一個困擾了數學界四十余年的難題——Mizohata-Takeuchi conjecture（Mizohata-Takeuchi 猜想），最近被一位名叫 Hannah Cairo 的少女以一種意想不到的方式解決了。她的方法并非給出直接證明，而是構造出了一個巧妙的反例，從而表明這個長久以來被認為可能成立的猜想，實際上是錯誤的。這項工作源于她在高中時期旁聽美國加州大學伯克利分校數學課程時的一份家庭作業。

圖丨Hannah Cairo（來源：Hannah Cairo）

當時，作為一名對數學充滿熱情的高中生，Cairo 參加了由加州大學伯克利分校數學系助理教授張瑞祥（Ruixiang Zhang）主講的課程。張瑞祥在課程中布置了一道特殊的作業，其中包含了Mizohata-Takeuchi 猜想的一個簡化版本作為主要題目，而原始猜想則作為附加挑戰題出現。正是這個附加題吸引了 Cairo 的注意。

圖丨張瑞祥（來源：資料圖）

最初，Cairo 的思路和許多前輩數學家一樣，試圖去證明這個猜想。經過數月的努力，她發現這條路異常艱難，但在這個過程中，她察覺到證明過程中的重重阻礙，或許正揭示了猜想本身的某種內在缺陷。她回憶說：“在幾個月的證明嘗試后，我逐漸理解了它為什么如此困難。我意識到，如果我能正確地利用這些困難，或許我能駁倒這個論斷?！?/p>

這讓她的研究思路發生了重大轉變，從試圖證明一個論斷，轉向了尋找推翻它的證據。Cairo 開始著手構建一個反例，即一個不符合猜想普適性結論的特殊數學構造。這個過程需要運用多種數學工具，包括分形（fractals）的理念，并進行極其精細的安排。她的研究成果以論文《Mizohata-Takeuchi 猜想的一個反例》（A Counterexample to the Mizohata-Takeuchi Conjecture）的形式，于 2025 年 2 月發表在預印本網站arXiv上。

圖丨相關論文（來源：arXiv）

要理解這項工作的意義，需要先了解其所屬的數學領域。調和分析（Harmonic Analysis）是現代數學的一個重要分支，其核心思想是將復雜的函數或信號分解為一系列簡單的基礎波（如正弦波和余弦波）的疊加。這種思想最早可以追溯到 19 世紀初法國數學家約瑟夫·傅里葉（Joseph Fourier）對熱傳導方程的研究，他提出可以用無窮級數的形式來表示復雜函數，這就是著名的傅里葉級數（Fourier series）。

在此基礎上，傅里葉限制理論（Fourier Restriction Theory）進一步探討了一個問題：如果我們只使用特定集合的頻率（或波）來構建一個函數，那么這個函數最終會呈現出怎樣的形態和性質？“在調和分析理論中，一切都由波構成。如果你使用正確數量的波，你可以用它們構建任何東西?！盋airo 這樣解釋這一理論的核心思想。

（來源：Youtube）

Mizohata-Takeuchi 猜想的歷史可以追溯到上世紀七八十年代，與偏微分方程（PDE，Partial Differential Equations）的研究緊密相關。當時，日本數學家 Sigeru Mizohata 與 Jiro Takeuchi 在研究量子力學中的基本方程薛定諤方程的解的適定性時，遇到了一個技術性難題。他們需要建立一種方法來保證方程解的穩定性，這個技術條件后來被形式化，并逐漸演變成了學界所稱的 Mizohata-Takeuchi 猜想。

這個猜想具體涉及一個名為延拓算子（Extension Operator）的數學對象。簡單來說，這個算子（記為 E）可以將一個定義在特定彎曲超曲面（curved hypersurface）Σ（例如球面或其他光滑曲面）上的函數 f，通過傅里葉變換的手段，“延拓”成一個定義在整個高維空間中的函數 Ef。這個過程可以看作是用曲面上的頻率信息來“合成”一個空間中的波函數。

Mizohata-Takeuchi 猜想試圖為這個合成出的函數 Ef 的“能量分布”給出一個統一的界定。它預測，Ef 的加權能量（weighted energy）——通過一個權重函數 w(x)來衡量——應該受限于兩個因素：一是原始函數f在曲面上的 L2 能量，二是權重函數 w 的 X 射線變換（X-Ray Transform）的最大值。X 射線變換可以通俗地理解為計算 w 沿著空間中所有直線積分所能得到的最大值，這個值在數學上被稱為一種掛谷型范數（Kakeya-type norm）。

用數學公式表達，該猜想的核心是一個不等式：∫|Ef(x)|2w(x)dx ≤ C·||f||2_L2(Σ)·||Xw||_L∞。這里，C 被認為是一個不依賴于f和w的普適常數。這個不等式試圖在復雜的分析問題（不等式左側的振蕩積分）和相對直觀的幾何問題（右側的 X 射線變換）之間建立聯系。

圖丨Mizohata-Takeuchi猜想的核心（來源：Youtube）

然而，Cairo 的工作表明，這個不等式并非在所有情況下都成立。她構造的反例顯示，不等式中的常數 C 并非一個絕對的普適常數，它會隨著所考察的空間尺度 R 的增大而緩慢增長，其增長速度與 log(R)（R 的對數）成正比。雖然對數增長非常緩慢，但這足以從根本上否定原猜想的普適性，證明其存在一個對數損失。

Cairo 構造反例的關鍵在于將問題轉化到傅里葉空間（Fourier space）去處理。利用普朗歇爾定理（Plancherel's Theorem），她將問題轉化為分析一個卷積（convolution）的能量。這樣，問題就變成了：能否找到一對特殊的函數 f 和 h，使得它們的卷積的能量，超出了 Mizohata-Takeuchi 猜想的預測？

為此，她精心設計了函數 f 和 h 的結構。她將這兩個函數設想為由離散的點集構成。其中，函數 h 由一個具有特定代數結構的格點集合 Q 定義，而函數 f 則由曲面 Σ 上一個稀疏但經過仔細挑選的點集 P 定義。整個構造的關鍵在于這兩個點集的幾何關系。

她需要讓這兩個點集滿足兩個看似相互制約的條件。第一，當將 Q 中的點與 P 中的點進行向量加法時，得到的點集需要與 Q 自身有大量的重疊。在函數語言中，這意味著 f 和 h 的卷積會在 Q 的格點位置上產生強烈的建設性干涉（constructive interference），從而使得卷積結果的能量變得非常大。

第二，構成 h 的格點集 Q 必須分布得足夠“稀疏”，以至于任何一個超平面（hyperplane）都不能同時穿過其中太多的點。這個條件是為了控制不等式右側的 X 射線變換項，使其保持在一個較小的值。

Cairo 成功地證明了，利用漢明立方體（Hamming cube）的投影和矩曲線（moment curve）的性質，可以構造出同時滿足這兩個條件的點集。矩曲線 Md(t) = (t, t2, ..., t^d)是一個經典的代數幾何對象，具有良好的非退化性質。通過這種構造，她使得不等式的左邊被顯著放大，而右邊的界定項卻相對受控，兩者之間的差距恰好體現為那個 log(R) 因子。

這項工作對調和分析領域產生了多方面的影響。首先，它直接推翻了另一個相關的、更強的猜想——斯坦猜想（Stein's Conjecture）。斯坦猜想是 1978 年由著名數學家 Elias Stein 提出的，涉及掛谷最大函數（Kakeya maximal functions）對博赫納-里斯乘子（Bochner-Riesz multipliers）行為的控制。Cairo 的反例表明，斯坦猜想在其最初表述中也是錯誤的。

圖丨Elias Stein（來源：WikiPedia）

其次，她的工作為多線性限制猜想（Multilinear Restriction Conjecture）的研究指明了障礙。2006 年，數學家們提出了這個重要猜想，它是傅里葉限制理論中的一個核心問題。此前，研究人員曾希望利用 Mizohata-Takeuchi 猜想來改進已知結果中的誤差項，Cairo 的工作證明了這條路是行不通的。

此外，她的研究也厘清了 Mizohata-Takeuchi 猜想與著名的掛谷猜想（Kakeya Conjecture）之間的關系。掛谷猜想起源于一個看似簡單的幾何問題：“如何用最小的面積讓一根針完成掉頭？”但它與限制理論中的“管狀”幾何結構密切相關，是現代調和分析的核心問題之一。

Cairo 的工作還對色散偏微分方程（dispersive PDE）的適定性理論產生了影響。Mizohata-Takeuchi 猜想最初就是為了研究薛定諤方程的一階擾動的 L2 適定性而提出的。她的反例表明，某些此前被認為足夠的條件實際上并不足夠，這為該領域的研究提供了新的視角。

Cairo 的成果實際上也展現出現代數學研究的一個重要特點：問題的解決往往需要將多個看似無關的數學領域的工具巧妙結合起來。她的構造中用到的關聯幾何（incidence geometry）技術，就是近年來在組合幾何學和調和分析交叉領域發展起來的有力工具。

值得注意的是，Cairo 在論文中還提出了一個可能的重新表述——局部 Mizohata-Takeuchi 猜想（Local Mizohata-Takeuchi Conjecture）。這個局部版本可能仍然成立，并且在某些應用中可能足夠有用。這體現了數學研究的一個特征：即使一個猜想被證偽，從中汲取的洞察往往能夠引導研究者提出更精確的新問題。

今年 6 月，Cairo 在西班牙馬德里附近的埃斯科里亞爾舉行的第 12 屆調和分析與偏微分方程國際會議上首次展示了她的研究成果。很快，Cairo 將在美國馬里蘭大學開始她的博士研究，繼續在張瑞祥教授的指導下工作。她計劃在新的學術環境中建立自己的研究小組，繼續在調和分析領域探索更多未解決的問題。

參考資料：

1.https://arxiv.org/pdf/2502.06137

2.https://english.elpais.com/science-tech/2025-07-01/a-17-year-old-teen-refutes-a-mathematical-conjecture-proposed-40-years-ago.html

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