作者｜保羅·哈爾莫斯（Paul Halmos，1916-2006）

匈牙利裔美國數學家。作為馮·諾依曼的助手和鞅理論提出者約瑟夫·杜布的學生，他在邏輯、概率和統計、泛函分析等領域都做出了基礎性的工作。

你需要很長時間才能學會生活，直到那時，你會知道自己的時光已經流逝。我花了大半輩子的歲月努力去做一名數學家，從中我學到了什么？怎樣才能成為其中的一員？我認為我發現了答案：你必須天資卓越，你必須力臻完善，你必須熱愛數學勝過一切，你必須勤奮不輟，你必須永不言棄。

天資卓越？是的。要成為一名數學學者，你必須生來具有天賦、洞察力、專注力、品味、運氣、驅動力以及想象和猜測的能力。為了教學，你必須額外體悟學習者可能會遭遇什么樣的障礙，你必須同你的聽眾產生共鳴，無私敬業，口才流利，思路清晰，長于說理。最后，為了能夠在這個行業中發揮自己的作用，在從事基本的文書工作和履行行政任務時，你必須負責、認真、仔細、井井有條，如果你還具備一定的領導能力和個人魅力，就更有助益了。

《我想當數學家》[美] 保羅·哈爾莫斯 著張十銘 譯

人民郵電出版社

2025年5月

你不可能十全十美，但如果不嘗試，你就不會做得足夠好。

要做一名數學家，你必須熱愛數學甚于熱愛家庭、宗教、金錢、舒適、快樂和榮耀。我的意思并不是說，你必須熱愛數學而不顧家庭、宗教和其他方面；我也不是說，如果你真的熱愛，就永遠不會有任何懷疑，永遠不會氣餒，永遠不會準備拋下一切轉而從事園藝。懷疑和氣餒是生活的一部分。偉大的數學家也會懷疑，也會氣餒，但通常他們無論如何也無法停止做數學；而當他們真的停下來時，他們又會深深地懷念數學。

可以肯定，“數學家”是一個沒有定義的術語，也可能現在（或以前）被稱為數學家的某些人并不（或不曾）那么深地熱愛數學。對數學不感興趣的配偶需要同等的陪伴時間，作為父母對孩子的內疚感會讓你選擇在周六下午跟兒子玩接球游戲，而不是對著那道難以捉摸的問題去白費力氣。家庭、宗教、金錢、舒適、快樂、榮耀和生活上的其他要求，或深或淺，對我們所有人而言都不同程度地存在著，我并沒有說數學家們總在忽視這一切，我也沒有說對數學的熱愛比對其他事物的熱愛更重要。

我想說的是，在某種程度上，一個人的愛是可以排序的，數學家（我總是樂于在這種意義下使用該詞）最大的愛是數學。我認識許多數學家，無論偉大的還是平凡的，我確信，我所講的對于他們而言都千真萬確。舉幾位著名的數學家為例，如果馬斯頓·莫爾斯（Marston Morse）、安德烈·韋伊、赫爾曼·外爾和奧斯卡·扎里斯基不同意我的觀點，我會非常驚訝。

請注意，我并不是建議你或堅持讓你熱愛數學。我不會發出這樣的命令：“如果你立志做一名數學家，就該立即開始熱愛數學。”那將是荒謬的。我的意思是，對數學的熱愛是一種假設，沒有這個假設就不會得出那個結論。如果你立志做一名數學家，你就要審視自己的靈魂，質問自己做一名數學家的愿望有多大。如果這個愿望不是深刻和巨大的，如果它實際上不是最大的愿望，如果你有另一個優先的愿望，甚至不止一個，那么你就不應該嘗試成為數學家。“應該”這個詞不是從道德倫理上考慮，而是從務實的角度出發。因為我認為你的嘗試很可能不會成功，而且，無論如何，你可能會感到沮喪和不快。

至于“勤奮不輟”，當卡邁克爾告訴我他花了多長時間準備一場50分鐘的特邀報告時，我第一次明白了這意味著什么。50小時，他說。換言之，最終報告里的每一分鐘都需要一小時的基礎。

多年以后，當我們六個人寫了一篇“數學史”的論文（《美國數學——從1940年到前天》）時，我算了一下，我那份任務大約花了150小時。我再一想到整個團隊花了多少工時，就不寒而栗。僅是準備一次演講（并不是論文）就能占用我幾小時。我高聲朗讀全稿，然后，又對著錄音機通篇講了一遍。隨后，我從頭到尾聽了六遍，其中三遍是為了找出需要潤色的地方（并在下一次播放前就做好需要的潤色），另外三遍是為了把握好節奏（特別是為了把握好每個部分的時機）。當這一切都過去后，我準備好透明膠片，在最后的彩排中（獨自一人，沒有觀眾）又從頭至尾演練了一回。這就是工作。

阿基米德教導我們，一個渺小的量不斷疊加，足以成為一個巨大的量，或用諺語來說：一點一滴，匯聚成河。要說如何成就這世上繁重的工作，尤其是數學家的工作，無論是證明一個定理、寫一本書、教授一門課程、主持一個部門，還是編輯一份期刊，我贊成這一說法：阿基米德的方法是完成一件事的唯一方法。堅持每天做一點，沒有例外，沒有假期。作為例子，我提一下我的《希爾伯特空間問題集》的第一版，其中有199個問題。在邁阿密大學的那一年，我完成了初稿的大部分，我強迫自己每天寫一個問題。但這并不意味著我寫整本書花了199天，總時間大約是這個數字的三倍。

至于“永不言棄”，那是無須解釋的，我一直都在試圖用軼事來舉證說明，但這里，為了有趣，我講一個相關的小故事。大約是在1980年，我受邀給“普通”聽眾做了一次演講。演講結束后，我把它寫了下來，投寄給《數學教師》（The Mathematics Teacher）發表。沒過太久，我收到了幾位評審人的報告，部分內容如下：“本文作者顯然覺得她/他是在展示抽象的魅力和威力。雖然他/她的例子包含了這樣的潛力，但我不覺得其呈現方式創造出了這種效果。……這篇論文的主要問題在于文風散漫，思想脈絡也不清晰。……所關注的數學主題只能引起適度的興趣。”這次投稿被堅決地拒絕了。我沒有放棄，只是聳聳肩，只字未改地把同一篇文章投給了當時名為《兩年制學院數學學報》（The Two-Year College Mathematics Journal）的期刊。它被接收并刊印，一年后，獲美國數學協會頒發的“波利亞獎”。

這些關于如何做數學家的訣竅和描述，都不可避免地源于我自己成為數學家的嘗試。沒有人能告訴你數學家應該做什么，而我也不完全確定我知道他們實際上在做些什么——我真正能說出的只是我做了什么。

我跟數學家有多接近？我在數學上的全部貢獻有多少？我首先想到的回答是一個小巧而漂亮的證明（單調類定理），幾個還不錯的定理（主要在我的遍歷理論的論文“Approximation Theories...”和“In General a MeasurePreserving Theorem Is Mixing”中），以及一個邏輯學上的好想法（多元代數）。

我頗為擅長的一件事就是問問題。假定有一個數學問題，如果我能理解它的陳述，對它的歷史有所了解，還曾花了一些時間研究它，對它的標準理論方法的掌握還算跟得上時代，那在這些條件下，我具備發現、識別和系統闡述其核心問題的天賦。如果我花了一個月的時間認真研究一個問題，試圖回答它，卻失敗了，那么我就堅信它并非無足輕重。我堅信這樣一個問題適合比我更優秀的數學家去解決。如果他們之中有人解決了該問題，那他必定會感到自豪和欣慰，至少要激動一陣子。例如冪不等式、正規算子的外爾馮·諾伊曼定理。

與我曾經問過的問題相關的是我發現并引入的那些概念，尤其是次正規算子和擬三角算子，可能還有巴拿赫代數中的容量。重要的理論都是從這些概念發展而來的。我認為，稱之為貢獻是公平的。

我寫了一些不錯的綜述，還寫了一些相當好的書。或許最出色的是《有限維向量空間》和《希爾伯特空間問題集》，不過，我自己對這種事表示支持或反對，可能是最沒分量的了。

我最接近不朽的貢獻是一個縮寫拼法和一個印刷符號。我發明了“iff”，意思是“當且僅當”（if and only if），然而，我從來不相信我真的是它的發明者。我很樂于相信，在我發明之前它就已經存在，但我不知道它的存在，反正是我對它的創造（或者說再造）使它在數學世界中傳播開來。而那個符號肯定不是我的創造——在我采用它之前，它已出現在流行雜志上（不是數學雜志），但是似乎也是我把它引入了數學。它是有時形如“□”的符號，用于表示結束，通常是一個證明的結束。它最常被稱作“墓碑”（tombstone），但至少有一位慷慨的作者將其稱為“halmos”（哈爾莫斯）。

就是這樣，這就是生活，這就是事業。我是一名作家、編輯、教師和科研型數學家，這是依我對自己各項能力的評判，按由高到低順序排列的。

接下來做什么呢？寫作本書耗費了我極大的心血，花了一年半的時間和精力，在此期間，我無暇顧及科研。這是深思熟慮之后的一場冒險。我想寫這本書，但根本不確定我能否按照我夢想的方式完成，不確定我能否把自己想說的話告訴讀者。如果我最終成功了，我會很高興；如果沒有，我會很難過。但是，不管是哪種情況，我都不準備鉆進地縫里，永遠地消失。

我想要再多寫一些數學，再多教一些數學，甚至再多證明一個定理。我會努力去嘗試，這是肯定的。我思考數學，我教授數學，我撰寫數學，我談論數學，都已經達50年之久，我很高興我一直這么做下來。我想當數學家。我仍然在路上。