涵蓋近年高考高頻考點、解題模板及易錯點，幫助考生高效突破壓軸題：

一、平行與垂直證明（占比30%）

1. 線面平行

核心方法：

• 中位線法：構造三角形中位線
• 平行四邊形法：找對邊平行關系
• 面面平行性質：α∥β ? a?α ? a∥β
  例題

四棱錐P-ABCD中，M為PC中點，AB∥CD，AB=2CD。求證：PA∥平面MBD。
關鍵：取PB中點N，證四邊形AMND為平行四邊形。

2. 面面垂直

核心定理：線面垂直 ? 面面垂直（a⊥β, a?α ? α⊥β）
例題：

三棱柱ABC-A?B?C?中，AA?⊥平面ABC，∠BAC=90°。求證：平面A?BC⊥平面BB?C?C。
關鍵：證BC⊥平面AA?C?C（需用線線垂直傳遞）。

二、空間角的計算（占比25%）

3. 異面直線夾角

步驟：

1. 平移構造三角形
2. 用余弦定理：cos?θ=∣m?n∣∣m∣∣n∣cos=∣m∣∣n∣∣mn∣（向量法）
   易錯點：忽略角度范圍（0°,90°]

4. 線面角

公式：sin?θ=∣n?d∣∣n∣∣d∣sinθ=∣n∣∣d∣∣n?d∣（d為方向向量，n為法向量）
例題：

正方體ABCD-A?B?C?D?中，求BD?與平面ABCD所成角的正弦值。
答案：6336（構造直角三角形計算）。

5. 二面角

兩種方法：

• 幾何法：作棱的垂線得平面角
• 向量法：cos?θ=∣n1?n2∣∣n1∣∣n2∣cos=∣n1∣∣n2∣∣n1?n2∣（注意銳角/鈍角判斷）
  關鍵：二面角需觀察是銳角還是鈍角！

三、空間距離的計算（占比15%）

6. 點到平面距離

萬能公式：d=∣Ax0+By0+Cz0+D∣A2+B2+C2d=A2+B2+C2∣Ax0+By0+Cz0+D∣（平面方程）
向量法：d=∣AP→?n∣∣n∣d=∣n∣∣AP?n∣（A為平面上點）

7. 異面直線距離

步驟：

1. 找公垂線段
2. 向量法：d=∣AB→?(m×n)∣∣m×n∣=∣mn∣∣AB?(mn)∣（m,n為方向向量）

四、截面與軌跡問題（占比10%）

8. 截面問題

關鍵：找交線端點（用線面交點或面面交線）
例題：

正方體棱長為2，過A、C?及棱BB?中點作截面，求截面周長。
答案：25+2225+22（梯形截面）。

9. 動點軌跡

方法：

• 軌跡為線段：利用面面平行或線線平行
• 軌跡為圓弧：利用定角定長
  ：P在正方體面BCC?B?內運動，滿足AP⊥BD?，求P軌跡（答案：線段）。

五、翻折與展開問題（占比12%）

10. 平面圖形翻折

解題模板：

1. 標未變量（如∠ABC翻折后不變）
2. 找垂直關系（常用三垂線定理）
3. 解三角形求邊長
   易錯：翻折后角度關系改變！

例題：

矩形ABCD中，AB=3, BC=4，沿對角線BD翻折成120°二面角。求翻折后AC距離。
答案：32177321（構造空間坐標系計算）。

六、球與多面體（占比8%）

11. 多面體外接球

四大模型速解：

例題：

三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，AB=3, BC=4, PA=5。求外接球半徑。
解析：補形為長方體 → 2R=32+42+52=522R=32+42+52=52 → R=522R=252。

??七、高頻易錯點突破

八、解題技巧工具箱

1. 補形法：將不規則體補成正方體/長方體
2. 等積法：VA?BCD=VC?ABDVABCDVCABD轉化求高
3. 空間余弦定理：求二面角平面角（cos?θ=S1S2cosS2S1）
4. 最小角定理：cos?θ=cos?θ1?cos?θ2cos=cos1?cos2（線面角與射影角關系）

經典例題實戰（新高考真題變式）：
如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2。(1) 求證：BD⊥PC；(2) 求二面角A-PC-D的余弦值。解析：(1) 連AC交BD于O，證BD⊥平面PAC（利用菱形對角線垂直）(2) 向量法：以O為原點建系 → 求平面APC、DPC法向量 → cos?θ=∣n1?n2∣∣n1∣∣n2∣cosθ=∣n1∣∣n2∣∣n1?n2∣答案：(1) 略；(2) ?64?46（鈍二面角）

命題趨勢

1. 動態問題增多：動點軌跡、翻折展開
2. 結構創新：非直棱柱（如五面體）、球截面最值
3. 綜合化：與解析幾何（如空間直角坐標系）、導數（最值問題）結合

沖刺建議：重點掌握向量法通解步驟（建系→坐標→法向量→公式），強化翻折問題與外接球四大模型訓練，確保大題滿分！