作者｜保羅·哈爾莫斯（Paul Halmos，1916-2006）

匈牙利裔美國數(shù)學(xué)家。作為馮·諾依曼的助手和鞅理論提出者約瑟夫·杜布的學(xué)生，他在邏輯、概率和統(tǒng)計(jì)、泛函分析等領(lǐng)域都做出了基礎(chǔ)性的工作。

你需要很長時(shí)間才能學(xué)會(huì)生活，直到那時(shí)，你會(huì)知道自己的時(shí)光已經(jīng)流逝。我花了大半輩子的歲月努力去做一名數(shù)學(xué)家，從中我學(xué)到了什么？怎樣才能成為其中的一員？我認(rèn)為我發(fā)現(xiàn)了答案：你必須天資卓越，你必須力臻完善，你必須熱愛數(shù)學(xué)勝過一切，你必須勤奮不輟，你必須永不言棄。

天資卓越？是的。要成為一名數(shù)學(xué)學(xué)者，你必須生來具有天賦、洞察力、專注力、品味、運(yùn)氣、驅(qū)動(dòng)力以及想象和猜測(cè)的能力。為了教學(xué)，你必須額外體悟?qū)W習(xí)者可能會(huì)遭遇什么樣的障礙，你必須同你的聽眾產(chǎn)生共鳴，無私敬業(yè)，口才流利，思路清晰，長于說理。最后，為了能夠在這個(gè)行業(yè)中發(fā)揮自己的作用，在從事基本的文書工作和履行行政任務(wù)時(shí)，你必須負(fù)責(zé)、認(rèn)真、仔細(xì)、井井有條，如果你還具備一定的領(lǐng)導(dǎo)能力和個(gè)人魅力，就更有助益了。

《我想當(dāng)數(shù)學(xué)家》[美] 保羅·哈爾莫斯 著張十銘 譯

人民郵電出版社

2025年5月

你不可能十全十美，但如果不嘗試，你就不會(huì)做得足夠好。

要做一名數(shù)學(xué)家，你必須熱愛數(shù)學(xué)甚于熱愛家庭、宗教、金錢、舒適、快樂和榮耀。我的意思并不是說，你必須熱愛數(shù)學(xué)而不顧家庭、宗教和其他方面；我也不是說，如果你真的熱愛，就永遠(yuǎn)不會(huì)有任何懷疑，永遠(yuǎn)不會(huì)氣餒，永遠(yuǎn)不會(huì)準(zhǔn)備拋下一切轉(zhuǎn)而從事園藝。懷疑和氣餒是生活的一部分。偉大的數(shù)學(xué)家也會(huì)懷疑，也會(huì)氣餒，但通常他們無論如何也無法停止做數(shù)學(xué)；而當(dāng)他們真的停下來時(shí)，他們又會(huì)深深地懷念數(shù)學(xué)。

可以肯定，“數(shù)學(xué)家”是一個(gè)沒有定義的術(shù)語，也可能現(xiàn)在（或以前）被稱為數(shù)學(xué)家的某些人并不（或不曾）那么深地?zé)釔蹟?shù)學(xué)。對(duì)數(shù)學(xué)不感興趣的配偶需要同等的陪伴時(shí)間，作為父母對(duì)孩子的內(nèi)疚感會(huì)讓你選擇在周六下午跟兒子玩接球游戲，而不是對(duì)著那道難以捉摸的問題去白費(fèi)力氣。家庭、宗教、金錢、舒適、快樂、榮耀和生活上的其他要求，或深或淺，對(duì)我們所有人而言都不同程度地存在著，我并沒有說數(shù)學(xué)家們總在忽視這一切，我也沒有說對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛比對(duì)其他事物的熱愛更重要。

我想說的是，在某種程度上，一個(gè)人的愛是可以排序的，數(shù)學(xué)家（我總是樂于在這種意義下使用該詞）最大的愛是數(shù)學(xué)。我認(rèn)識(shí)許多數(shù)學(xué)家，無論偉大的還是平凡的，我確信，我所講的對(duì)于他們而言都千真萬確。舉幾位著名的數(shù)學(xué)家為例，如果馬斯頓·莫爾斯（Marston Morse）、安德烈·韋伊、赫爾曼·外爾和奧斯卡·扎里斯基不同意我的觀點(diǎn)，我會(huì)非常驚訝。

請(qǐng)注意，我并不是建議你或堅(jiān)持讓你熱愛數(shù)學(xué)。我不會(huì)發(fā)出這樣的命令：“如果你立志做一名數(shù)學(xué)家，就該立即開始熱愛數(shù)學(xué)。”那將是荒謬的。我的意思是，對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛是一種假設(shè)，沒有這個(gè)假設(shè)就不會(huì)得出那個(gè)結(jié)論。如果你立志做一名數(shù)學(xué)家，你就要審視自己的靈魂，質(zhì)問自己做一名數(shù)學(xué)家的愿望有多大。如果這個(gè)愿望不是深刻和巨大的，如果它實(shí)際上不是最大的愿望，如果你有另一個(gè)優(yōu)先的愿望，甚至不止一個(gè)，那么你就不應(yīng)該嘗試成為數(shù)學(xué)家。“應(yīng)該”這個(gè)詞不是從道德倫理上考慮，而是從務(wù)實(shí)的角度出發(fā)。因?yàn)槲艺J(rèn)為你的嘗試很可能不會(huì)成功，而且，無論如何，你可能會(huì)感到沮喪和不快。

至于“勤奮不輟”，當(dāng)卡邁克爾告訴我他花了多長時(shí)間準(zhǔn)備一場(chǎng)50分鐘的特邀報(bào)告時(shí)，我第一次明白了這意味著什么。50小時(shí)，他說。換言之，最終報(bào)告里的每一分鐘都需要一小時(shí)的基礎(chǔ)。

多年以后，當(dāng)我們六個(gè)人寫了一篇“數(shù)學(xué)史”的論文（《美國數(shù)學(xué)——從1940年到前天》）時(shí)，我算了一下，我那份任務(wù)大約花了150小時(shí)。我再一想到整個(gè)團(tuán)隊(duì)花了多少工時(shí)，就不寒而栗。僅是準(zhǔn)備一次演講（并不是論文）就能占用我?guī)仔r(shí)。我高聲朗讀全稿，然后，又對(duì)著錄音機(jī)通篇講了一遍。隨后，我從頭到尾聽了六遍，其中三遍是為了找出需要潤色的地方（并在下一次播放前就做好需要的潤色），另外三遍是為了把握好節(jié)奏（特別是為了把握好每個(gè)部分的時(shí)機(jī)）。當(dāng)這一切都過去后，我準(zhǔn)備好透明膠片，在最后的彩排中（獨(dú)自一人，沒有觀眾）又從頭至尾演練了一回。這就是工作。

阿基米德教導(dǎo)我們，一個(gè)渺小的量不斷疊加，足以成為一個(gè)巨大的量，或用諺語來說：一點(diǎn)一滴，匯聚成河。要說如何成就這世上繁重的工作，尤其是數(shù)學(xué)家的工作，無論是證明一個(gè)定理、寫一本書、教授一門課程、主持一個(gè)部門，還是編輯一份期刊，我贊成這一說法：阿基米德的方法是完成一件事的唯一方法。堅(jiān)持每天做一點(diǎn)，沒有例外，沒有假期。作為例子，我提一下我的《希爾伯特空間問題集》的第一版，其中有199個(gè)問題。在邁阿密大學(xué)的那一年，我完成了初稿的大部分，我強(qiáng)迫自己每天寫一個(gè)問題。但這并不意味著我寫整本書花了199天，總時(shí)間大約是這個(gè)數(shù)字的三倍。

至于“永不言棄”，那是無須解釋的，我一直都在試圖用軼事來舉證說明，但這里，為了有趣，我講一個(gè)相關(guān)的小故事。大約是在1980年，我受邀給“普通”聽眾做了一次演講。演講結(jié)束后，我把它寫了下來，投寄給《數(shù)學(xué)教師》（The Mathematics Teacher）發(fā)表。沒過太久，我收到了幾位評(píng)審人的報(bào)告，部分內(nèi)容如下：“本文作者顯然覺得她/他是在展示抽象的魅力和威力。雖然他/她的例子包含了這樣的潛力，但我不覺得其呈現(xiàn)方式創(chuàng)造出了這種效果。……這篇論文的主要問題在于文風(fēng)散漫，思想脈絡(luò)也不清晰。……所關(guān)注的數(shù)學(xué)主題只能引起適度的興趣。”這次投稿被堅(jiān)決地拒絕了。我沒有放棄，只是聳聳肩，只字未改地把同一篇文章投給了當(dāng)時(shí)名為《兩年制學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》（The Two-Year College Mathematics Journal）的期刊。它被接收并刊印，一年后，獲美國數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)頒發(fā)的“波利亞獎(jiǎng)”。

這些關(guān)于如何做數(shù)學(xué)家的訣竅和描述，都不可避免地源于我自己成為數(shù)學(xué)家的嘗試。沒有人能告訴你數(shù)學(xué)家應(yīng)該做什么，而我也不完全確定我知道他們實(shí)際上在做些什么——我真正能說出的只是我做了什么。

我跟數(shù)學(xué)家有多接近？我在數(shù)學(xué)上的全部貢獻(xiàn)有多少？我首先想到的回答是一個(gè)小巧而漂亮的證明（單調(diào)類定理），幾個(gè)還不錯(cuò)的定理（主要在我的遍歷理論的論文“Approximation Theories...”和“In General a MeasurePreserving Theorem Is Mixing”中），以及一個(gè)邏輯學(xué)上的好想法（多元代數(shù)）。

我頗為擅長的一件事就是問問題。假定有一個(gè)數(shù)學(xué)問題，如果我能理解它的陳述，對(duì)它的歷史有所了解，還曾花了一些時(shí)間研究它，對(duì)它的標(biāo)準(zhǔn)理論方法的掌握還算跟得上時(shí)代，那在這些條件下，我具備發(fā)現(xiàn)、識(shí)別和系統(tǒng)闡述其核心問題的天賦。如果我花了一個(gè)月的時(shí)間認(rèn)真研究一個(gè)問題，試圖回答它，卻失敗了，那么我就堅(jiān)信它并非無足輕重。我堅(jiān)信這樣一個(gè)問題適合比我更優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家去解決。如果他們之中有人解決了該問題，那他必定會(huì)感到自豪和欣慰，至少要激動(dòng)一陣子。例如冪不等式、正規(guī)算子的外爾馮·諾伊曼定理。

與我曾經(jīng)問過的問題相關(guān)的是我發(fā)現(xiàn)并引入的那些概念，尤其是次正規(guī)算子和擬三角算子，可能還有巴拿赫代數(shù)中的容量。重要的理論都是從這些概念發(fā)展而來的。我認(rèn)為，稱之為貢獻(xiàn)是公平的。

我寫了一些不錯(cuò)的綜述，還寫了一些相當(dāng)好的書。或許最出色的是《有限維向量空間》和《希爾伯特空間問題集》，不過，我自己對(duì)這種事表示支持或反對(duì)，可能是最沒分量的了。

我最接近不朽的貢獻(xiàn)是一個(gè)縮寫拼法和一個(gè)印刷符號(hào)。我發(fā)明了“iff”，意思是“當(dāng)且僅當(dāng)”（if and only if），然而，我從來不相信我真的是它的發(fā)明者。我很樂于相信，在我發(fā)明之前它就已經(jīng)存在，但我不知道它的存在，反正是我對(duì)它的創(chuàng)造（或者說再造）使它在數(shù)學(xué)世界中傳播開來。而那個(gè)符號(hào)肯定不是我的創(chuàng)造——在我采用它之前，它已出現(xiàn)在流行雜志上（不是數(shù)學(xué)雜志），但是似乎也是我把它引入了數(shù)學(xué)。它是有時(shí)形如“□”的符號(hào)，用于表示結(jié)束，通常是一個(gè)證明的結(jié)束。它最常被稱作“墓碑”（tombstone），但至少有一位慷慨的作者將其稱為“halmos”（哈爾莫斯）。

就是這樣，這就是生活，這就是事業(yè)。我是一名作家、編輯、教師和科研型數(shù)學(xué)家，這是依我對(duì)自己各項(xiàng)能力的評(píng)判，按由高到低順序排列的。

接下來做什么呢？寫作本書耗費(fèi)了我極大的心血，花了一年半的時(shí)間和精力，在此期間，我無暇顧及科研。這是深思熟慮之后的一場(chǎng)冒險(xiǎn)。我想寫這本書，但根本不確定我能否按照我夢(mèng)想的方式完成，不確定我能否把自己想說的話告訴讀者。如果我最終成功了，我會(huì)很高興；如果沒有，我會(huì)很難過。但是，不管是哪種情況，我都不準(zhǔn)備鉆進(jìn)地縫里，永遠(yuǎn)地消失。

我想要再多寫一些數(shù)學(xué)，再多教一些數(shù)學(xué)，甚至再多證明一個(gè)定理。我會(huì)努力去嘗試，這是肯定的。我思考數(shù)學(xué)，我教授數(shù)學(xué)，我撰寫數(shù)學(xué)，我談?wù)摂?shù)學(xué)，都已經(jīng)達(dá)50年之久，我很高興我一直這么做下來。我想當(dāng)數(shù)學(xué)家。我仍然在路上。