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含有等腰三角形和直角三角形的求弦長問題

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一、題目

如圖,已知△ABC,AC=BC,以AC為直徑作圓O交AB于點D,交BC于點E,連接DE.CF是圓O的切線,BF⊥CF于點F,若BF=3,CF=4,則DE的長為________.


二、分析

1、分析主要條件,拓展已知條件

直接給出的有等腰三角形、直角三角形,由等腰三角形容易想到等腰三角形的重要性質——三線合一,由直徑可以聯想到直角三角形,連接AE、CD即可得到兩個直角三角形,由等腰三角形的三線合一可得點D是AB中點,由勾股定理可得BC長,至此問題已基本理清.

2、明確問題類型,細化解題方向

本題屬于求線段長的問題,常用勾股或相似.現已推導出中點,由中點容易想到兩個基本方向:①構造中位線;②構造直角三角形斜邊上的中線.DE正好是RT△ABE斜邊上的中線,只要能求出AB的長,就可以得到DE的長.

分析至此,求DE的長是比較容易的,有兩種方法:①利用相似和勾股求解;②構造矩形,利用矩形和勾股求解.

三、解答

如圖,連接AE、CD


在RT△BCF中,由勾股定理,得

BC=√(BF^2+CF^2)=5

∴AC=BC=5

∵AC是圓O的直徑

∴∠ADC=∠AEC=90°

∴AD=BD,∠AEB=180°-∠AEC=90°

∴DE=1/2AB

接下來求AB,分兩種方法:

1、利用相似和勾股求AB長(全等是特殊的相似)

∵CF是圓O的切線

∴∠ACF=90°

易證△CBF≌△ACE

∴AE=CF=4,CE=BF=3

∴BE=BC-CE=2

在RT△ABE中,由勾股定理,得

AB=√(BE^2+AE^2)=2√5

∴DE=1/2AB=√5

2、構造矩形,利用矩形和勾股求AB長

如圖,過點B作BG⊥AC于點G


易證四邊形BFCG為矩形

∴BG=CF=4,CG=BF=3

∴AG=AC-CG=5-3=2

在RT△ABG中,由勾股定理,得

AB=√(BG^2+AG^2)=2√5

∴DE=1/2AB=√5.

四、小結

1、求線段長,勾股或相似;

2、遇直徑,構造直角三角形;

3、遇中點,構造中位線或直角三角形斜邊上中線.

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