全等相似總相宜

2025年北京中考數學第27題

我們在八年級下學期學習全等三角形之后，在七年級基礎上，對于幾何圖形中的線段、角之間的關系又有了新的轉換工具，而在九年級下學期學習了相似三角形之后，初中階段的基本幾何變換模型“手拉手”便相對完備了，當然，對于模型的建立，需要以學生視角，即引導學生發現模型并會運用模型，而不是機械記憶模型套路。

一道幾何綜合題，首要難關便是“如何想到”，讀題之后，題目條件能否在腦海中形成知識網絡尤為重要，我們并不期待學生拿到題目之后第一時間去套用模型，近年來許多省市的中考題，已經針對這種見題套模型進行了優化改進，因此，仔細審題，用數學思維去理解題目中的幾何元素間的關系，是解決問題的基礎。

題目

在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=α，點D在射線BC上，連接AD，將線段AD繞點A逆時針旋轉180°-2α得到線段AE(點E不在直線AB上)，過點E作EF∥AB，交直線BC于點F.

(1)如圖1，α=45°，點D與點C重合，求證：BF=AC；

(2)如圖2，點D，F都在BC的延長線上，用等式表示DF與BC的數量關系，并證明.

解析：

01

(1)由題目條件可知△ABC是等腰直角三角形，旋轉角∠CAE=90°，于是AE∥BC，再加上AB∥EF，得平行四邊形ABFE，于是BF=AE，而AE=AC，所以BF=AC；

02

(2)方法一：

由旋轉條件出發，既然線段AD繞點A逆時針旋轉180°-2α可以得到線段AE，不妨將線段AB也旋轉，如下圖：

在BC延長線上截取CG=CB，連接AG，這樣可得到等腰△ABG，其中頂角∠BAG=180°-2α，我們達到了將線段AB旋轉至AG的目的，再連接BE，很容易證明△ABE≌△AGD，于是BE=DG，∠AEB=∠D，∠BAE=∠GAD，再由AB∥EF，得∠AEF=∠BAE，對于∠BEF，有∠BEF=∠AEF+∠AEB

=∠BAE+∠D=∠GAD+∠D=∠AGB=∠ABC=∠BFE，我們又得到了一個新的等腰△BEF，于是BE=BF；

接下來我們來探究DF與BC的關系，由DF出發，DF=BD-BF，其中BD=DG+BG=DG+2BC，而BF=BE=DG，所以DF=2BC.

方法二：

仍然由旋轉條件出發，連接DE后得到等腰△ADE，同樣構造等腰△ABG，如下圖：

類似方法一，我們仍然可得∠BAG=180°-2α，因此這兩個等腰三角形相似，即△ADE∽△AGB；

由∠AGD=180°-α，∠DFE=180°-α，而∠ADE=α可知∠ADG=α-∠EDF，同時∠BFE=α可知∠DEF=α-∠EDF，所以∠ADE=∠DEF，可證△ADG∽△DEF；

這兩對相似三角形分別可得到比例式AD:DE=AG:DF和AD:AG=DE:GB，將后一個比例式變換得AD:DE=AG:GB，再對比兩個比例式，不難得到DF=GB，所以DF=2BC.

解題思考

本題解法并不唯二，還有更多很好的思路，不再重復，有興趣的老師們可自行嘗試，僅就這兩種解法分別說明思路如何得到.

這道題總體上來講并不難，題目中的線索有一條很重要，那就是旋轉角180°-2α，我們在研究等腰三角形內角關系的時候，就有過一個結論：頂角=180°-2×底角，這意味著∠ABC=α極有可能使它成為一個等腰三角形的底角，這便是方法一和二的由來，構造等腰△ABG，在此之后，兩條路擺在面前了，基于等腰△ABG，我們可以從旋轉角出發構造“手拉手”模型，連接BE走全等之路，或連接DE走相似之路，題目設置得很巧，這兩條路都走得通.

但是找準思路之后并不代表一路順風，方法一中的等腰△BEF和方法二中的△ADG∽△DEF，便是學生可能遇到的障礙，這需要綜合考量題目中給出的條件和已有結論，此時AB∥EF的作用就凸顯出來了，平行線的作用，我們在七年級的時候就說過，它是角的搬運工，只要目標明確，搬運起來并不費事.

為什么方法一中我們需要等腰△BEF？因為我們要探尋的DF與BC間的數量關系并沒有隨著全等三角形完成關聯，同樣在方法二中相似三角形不出現，依然沒有建立起線段DF與BC間的數量關系，而在幾何題中，構造全等或相似三角形，正是建立線段間數量關系的通法.我們在八年級教學生各種全等三角形的性質和判定，九年級教學生相似三角形的性質和判定之后，有沒有幫助學生在腦子里形成知識網絡，這道題可以很有效的區分出來，實際答題中，確實也存在學生套用模型得到了全等或相似，但在后續探索中沒能成功建立起關系，原因無它，當年學習偷的懶，總會還.