負(fù)整數(shù)初次在世界登場(chǎng)，是在中國(guó)數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》里。可是據(jù)說負(fù)數(shù)被真正當(dāng)成數(shù)對(duì)待，還是在六七世紀(jì)的印度。628 年，印度數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多（約 598—約660）在天文學(xué)著作《婆羅摩修正體系》中記載計(jì)算規(guī)則時(shí)，將負(fù)數(shù)和 0 一起列入了計(jì)算體系。

負(fù)數(shù)在印度確立地位后傳到了歐洲，不過在那里并沒有被立即接受。后來經(jīng)過漫長(zhǎng)的歲月，直到進(jìn)入 16 世紀(jì)，負(fù)數(shù)才終于成為方程的解。但當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家們依然不認(rèn)可負(fù)數(shù)，將它稱為“不合理的數(shù)”。就連 17 世紀(jì)的著名法國(guó)數(shù)學(xué)家勒內(nèi)·笛卡兒（1596—1650）都會(huì)在遇到負(fù)數(shù)解時(shí)稱之為“偽解”。

第一個(gè)接受負(fù)數(shù)作為方程真正的解的人，是法國(guó)數(shù)學(xué)家阿爾貝·吉拉爾（1595—1632）。他想出了用可視化的方式表現(xiàn)負(fù)數(shù)的方法，即“正數(shù)表示前進(jìn)，負(fù)數(shù)表示倒退”，以 0 為原點(diǎn)，用向右長(zhǎng)度為 1 的箭頭表示 +1，向左長(zhǎng)度為 1 的箭頭表示 -1。負(fù)數(shù)從此有了可視化的表現(xiàn)方式，終于被人們廣泛接受。

現(xiàn)在我們不帶任何疑問使用的負(fù)數(shù)，在僅僅大約 350年前還被認(rèn)為是不合理的數(shù)，這實(shí)在令人驚訝。

06

畢達(dá)哥拉斯不承認(rèn)的“無理數(shù)”

至此，整數(shù)終于全部出場(chǎng)。整數(shù)之間相加或者相乘后，結(jié)果一定是整數(shù)。可是整數(shù)之間相除，結(jié)果卻不一定是整數(shù)，于是這里新出現(xiàn)的數(shù)是分?jǐn)?shù)。分母和分子都是整數(shù)的分?jǐn)?shù)叫作有理數(shù)。整數(shù)也可以看作分母為 1 的分?jǐn)?shù)，因此屬于有理數(shù)。不過，不能將 0 作為分母。

另外，分?jǐn)?shù)還可以用小數(shù)表示。比如 1/4 可以用小數(shù)寫作 0.25，1/7 可以寫作小數(shù) 0.142857142857…，其 中“142857”的部分無限循環(huán)，這樣的小數(shù)叫作循環(huán)小數(shù)。其實(shí)分母和分子都是整數(shù)的分?jǐn)?shù)有的可以寫作小數(shù)點(diǎn)以后位數(shù)有限的小數(shù)，或者從小數(shù)點(diǎn)以后某一位開始無限循環(huán)的小數(shù)。

順帶一提，分?jǐn)?shù)和小數(shù)二者的歷史截然不同。分?jǐn)?shù)是一種非常古老的數(shù)，大約在公元前 17 世紀(jì)就出現(xiàn)在數(shù)學(xué)著作《萊因德紙草書》中。而小數(shù)的歷史很短，歐洲第一次提出小數(shù)概念的人是 16 世紀(jì)的荷蘭數(shù)學(xué)家西蒙·斯蒂文（1548—1620）。發(fā)明出和現(xiàn)在一樣的小數(shù)點(diǎn)表示法的人，則是蘇格蘭數(shù)學(xué)家約翰·納皮爾（1550—1617）。

正如前文所說，因?yàn)檎麛?shù)也可以用分?jǐn)?shù)表示，所以似乎所有數(shù)都可以用分?jǐn)?shù)表示。畢達(dá)哥拉斯也同意這種看法，他崇拜自然數(shù)，認(rèn)為自然數(shù)是神圣的事物，所有數(shù)都可以用自然數(shù)之比來表示，即用分?jǐn)?shù)表示。

然而事實(shí)與畢達(dá)哥拉斯的想法相悖，當(dāng)時(shí)人們發(fā)現(xiàn)了不能用分?jǐn)?shù)表示的數(shù)。根據(jù)勾股定理，邊長(zhǎng)為 1 的正方形對(duì)角線的長(zhǎng)度為， 就是無法用分?jǐn)?shù)表示的數(shù)。如果用小數(shù)表示，則為 1.41421356…，小數(shù)點(diǎn)以后無限延續(xù)，而且數(shù)字并不循環(huán)，這意味著無法用分母與分子都是整數(shù)的分?jǐn)?shù)形式表示。也就是說， 不是有理數(shù)，這樣的數(shù)叫作無理數(shù)。圓周率，即 3.1415926…，也是小數(shù)點(diǎn)以后數(shù)字不循環(huán)但無限延續(xù)的無理數(shù)。數(shù)字大家庭中包含無數(shù)個(gè)無理數(shù)，不僅如此，實(shí)際上無理數(shù)的數(shù)量遠(yuǎn)多于有理數(shù)。

有理數(shù)和無理數(shù)被統(tǒng)稱為“實(shí)數(shù)”。大家在學(xué)校數(shù)學(xué)課上學(xué)到的數(shù)軸包含所有實(shí)數(shù)。

《原來數(shù)學(xué)這么有用》

作者：[日] 鶴崎修功

譯者：佟凡

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