中國
一、題目
如圖，已知△ABC，AC=BC，以AC為直徑作圓O交AB于點D，交BC于點E，連接DE.CF是圓O的切線，BF⊥CF于點F，若BF=3，CF=4，則DE的長為________.
二、分析
1、分析主要條件，拓展已知條件
直接給出的有等腰三角形、直角三角形，由等腰三角形容易想到等腰三角形的重要性質——三線合一，由直徑可以聯想到直角三角形，連接AE、CD即可得到兩個直角三角形，由等腰三角形的三線合一可得點D是AB中點，由勾股定理可得BC長，至此問題已基本理清.
2、明確問題類型，細化解題方向
本題屬于求線段長的問題，常用勾股或相似.現已推導出中點，由中點容易想到兩個基本方向：①構造中位線；②構造直角三角形斜邊上的中線.DE正好是RT△ABE斜邊上的中線，只要能求出AB的長，就可以得到DE的長.
分析至此，求DE的長是比較容易的，有兩種方法：①利用相似和勾股求解；②構造矩形，利用矩形和勾股求解.
三、解答
如圖，連接AE、CD
在RT△BCF中，由勾股定理，得
BC=√(BF^2+CF^2)=5
∴AC=BC=5
∵AC是圓O的直徑
∴∠ADC=∠AEC=90°
∴AD=BD，∠AEB=180°-∠AEC=90°
∴DE=1/2AB
接下來求AB，分兩種方法：
1、利用相似和勾股求AB長（全等是特殊的相似）
∵CF是圓O的切線
∴∠ACF=90°
易證△CBF≌△ACE
∴AE=CF=4，CE=BF=3
∴BE=BC-CE=2
在RT△ABE中，由勾股定理，得
AB=√(BE^2+AE^2)=2√5
∴DE=1/2AB=√5
2、構造矩形，利用矩形和勾股求AB長
如圖，過點B作BG⊥AC于點G
易證四邊形BFCG為矩形
∴BG=CF=4，CG=BF=3
∴AG=AC-CG=5-3=2
在RT△ABG中，由勾股定理，得
AB=√(BG^2+AG^2)=2√5
∴DE=1/2AB=√5.
四、小結
1、求線段長，勾股或相似；
2、遇直徑，構造直角三角形；
3、遇中點，構造中位線或直角三角形斜邊上中線.
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