一、題目

如圖,在RT△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=6，點D是BC的中點，點E是AC上的一點，連接DE.若DA平分∠BDE，則DE的長為_______.

二、分析與解答

解法一：垂兩邊+平行平分構等腰+勾股定理+8字相似

過點A作AF//BC，交DE延長線于點F，過點A作AG⊥EF于點G

∵△ABD≌△AGD ∴AB=AG=4，DB=DG=3

由平行平分構等腰，可得 AF=DF

設AF=x，則GF=x-3

在RT△AGF中，由勾股定理，得

4^2+(x-3)^2=x^2 解得 x=25/6

∵△AEF∽△CED，

∴EF:ED=AF:CD=25/6:3=25:18

∴DE=18/43DF=18/43×25/6=75/43

解法二：垂兩邊+平行平分構等腰+勾股定理+A字相似

過點A作AG⊥DE，交DE延長線于點G，過點E作EF//BC，交AD于點F

∵△ABD≌△AGD ∴AB=AG=4，DB=DG=3

易證DE=EF，設DE=EF=x，則EG=3-x

∵△AEF∽△ACD ∴EF/CD=AE/AC

即 x/3=AE/(2√13) AE=2√13x/3

在RT△AEF中，由勾股定理得

4^2+(3-x)^2=(2√13x/3)^2

解得 x=75/43 ∴AE=75/43

解法三：平行平分構等腰+三線合一+8字相似

過點A作AF//BC，交DE延長線于點F，過點F作FG⊥AD于點G

易證AF=DF

由三線合一，得 AG=DG=5/2

∵cos∠FDG=3/5 ∴AF=DF=5/3DG=25/6

∵△AEF∽△CED，

∴EF:ED=AF:CD=25/6:3=25:18

∴DE=18/43DF=18/43×25/6=75/43

解法四：平行平分構等腰+三線合一+A字相似

過點E作EF//AD，交DC于點F，過點D作DG⊥EF于點G

設EG=FG=3m，則DE=DF=5m，CF=3-5m

∵△CEF∽△CAD ∴6m/5=(3-5m)/3

解得 m=15/43 ∴DE=5m=75/43

解法五：平行平分構等腰+勾股定理+A字相似

由平行平分構等腰，得AF=DF

設AF=DF=x，則BF=3-x

在RT△ABF中，由勾股定理得

4^2+(3-x)^2=x^2 解得 x=25/6

∴AF=25/6，CF=43/6

∵△CED∽△CAF

∴DE:25/6=3:43/6

∴DE=75/43

解法六：解三角形、三角函數

DE在△ADE中，AD=5，tan∠ADE=4/3，只要求出tan∠DAE，就能求出DE

過點D作DF⊥AC于點F，過點E作EG⊥AD于點G

由勾股定理得 AC=2√13

∵△CDF∽△CAB

∴DF/4=CF/6=3/(2√13)

∴CF=9√13/13，DF=6√13/13，AF=2√13-9√13/13=17√13/13

∴tan∠DAE=DF/AF=6/17

設EG=12m，則DG=9m，DE=15m，AG=34m

AD=43m=5，m=5/43

∴DE=15m=75/43

三、小結

1、求線段長常見方法：勾股、相似、三角函數，在本題的多種方法中都用到過

2、角平分線最常用的輔助線是垂兩邊和平行平分構等腰，后者可以是平行于角的邊（如解法一、二、三、五），也可以是平行于角平分線（解法四）

3、三角函數（解三角形）也是一種常見的求線段長的方法，除了直角三角形外，最常見的情形是已知兩角的正切值和夾邊的長，這也是三角函數題中一種常見的模型.