導語

你知道嗎？費根保姆常數可以由重整化群計算，相變臨界點可以由重整化方法得出，深度神經網絡的多層計算就是在對圖像做重整化。重整化群是考察不同尺度下物理規律變化的數學工具，幫助我們理解系統在大范圍內或臨界點附近的行為。集智學園聯合北京郵電大學蘭岳恒教授開設「重整化群分析在非線性物理中的應用」系列課程，系統講述重整化群這一理論框架，怎樣用來分析高維非線性系統的性質，實現方程的求解與約化。

本系列課程將回答如下問題：

• 從有限的觀測提取一般性規律建模的原則和常見框架是什么？

• 怎樣寫出系統重要結構和運動模式的近似解析表達式？

• 怎樣將對稱性、不變性、基本范式等先驗知識放到系統解析描述中？

• 怎樣建立系統不同層級動力學間聯系的方程？

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引入

在復雜系統研究中，有許多重要的基本問題，例如如何研究非線性系統的動力學特征、重要結構和運動模式，以及如何研究跨尺度問題等，我們都需要有一套系統的分析方法。

在2024年12月-2025年1月，我們邀請了北京郵電大學蘭岳恒教授開設了《》系列課程，詳細講解了分析非線性系統動力學的一套方法——Koopman算符，如何將一個非線性問題轉化為無窮維函數空間中的線性問題，并應用于非線性動力學、符號動力學、Kuramoto 模型、哈密頓動力學以及氣候動力學等不同科目或系統。

時隔半年，我們再次邀請蘭岳恒教授開設《重整化群分析在非線性物理中的應用》系列課程，來系統講解重整群（renormalization group，簡稱RG）理論，這個在跨尺度問題研究中行之有效的系統分析方法。

重整化群

從原子到生命到浩瀚宇宙，從生物學到物理學中許多現象涉及廣闊的尺度。在理論物理中，重整化群是一個考察不同尺度下考察物理規律變化的數學工具，它和“標度不變性”和“共形不變性”關系緊密，都與自相似有關。在傳統的重整化理論中，系統在某一個標度上自相似于一個更小的標度，但描述它們組成的參量和變量均不相同，需要“重整”。系統的組成可以是原子、基本粒子、自旋等，系統的變量演化通過系統組成之間的相互作用來描述。

最初，重整化是一種數學技術用來處理物理學中出現的“無窮大”問題。舉個例子，在觀察電子時，如果從遠處看，它的電荷是有限的，因為電子被一個“虛擬正電荷云”包裹著。但如果靠近電子，這種正電荷云的屏蔽效應會逐漸減弱，最終暴露出電子的更大電荷。重整化的關鍵在于，它通過數學手段將這種無窮大“隱藏”起來，并將實驗測量到的有限電荷作為理論的有效值。這個過程雖然看似是“障眼法”，但它的正確性后來得到了更深層次的物理解釋。

1954年，物理學家默里·蓋爾曼和弗朗西斯·洛首次將重整化與“尺度”聯系起來，提出了“有效電荷”的概念：電子的電荷并不是固定的，而是隨著觀察尺度的變化而變化。這一發現表明，重整化不僅僅是處理無窮大的數學技巧，更是一種描述自然界如何在不同尺度上運行的物理語言。在1971年，蓋爾曼的學生肯·威爾遜第一次描述的“重整化群”，將微觀與宏觀的聯系系統化。

重整化揭示了自然界的一個深刻規律：不同尺度上的物理現象可以相對獨立，僅僅通過參數來聯系。換句話說，研究宏觀現象時，我們可以忽略微觀層面的復雜細節，微觀的影響體現在宏觀理論的參數值上；而研究微觀現象時，也無需考慮宏觀的所有狀態，宏觀的影響體現在微觀個體的環境變量上。這種“尺度分離”的思想成為現代物理學的核心理念之一。

重整化群中的關鍵思想

重整化操作是在一個更大的長度尺度上對微觀自由度做平均，為了保持關心的物理性質不變，參數需要從精細尺度到粗糙尺度做相應的變換，從而形成一種參數（變量）變換的群結構-重整化群。反復應用這種粗粒化過程會產生所謂的參數流。這個流具有不動點，也就是在重整化下保持不變的特殊值。這些參數對應于該系統遵循的普適標度律的臨界點，具有相同標度律的系統被認為屬于同一個普適類。

粗粒化示意圖：以Ising模型為例

重整化群產生的參數流示意圖

重整化群理論中的另一個關鍵思想是臨界維數的存在。超過這個維數，與平均場理論相對應的不動點是穩定的，這意味著它正確地捕捉到了臨界行為。對于較低的維度，可以通過微擾求解重整化群方程來得到階的標度指數，從而找到臨界行為的近似值 。

重整化群讓我們能夠專注于不同尺度上的關鍵變量，而忽略不重要的細節。這種“簡化”能力是科學研究得以推進的重要原因。重整化群理論在快速發展中，正在與機器學習、復雜網絡、非線性物理等不同領域結合。

本系列課程《重整化群分析在非線性物理中的應用》主要回答如何設計重整化策略來分析高維非線性系統的性質，實現方程的求解與約化，為分析計算復雜系統中的跨尺度問題提供有力工具。

課程主題：

重整化群分析在非線性物理中的應用

課程簡介

• 從有限的觀測提取一般性規律建模的原則和常見框架是什么？

• 怎樣寫出系統重要結構和運動模式的近似解析表達式？

• 怎樣將對稱性、不變性、基本范式等先驗知識放到系統解析描述中？

• 怎樣建立系統不同層級動力學間聯系的方程？

這些都是復雜系統研究需要考慮的基本問題，重整化群分析能夠提供一套行之有效的系統分析方法。

復雜系統研究已經成為各學科需要共同面對的問題。其多自由度、高非線性、非平衡特性決定了多層次結構和自組織動力學的涌現，體現對外部激勵呈現復雜的適應性。怎樣從基本原理發掘特定系統的基本特性，理解其行為和設計合適的調控方案，是信息智能時代人們關注的核心問題之一。本次課程計劃系統講述重整化群這一理論框架，怎樣用來分析高維非線性系統的性質，實現方程的求解與約化。

重整化群方法始于場論，在凝聚態相變中進一步發展，用于處理體系中出現的各種奇異性。經Widom，Kadanoff和Wilson等人的拓展，成為了聯系不同尺度下物理規律的有力工具。在復雜系統研究中，更是可以幫助我們進行狀態粗粒化并導出粗粒化后的方程；也可以用來解析或數值計算非線性動力系統中重要的軌道。考慮到重整化群也是統計物理中的重要方法，結合此處在動力學分析中的應用，它已經成為聯接動力學和統計方法的橋梁和有力工具。

本講座中，從復雜系統建模的方式出發，講述對稱性、不變性與變換群的關系，強調群結構的重要性，以及重整變換與常用數學物理方法的聯系。有了充分準備后，我們將系統闡述重整化群在非線性動力學中的應用：怎樣用它來約化方程；怎樣用來搜尋重要軌道，包括周期軌道或連接軌道；怎樣與Koopman算符本征函數連接。我們希望，此方法可以拓展到真實的復雜系統研究中去。

課程大綱

課程主講人

蘭岳恒，北京郵電大學物理科學與技術學院教授，博士學位在佐治亞理工學院（Georgia Institute of Technology）獲得。先后在國內外多個著名大學學習和工作過，有豐富的學科交叉研究經歷。主要從事非線性科學、統計物理、生物物理、復雜信息和智能系統等方面的研究工作，注重基本理論方法的發展和與實驗緊密結合的應用。現為北京郵電大學“數學與信息網絡”教育部重點實驗室副主任，多次被邀請在國內外學術會議上報告自己的工作，同時擔任期刊“理論物理通信”（Communications in Theoretical Physics）和“現代數學物理”（Modern Mathematical Physics）的編委，也是多個國際著名雜志的審稿人。發表學術論文100余篇，包括國際頂級雜志PRL， PNAS， Nature子刊論文多篇。

課程詳情

第一課：復雜系統及其建模

復雜系統都是高維非線性體系，具有層級結構和涌現動力學，能夠學習和適應環境變化。研究復雜系統，首先要熟悉其定量描述方式以及各種刻畫方式的優勢和不足。動力學描述沿襲了經典物理中的力學分析，精確但方程難解；統計物理處理相互作用的多體體系，在簡單物理系統中取得了巨大成功，但在非平衡體系中碰到了巨大困難；網絡科學則是兩者的綜合、平衡和拓展，有著巨大生命力，但遠遠沒有達到完美。我們的理論究竟要解決什么問題，怎樣解決，需要具備哪些特征？如何直面現實世界的復雜性來建立合適的模型？這里我們拋磚引玉，希望能引起各位的思考與共鳴。

1. 復雜系統及其特征

2. 動力學系統與相空間

3. 統計物理思想

4. 網絡科學的興起

第二課：對稱性、不變結構與變換群

對稱性與守恒律是現代物理中的重要概念，貫穿于物理研究中的各個領域。除了常見的三種連續對稱性之外，我們強調尺度不變性及其相關的Pai定理，這是傳統重整化群運作的基石。在非線性動力學中對稱性也極其重要，連續對稱能夠降低系統維度獲得解析解，離散對稱能夠幫助我們約簡計算、判斷特殊軌道的存在。這樣我們就過渡到對稱性和不變性的一般描述——群論。這里主要強調群的封閉性，以及同構、同態的概念，可以與復雜系統信息的整合、分解、變換和約化聯系起來。

1. 物理中的對稱性與守恒律

2. 非線性動力學中的不變性與對稱性

3. 群論初步

第三課：重整化初步

理論模型都是對真實物理世界的簡化描述，重整的技術實際上在建模中隨處可見。這里我們舉幾個常見的模型重整與約化的例子。更加系統地，物理中的平均場方法實際上就是一個常見但并不平凡的例子；而解微分方程中的常數變異法聯系了重整與坐標變換。統計物理中自旋模型重整化，則是重整化群萌芽的經典模型，包含了諸多重要概念。我們也會指出其中比較隱蔽的假設，厘清重整化群和相變的關系，指出重整化群實際上可以推廣到一般對稱操作。

1. 幾個常見模型中的重整與約化

2. 平均場帶來的約化

3. 常數變異法

4. 自旋模型中的重整化

第四課：非線性動力學的重整化群分析

重整化群思想的核心還是群的概念，用其進行常見的相變研究只是一個廣為人知的應用，而在動力學中的應用則是另一個正在成長的領域。在這里，群的應用主要與約化和不變性相聯系。所以我們首先講述與動力學約化緊密相關的子流形的概念，這也是當前研究機器學習原理重點關注的對象。從系統包含參數的近似解中，我們可以得到重整化群方程，它脫胎于近似解，但很多時候成立的范圍大大超出，因為它融入了群不變的性質。實際上，重整化群分析在很大程度上囊括了漸進分析的很多分支，量子力學中的WKB近似就是一例。

1. 粗粒化與子流形

2. 重整化群方程

3. 重整化群分析與漸進分析

第五課：重整化群確定非線性體系的重要軌道

一個重要的應用就是確定非線性系統中的重要軌道，獲得其近似解析表達式。一個例子就是連接軌道，它能夠連接兩個不同穩態的狀態轉移軌道，也可以是分割不同吸引域的邊界，還可以是觸發復雜行為的起始點。另一個例子就是周期軌道，無論在守恒系統還是在耗散系統中，都起著極其重要的作用。這里，我們可以用統一的方法，基于重整化群方程獲得軌道的近似表達式，以及周期對振幅的依賴關系，在很大程度上免去了多尺度分析帶來的繁雜計算。即使對非線性很強的系統、在很大的相空間區域，這里的計算都可以很快收斂到正確的值。

1. 連接軌道

2. 周期軌道

第六課：重整化群分析的更多應用

重整化群分析不僅能夠計算方程的近似解，也能夠得到精確解。即使是較為復雜的多孤子解，也可以方便得到。這里把群的不變性質用到解的形式不變上面，將復雜非線性問題轉化為線性問題或低維非線性問題，大大降低了求解難度。將方程約化到狀態空間的子流形上，則是RG分析的應有之用。這里舉的例子是描述空間延伸系統的非線性偏微分方程，RG分析可以用更少的自由度達到相同的計算精度，大大提高了計算效率。為復雜非線性系統，例如流體計算、等離子體計算等等提供了一個可以期待的手段。當然，RG分析還有很多未明之端，期待各位同仁共同努力，讓這一經典工具煥發新的活力。

1. 精確解

2. 無窮維系統子流形上的約化

3. 系列課程總結

課程信息

課程適用對象

1. 理工科領域研究者及高年級學生

a. 對復雜系統、非線性動力學、統計物理、重整化群等方向有興趣的研究人員、理工科研究生或高年級本科生；

b. 具備基礎微積分、線性代數、常微分方程等數學基礎，以及一定的計算能力；

c. 有志于多學科交叉、希望將理論工具應用于物理、工程、信息、生命等復雜系統的研究者。

2. 具有探究精神和創新意識的學習者

a. 喜歡提出問題、參與討論、推導假設并反思復雜系統本質的學生；

b. 對系統建模、行為理解、規律提取和調控設計等實際問題有濃厚興趣的學者。

學完將收獲

1. 復雜系統建模能力：掌握從有限觀測提取規律的建模原則，理解復雜系統的高維非線性及自組織動力學特性，學習設計合適模型和調控方案。

2. 重整化群（RG）理論掌握：深入學習RG框架，理解其在相變及非線性動力學中的應用，掌握狀態粗粒化和方程約化的方法。

3. 對稱性與不變性分析：學會利用對稱性、守恒律和變換群降低系統維度，獲得解析解或約簡計算。

4. 非線性動力學應用：掌握RG方法約化方程及搜索重要軌道（如周期軌道），通過RG方程簡化多尺度分析計算。

5. 層級動力學聯系：學習建立系統不同層級動力學聯系方程，應用粗粒化、子流形概念于實際問題。

6. 計算效率提升：掌握RG分析獲取精確解及轉化復雜問題的技巧，提升計算效率。

7. 跨學科視野：結合統計物理、動力學系統及網絡科學，培養解決復雜問題的綜合能力。

1. 課程形式：騰訊會議直播，集智學園網站錄播。本系列課程不安排免費直播。

2. 課程周期：2025年7月26日-2025年8月30日，每周六14點-16點進行。

3. 課程定價：原價599，早鳥價479，早鳥優惠截止到2025年7月27日中午12點。

掃碼付費報名課程課程鏈接：https://campus.swarma.org/course/5563?from=wechat

付費流程：

2. 課程頁面添加學員登記表，添加助教微信入群；

3. 課程可開發票。

課程獎學金機制

1. 途徑一：發布高質量課程筆記

在集智斑圖網站（pattern.swarma.org）完成本課程體系下某個方向的總結文章或學習路徑。經集智學園助教團隊評定認可后，可作為一條貢獻。一條貢獻獎勵200元獎學金，質量優異的內容，會有浮動獎勵。可參考：

2. 途徑二：招募課程助理1名

付費報名課程后，聯系助教微信申請課程助理。經溝通，成為正式課程助理，完成課程助理任務，在課程結束后退全額學費。

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2. 課程周期：2024年12月21日-2025年1月25日

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