作者|保羅·哈爾莫斯(Paul Halmos,1916-2006)
匈牙利裔美國數學家。作為馮·諾依曼的助手和鞅理論提出者約瑟夫·杜布的學生,他在邏輯、概率和統計、泛函分析等領域都做出了基礎性的工作。
你需要很長時間才能學會生活,直到那時,你會知道自己的時光已經流逝。我花了大半輩子的歲月努力去做一名數學家,從中我學到了什么?怎樣才能成為其中的一員?我認為我發現了答案:你必須天資卓越,你必須力臻完善,你必須熱愛數學勝過一切,你必須勤奮不輟,你必須永不言棄。
天資卓越?是的。要成為一名數學學者,你必須生來具有天賦、洞察力、專注力、品味、運氣、驅動力以及想象和猜測的能力。為了教學,你必須額外體悟學習者可能會遭遇什么樣的障礙,你必須同你的聽眾產生共鳴,無私敬業,口才流利,思路清晰,長于說理。最后,為了能夠在這個行業中發揮自己的作用,在從事基本的文書工作和履行行政任務時,你必須負責、認真、仔細、井井有條,如果你還具備一定的領導能力和個人魅力,就更有助益了。
《我想當數學家》[美] 保羅·哈爾莫斯 著張十銘 譯
人民郵電出版社
2025年5月
你不可能十全十美,但如果不嘗試,你就不會做得足夠好。
要做一名數學家,你必須熱愛數學甚于熱愛家庭、宗教、金錢、舒適、快樂和榮耀。我的意思并不是說,你必須熱愛數學而不顧家庭、宗教和其他方面;我也不是說,如果你真的熱愛,就永遠不會有任何懷疑,永遠不會氣餒,永遠不會準備拋下一切轉而從事園藝。懷疑和氣餒是生活的一部分。偉大的數學家也會懷疑,也會氣餒,但通常他們無論如何也無法停止做數學;而當他們真的停下來時,他們又會深深地懷念數學。
可以肯定,“數學家”是一個沒有定義的術語,也可能現在(或以前)被稱為數學家的某些人并不(或不曾)那么深地熱愛數學。對數學不感興趣的配偶需要同等的陪伴時間,作為父母對孩子的內疚感會讓你選擇在周六下午跟兒子玩接球游戲,而不是對著那道難以捉摸的問題去白費力氣。家庭、宗教、金錢、舒適、快樂、榮耀和生活上的其他要求,或深或淺,對我們所有人而言都不同程度地存在著,我并沒有說數學家們總在忽視這一切,我也沒有說對數學的熱愛比對其他事物的熱愛更重要。
我想說的是,在某種程度上,一個人的愛是可以排序的,數學家(我總是樂于在這種意義下使用該詞)最大的愛是數學。我認識許多數學家,無論偉大的還是平凡的,我確信,我所講的對于他們而言都千真萬確。舉幾位著名的數學家為例,如果馬斯頓·莫爾斯(Marston Morse)、安德烈·韋伊、赫爾曼·外爾和奧斯卡·扎里斯基不同意我的觀點,我會非常驚訝。
請注意,我并不是建議你或堅持讓你熱愛數學。我不會發出這樣的命令:“如果你立志做一名數學家,就該立即開始熱愛數學。”那將是荒謬的。我的意思是,對數學的熱愛是一種假設,沒有這個假設就不會得出那個結論。如果你立志做一名數學家,你就要審視自己的靈魂,質問自己做一名數學家的愿望有多大。如果這個愿望不是深刻和巨大的,如果它實際上不是最大的愿望,如果你有另一個優先的愿望,甚至不止一個,那么你就不應該嘗試成為數學家。“應該”這個詞不是從道德倫理上考慮,而是從務實的角度出發。因為我認為你的嘗試很可能不會成功,而且,無論如何,你可能會感到沮喪和不快。
至于“勤奮不輟”,當卡邁克爾告訴我他花了多長時間準備一場50分鐘的特邀報告時,我第一次明白了這意味著什么。50小時,他說。換言之,最終報告里的每一分鐘都需要一小時的基礎。
多年以后,當我們六個人寫了一篇“數學史”的論文(《美國數學——從1940年到前天》)時,我算了一下,我那份任務大約花了150小時。我再一想到整個團隊花了多少工時,就不寒而栗。僅是準備一次演講(并不是論文)就能占用我幾小時。我高聲朗讀全稿,然后,又對著錄音機通篇講了一遍。隨后,我從頭到尾聽了六遍,其中三遍是為了找出需要潤色的地方(并在下一次播放前就做好需要的潤色),另外三遍是為了把握好節奏(特別是為了把握好每個部分的時機)。當這一切都過去后,我準備好透明膠片,在最后的彩排中(獨自一人,沒有觀眾)又從頭至尾演練了一回。這就是工作。
阿基米德教導我們,一個渺小的量不斷疊加,足以成為一個巨大的量,或用諺語來說:一點一滴,匯聚成河。要說如何成就這世上繁重的工作,尤其是數學家的工作,無論是證明一個定理、寫一本書、教授一門課程、主持一個部門,還是編輯一份期刊,我贊成這一說法:阿基米德的方法是完成一件事的唯一方法。堅持每天做一點,沒有例外,沒有假期。作為例子,我提一下我的《希爾伯特空間問題集》的第一版,其中有199個問題。在邁阿密大學的那一年,我完成了初稿的大部分,我強迫自己每天寫一個問題。但這并不意味著我寫整本書花了199天,總時間大約是這個數字的三倍。
至于“永不言棄”,那是無須解釋的,我一直都在試圖用軼事來舉證說明,但這里,為了有趣,我講一個相關的小故事。大約是在1980年,我受邀給“普通”聽眾做了一次演講。演講結束后,我把它寫了下來,投寄給《數學教師》(The Mathematics Teacher)發表。沒過太久,我收到了幾位評審人的報告,部分內容如下:“本文作者顯然覺得她/他是在展示抽象的魅力和威力。雖然他/她的例子包含了這樣的潛力,但我不覺得其呈現方式創造出了這種效果。……這篇論文的主要問題在于文風散漫,思想脈絡也不清晰。……所關注的數學主題只能引起適度的興趣。”這次投稿被堅決地拒絕了。我沒有放棄,只是聳聳肩,只字未改地把同一篇文章投給了當時名為《兩年制學院數學學報》(The Two-Year College Mathematics Journal)的期刊。它被接收并刊印,一年后,獲美國數學協會頒發的“波利亞獎”。
這些關于如何做數學家的訣竅和描述,都不可避免地源于我自己成為數學家的嘗試。沒有人能告訴你數學家應該做什么,而我也不完全確定我知道他們實際上在做些什么——我真正能說出的只是我做了什么。
我跟數學家有多接近?我在數學上的全部貢獻有多少?我首先想到的回答是一個小巧而漂亮的證明(單調類定理),幾個還不錯的定理(主要在我的遍歷理論的論文“Approximation Theories...”和“In General a MeasurePreserving Theorem Is Mixing”中),以及一個邏輯學上的好想法(多元代數)。
我頗為擅長的一件事就是問問題。假定有一個數學問題,如果我能理解它的陳述,對它的歷史有所了解,還曾花了一些時間研究它,對它的標準理論方法的掌握還算跟得上時代,那在這些條件下,我具備發現、識別和系統闡述其核心問題的天賦。如果我花了一個月的時間認真研究一個問題,試圖回答它,卻失敗了,那么我就堅信它并非無足輕重。我堅信這樣一個問題適合比我更優秀的數學家去解決。如果他們之中有人解決了該問題,那他必定會感到自豪和欣慰,至少要激動一陣子。例如冪不等式、正規算子的外爾馮·諾伊曼定理。
與我曾經問過的問題相關的是我發現并引入的那些概念,尤其是次正規算子和擬三角算子,可能還有巴拿赫代數中的容量。重要的理論都是從這些概念發展而來的。我認為,稱之為貢獻是公平的。
我寫了一些不錯的綜述,還寫了一些相當好的書。或許最出色的是《有限維向量空間》和《希爾伯特空間問題集》,不過,我自己對這種事表示支持或反對,可能是最沒分量的了。
我最接近不朽的貢獻是一個縮寫拼法和一個印刷符號。我發明了“iff”,意思是“當且僅當”(if and only if),然而,我從來不相信我真的是它的發明者。我很樂于相信,在我發明之前它就已經存在,但我不知道它的存在,反正是我對它的創造(或者說再造)使它在數學世界中傳播開來。而那個符號肯定不是我的創造——在我采用它之前,它已出現在流行雜志上(不是數學雜志),但是似乎也是我把它引入了數學。它是有時形如“□”的符號,用于表示結束,通常是一個證明的結束。它最常被稱作“墓碑”(tombstone),但至少有一位慷慨的作者將其稱為“halmos”(哈爾莫斯)。
就是這樣,這就是生活,這就是事業。我是一名作家、編輯、教師和科研型數學家,這是依我對自己各項能力的評判,按由高到低順序排列的。
接下來做什么呢?寫作本書耗費了我極大的心血,花了一年半的時間和精力,在此期間,我無暇顧及科研。這是深思熟慮之后的一場冒險。我想寫這本書,但根本不確定我能否按照我夢想的方式完成,不確定我能否把自己想說的話告訴讀者。如果我最終成功了,我會很高興;如果沒有,我會很難過。但是,不管是哪種情況,我都不準備鉆進地縫里,永遠地消失。
我想要再多寫一些數學,再多教一些數學,甚至再多證明一個定理。我會努力去嘗試,這是肯定的。我思考數學,我教授數學,我撰寫數學,我談論數學,都已經達50年之久,我很高興我一直這么做下來。我想當數學家。我仍然在路上。
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