精彩點評一

2022年江蘇蘇州中考數(shù)學第27題，此題是關(guān)于三角形的綜合題。主要考查角平分線的定義，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義等知識。由面積比轉(zhuǎn)化為線段比，再尋找相似三角形從而求出線段的長度是此題解題的關(guān)鍵，有一定的難度。聆聽了劉老師關(guān)于此題的講解，她的語言簡潔明了，思路清晰，層層深入，結(jié)合自己的教學實際給大家展示了如何在平時的教學中培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的思想。下面結(jié)合此節(jié)課，談一下我的感悟：

一、破解表象，認識問題本源

本題雖說是蘇州市中考數(shù)學最后的一個題，學生都以為難度很大，實際深入后發(fā)現(xiàn)并不難。如果學生能夠迅速抓住問題的本源，破解表象，一切問題便會迎刃而解。題中第一問只要學生充分挖掘條件，找到邊角之間的一些聯(lián)系，利用角平分線和平行線很快能找到答案。題中隱藏了一個基本圖形便是反Ａ型相似，學生只要認真觀察便能找到問題解決的辦法。第二問探究AB/AD?BE/DE是否為定值，看起來復雜，但只要在第一小問的基礎上找到四條邊之間的關(guān)系，也能很快答案。學生可能感到困難的地方是第三問的變式，條件由內(nèi)角變外角，由三角形面積之間的復雜關(guān)系求cos∠CBD，學生思維上沒有跟著跳躍的話，可能會一時如“丈二和尚摸不著頭腦”，只要學生能認識到面積比轉(zhuǎn)化為線段關(guān)系，求三角函數(shù)放在直角三角形中，從這一復雜的問題挖掘知識的本源，就能很快把握解題的命脈，找到解題的策略和方法。在我們平時的教學中只要老師多加引導，深入淺出地把問題分解成簡潔有效的基本知識，學生在這種活動經(jīng)驗的積累下，便能逐漸形成自己的難題分解思維徑，更快的提升解決問題的能力。

二、抽絲剝繭，透過現(xiàn)象看本質(zhì)

著名數(shù)學家費賴登塔爾說：“與其說讓學生學習數(shù)學，不如說讓學生學習數(shù)學化”。學生學習數(shù)學的終極目標是形成自己的數(shù)學思想和方法，學會數(shù)學的眼光去看待事物，學會用數(shù)學的方法去解決問題。而我們平時教學過程中的基本概念、基本性質(zhì)定理、基本運算法則和基本圖形便是復雜數(shù)學　問題的生長點。在對一個復雜問題的解剖中，數(shù)學教師要學會通過抽絲剝繭引導學生分析問題的本質(zhì)，結(jié)合教材本源進行全方位、多角度的分析研究，幫助學生透過復雜圖形看清問題的本質(zhì)。劉老師在講第三問時，分別引導學生從面積出發(fā)思考和從角平分線為出發(fā)點思考，將面積的比轉(zhuǎn)化為線段的比，進而找到與∠CBD相關(guān)的線段的關(guān)系，進而通過構(gòu)造直角三角形，從而求出∠CBD的三角函數(shù)值。她還充分利用角平分線是軸對稱圖形的特征從整體建構(gòu)的思想大膽構(gòu)造菱形，將求∠CBD的余弦值轉(zhuǎn)化為求菱形的邊角關(guān)系。幾何綜合題之所以難，主要原因在于難以找到問題的突破口，通俗來講，就是不會下手。在平時的教學中教師要鼓勵學生大膽嘗試，通過逆向推導，從問題的結(jié)論入手，找到關(guān)聯(lián)，轉(zhuǎn)化問題，突破難點。

這一次研題前，我讓自己班上的學生先試了一下水，發(fā)現(xiàn)大部分學生只能做到第二問，第三問無人問津，這讓我深深感到教學的挫敗。為什么學生會出現(xiàn)這樣的問題？自己在那些方面還做的不夠？今后還需要怎樣去改進？劉老師結(jié)合自己的教學實際給我們展示了如何在平時的教學中緊扣課本，深耕教材，如何在教學時轉(zhuǎn)化問題，突破難點，讓我深受啟發(fā)，深感平時教學不夠深入，教學中還存在許多的不足。感謝宜昌市數(shù)學工作室為老師們搭建的研題平臺，感謝老師們辛苦的付出！

精彩點評二

認真學習了劉見知老師對2022年江蘇省蘇州市中考數(shù)學第27題的講解，收獲頗豐。本題是一道幾何壓軸題，它以三角形為基本圖形，融合角平分線、平行線，重點考查了三角形相似、角平分線性質(zhì)等初中階段核心知識。題干看似是相互獨立的兩問，實則是第一問的研究為第二問搭好了梯子，提示了探究的方向，很好地考查了學生的思維能力。通過聆聽劉老師的講解，我有如下體會：

一、注重常規(guī)常法的思路引導，關(guān)注學生的思維形成過程。劉老師在本題的解法探究過程中，非常注重解法思路的形成，善于挖掘題干中蘊含的特征條件，從常規(guī)常法的角度引導思考方向，這能在很大程度上幫助學生找到突破口。如第一小問的“平分+平行”條件聯(lián)想等腰三角形，由“公共角+等角”特征聯(lián)想A型相似，第二小問由“比例式相減”這一特征聯(lián)想轉(zhuǎn)化為同分母比例式或等比例轉(zhuǎn)化，最后一問由面積之間的關(guān)系聯(lián)想等底等高三角形中的線段比或?qū)⒚娣e比轉(zhuǎn)化為相似比的平方等。這些立足于常規(guī)常法的聯(lián)想不僅能讓學生迅速找到解題的突破口，也能在聯(lián)想的過程中將轉(zhuǎn)化思想根植在學生心中。

二、深挖教材資源，從題源處提煉解法。劉老師以這道壓軸題為載體，將題中模型追溯到教材中的相關(guān)章節(jié)，如A型相似中的常見結(jié)論，相似三角形中面積比轉(zhuǎn)化為線段比等。這樣的追根溯源在教學中意義重大：有的學生非常畏懼壓軸題，甚至沒有勇氣去讀題，但通過這樣的溯源、拆解與剖析，能讓學生真切地體會到中考題來源于課本，方法來自于課堂，能讓學生更加關(guān)注課堂學習中的點滴積累。而作為一名一線教師，在雙減背景下，更應該多思考如何通過精講精練的方式，在不增加學生負擔的前提下提升教學效率。我想精研課標、深挖教材、熟讀教參一定是一條“捷徑”，從培育核心素養(yǎng)的角度出發(fā)，認真研究教材中每道例題、習題的選題目的及教學價值，在課堂上通過數(shù)學活動，在設問、引導等方式的帶領(lǐng)下，讓學生在探究中享受思維碰撞的樂趣，相信這也是每一名教師的追求。

最后，再次感謝劉老師的精彩講解，感謝張欽博士搭建的研題平臺，讓老師們能夠以壓軸題為媒介深挖對題目的理解，對解法的理解，對學生的理解，對教材的理解，對教學的理解等，而這也必將讓學生受益。

精彩點評三

認真學習了劉老師對2022年江蘇蘇州中考數(shù)學第27題的研究。在聽課之前，我閱讀并完成了這道題，這是一道幾何綜合題目，本題是四邊形綜合題，考查了角平分線的定義，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵。這題里面的基本圖形很多，劉老師對于題目的方法和思維的研究都很透徹，從中我也學習到很多，主要有以下兩點：

一、緊扣課本，深挖教材：課本中的例題、習題、活動具有典型性和示范性，在中考復習中，應重視回歸課本。在平時的教學中，因為書本中一些例題難度不大，一些同學覺得過于簡單，導致書本內(nèi)容被忽視。實質(zhì)上書本的例題都蘊藏著重要的思想方法，這次研題中劉老師重點反思了“挖教材”這一點，結(jié)合本道題目以及平時教學中的實例（例如“證明三角形的內(nèi)角和為180°”等），證明書本是最好的學習資料。可以看出劉老師平時勤于研究教材并會做出相應拓展，在課堂耐心引導學生思考，非常注重培養(yǎng)學生的思維能力。這樣的引導不僅能持續(xù)激發(fā)學生對數(shù)學的興趣和信心，還能讓學生重視課本，對基礎知識和方法的掌握更加牢固。

二、轉(zhuǎn)化的思想方法：轉(zhuǎn)化的思想方法在數(shù)學中無處不在，是學生必須掌握的技能，但是學生聽起來會比較抽象，本題轉(zhuǎn)化的思想方法貫穿始終，劉老師在第（1）②中將具體長度轉(zhuǎn)化為一般的字母表示、用相等線段的轉(zhuǎn)化相似比中的線段；（2）中把面積之比轉(zhuǎn)化為相似比或者底之比，一直在強調(diào)轉(zhuǎn)化的思想，加深學生的印象，最后用完全平方和公式的推導和含有絕對值代數(shù)式的計算具體講解了轉(zhuǎn)化的思想，使這個聽起來抽象的方法具體清晰了。

對于壓軸題，學生普遍畏難，不愿嘗試，并且分層明顯。作為老師要想辦法發(fā)動學生積極思考動腦，像劉老師這樣，深入淺出，分步引導，抓住要點，點明方法，不僅可以讓大部分同學跟上學習步伐，也能讓一些能力強的學生掌握更多的方法，兼顧不同層次學生，值得老師們學習！

最后，感謝劉老師的精彩研題，給我們很多啟發(fā)，也感謝張欽博士及團隊提供的學習平臺，讓更多的老師分享出自己的經(jīng)驗供大家學習。

精彩點評四

初見劉老師講解的蘇州27題，內(nèi)心產(chǎn)生一個疑惑，題目設置了兩小問，但是通讀題目，覺得兩小問之間聯(lián)系并不緊密，更像是單獨的兩道題。出題人這樣設計是有何用意？這兩小問到底有沒有聯(lián)系？劉老師的講解不僅幫我解答了這個疑惑，由淺入深地講解方式也讓我收獲頗豐，在此我簡要分享以下幾點收獲。

一、劉老師在講解第二問前先對比第一問，分析兩小問的題干，總結(jié)出一變、一不變、一新增這三個關(guān)鍵點，這個思考問題的思路值得我們學習。記得剛參加工作時，有學生跟我分享了一段話，我至今印象深刻：沒有無緣無故的愛，沒有無緣無故的恨，更沒有無緣無故的第一小問。一道題中，第一小問通常起到橋梁作用，或是得出的結(jié)論對后續(xù)研究問題有幫助，或是后幾問可以延續(xù)第一問研究思路進行。劉老師通過分析題干的方式找到第二問和第一問的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)第二問中依然能得到兩個等腰三角形，第一問可以用相似、比例轉(zhuǎn)換、設元求解等方式，這些方法能否再第二問繼續(xù)使用呢？通過這樣的分析形成知識的正遷移，解題思路也就水到渠成了。

二、解題思路來源于日常教學，劉老師分享了幾個日常教學案例，幫助我明確了日常教學中如何引導學生深度思考。劉老師分享的案例中，深挖教材資源，從一個淺顯的問題著手，通過層層設問的方式幫學生搭梯子，一步步引導學生進行更深度的學習。新授課不是單純的教學生掌握一個知識點，更重要的是挖掘背后的數(shù)學思維，讓學生感受知識形成的過程或這樣做的道理。教材受篇幅的限制，內(nèi)容都是高度概括的，教師要具備深度挖掘教材背后內(nèi)容的能力。同時，教材中的習題也是很好的教學資源，很多壓軸題都能在課本練習中看到影子，教材中不僅有一些關(guān)于知識總結(jié)的習題，還有一些觀察和猜想、閱讀與思考等類型的習題。在講解這些教材習題時，教師引導學生一題多解的基礎之上，也可以采取一題多變的方法，甚至追問學生可以針對這道題還能提出怎樣的問題，逐步讓學生主動提出問題、分析問題、解決問題。

總之，通過這次學習，讓我受益匪淺，也深感責任之重。感謝張欽博士提供的好的學習平臺，感謝劉老師帶給我們的思維大餐。

精彩點評五

認真學習了宜昌市橘頌中學劉見知老師對2022年江蘇省蘇州市中考數(shù)學第27題的研究，劉老師對解法的探究充分，反思的內(nèi)容深刻，語言的表達精準，酣暢淋漓，讓我受益很多。

本題作為幾何綜合題，整個試題的設計完整，探究意味很濃。通過角平分線和平行線的相關(guān)性質(zhì)轉(zhuǎn)化角的相等關(guān)系，由此發(fā)現(xiàn)相似三角形，是解決本題的關(guān)鍵。劉老師在講解解法時一是非常重視對題干信息的分析，在第（1）小問中，“∠ACB=2∠B，CD平分∠ACB，DE//AC”，可以得到四個角相等，但題意卻是求邊的長度，因此結(jié)合圖形間的位置關(guān)系，由等角進一步發(fā)現(xiàn)子母型相似，體現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)換；第（2）小問，是對第（1）小問圖形性質(zhì)的再認識和進一步延申，劉老師注重條件分析，找到“一變、一不變、一新增”，由此我想到課堂上對于幾何綜合題的講解，其實很多時候?qū)W生解題困難，很大一部分原因可能是題意不明，對題干信息的整合能力有限，加上對知識間的邏輯關(guān)聯(lián)認識不夠，對解題帶來了很大的困擾。對照劉老師的研題，對我后期如何去講幾何綜合題，如何去啟發(fā)學生思想打開了思路。二是注重多法求解和變式練習，第（1）問的第②小問，求線段間的比值差是否為定值，對于線段比的轉(zhuǎn)化，教材中的要求不高，由第①小問中的若干對子母型相似，由數(shù)到式的代數(shù)推理即可得到一般結(jié)論，劉老師善于發(fā)現(xiàn)在推理過程中等邊轉(zhuǎn)換產(chǎn)生的“新結(jié)論”，并以“變式”的方式呈現(xiàn)給學生，能加深學生對轉(zhuǎn)化思想的認識，用意很深，在教后反思部分，劉老師以“緊扣課本，深耕教材”為主題，結(jié)合自己的教學實例（如三角形內(nèi)角和的探究），提到了“許多練習題的解法都不能暴露思維的全過程，但我們在系統(tǒng)全面地教學中，就應該引導學生仔細審題，抓住題目透露出來的關(guān)鍵點，啟發(fā)學生從不同的角度去聯(lián)想，多種思路解題“，對于這一點我很贊同，深有體會。三是注重對解題方法的提煉和總結(jié)，第（2）問題干給定了三角形面積之間的關(guān)系“S1×S3=6/19(S2)2”，那么，從面積出發(fā)可以關(guān)聯(lián)到哪些解題的方法呢？面積比可以轉(zhuǎn)化為相似比或?qū)牡?高的比，幫助學生建構(gòu)起數(shù)學知識與解題方法之間的聯(lián)系，對學生整體的認識圖形（如研究三角形，可以從與三角形有關(guān)的邊、角、周長、面積等維度去研究）作用很大。

通過學習，讓我受益匪淺，對我后期在幾何綜合題的教學上有很好的啟發(fā)作用，感謝劉老師的精彩講解，感謝張欽博士提供的好的學習平臺。

個人感言

2022年蘇州27題是一道以三角形為主旋律的幾何題，整體難度不大，學生較易上手。本題通過等角構(gòu)造相似三角形，以平行線為媒介，深入理解面積比，探究了三角形各邊之間的數(shù)量關(guān)系。在整個解題過程中，滲透了相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、分式的計算等基礎知識，考察了學生的邏輯推理、數(shù)學運算、直觀想象能力。

本題分為兩小問，沒有公共題干，與常見題略有區(qū)別，但細看可以發(fā)現(xiàn)有千絲萬縷的聯(lián)系，第一問的思路與第二問的思路有共通之處。第1題的第①問，根據(jù)角平行線+平行線的常規(guī)組合，發(fā)現(xiàn)題目中的等腰三角形，根據(jù)角相等，聯(lián)想多組三角形的相似，從而解決問題。第②問將第①問的具體數(shù)據(jù)一般化，但本質(zhì)結(jié)論未發(fā)生變化，沿用之前思路，通過計算，可得結(jié)論。當然，如果從平行線入手，根據(jù)平行線分線段成比例，亦可完成比例式的轉(zhuǎn)化，且更為簡潔。第2題相對于第1題，有一變（內(nèi)角平分線變?yōu)榱送饨瞧椒志€），一不變（平行），一新增（面積關(guān)系），那么按照一般的思維，新增條件十分關(guān)鍵，而將面積關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段關(guān)系的常規(guī)思路就是兩個，一個是通過相似比進行轉(zhuǎn)化，另一個就是通過面積公式轉(zhuǎn)化為底或者高的比，此題按照兩種基本思路，均可得出需要的結(jié)果。當然也可以從角平分線入手，角平分線是軸對稱圖形，很多練習題都會考察角平分線的對稱性，或作垂線，得到垂線段相等，而垂線段極易與高聯(lián)系，從而完成證明；或在角的兩邊上截取相等線段，搭配平行，可以構(gòu)造菱形，通過菱形的對角線互相垂直，形成天然的直角三角形，一步到位，解決問題。

本次研題，我自己的感悟主要有兩點。一是無論題目如何變化，都離不開我們手中的課本。初中階段的練習題很多都是由教材的定義、定理、練習等延伸出來的，在書上我們都能找到這些題目的基本模型或者基本思路，這題里面的所有方法我們都能在課本上找到源頭。而用好課本，用活課本，就成了教師的基本功，雖然平時我也在努力做，但是距離目標還是有一定差距，所以在實踐中，更要多思、多想，挖掘知識點的內(nèi)在聯(lián)系，搭建內(nèi)容間的溝通橋梁，將隱藏在知識點下的數(shù)學素養(yǎng)顯露出來，讓知識的學習成為一個自然而然、循序漸進的過程。二是轉(zhuǎn)化的思維十分重要。轉(zhuǎn)化的思想滲透于中學數(shù)學的各個地方，證明幾何命題的常用方法——執(zhí)果索因的分析法與由因?qū)Ч木C合法，其實質(zhì)就是轉(zhuǎn)化。這一問題的解決中，有一個很關(guān)鍵的步驟就是轉(zhuǎn)化，比較顯而易見的是將面積條件轉(zhuǎn)化為線段條件為我們所用，而隱藏的轉(zhuǎn)化是可以將第一問的幾何問題直接轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決。相對于幾何問題中的各種證明，對于學生而言，計算是他們更樂于做、更擅于做的事情，那么如果一個復雜的幾何問題，可以轉(zhuǎn)為代數(shù)問題，通過計算來解決，我相信對于大多數(shù)學生是樂意的，而幾何代數(shù)之間的轉(zhuǎn)變即可以理解為數(shù)形結(jié)合。幾何轉(zhuǎn)化為代數(shù)很多時候都是基于圖形本身的方正，借助了平面直角坐標系，完成計算，也就是解析幾何，也有少部分可以通過圖形的內(nèi)在聯(lián)系，挖掘數(shù)量關(guān)系，完成計算。代數(shù)轉(zhuǎn)化為幾何很多時候都是來源于式子的內(nèi)涵，比如說求|x-2|+|x-1|的最小值，就是考慮的絕對值的定義，即距離，通過幾何的方法進行求解，更簡單且易于理解。在日常教學中，我也發(fā)現(xiàn)了學生對于圖形好像有很濃厚的興趣，用面積的方法來證明完全平方公式、勾股定理等，都學的津津有味，這一過程，也將幾何的直觀性發(fā)揮得淋漓盡致。

研題的過程艱辛但充實，在這個過程中，需要你不時地停下來回頭看，去思考、去總結(jié)、去發(fā)現(xiàn)、去探索，讓我看見了原來不曾看見的風景，學到了剖析題目看清本質(zhì)的能力，磨煉了有些浮躁不易靜心的性子，感悟良多，不再一一贅述。最后，再次感謝張欽博士提供的研題平臺，感謝西陵區(qū)數(shù)學教研員周靜老師提出的修改意見，感謝宜昌市橘頌中學周兵老師思路提點及數(shù)學組同仁的暖心鼓勵，感謝孫園園老師、黃毅老師等群內(nèi)專家們的精準指導，感謝郭凱月老師、胡春鋒老師、黃東琳老師、秦琴老師、蘇暢老師的精彩點評，學無止境，未來可期。

劉見知老師簡介

劉見知，廈門大學計算數(shù)學碩士，現(xiàn)任宜昌市橘頌中學數(shù)學老師及教研組長。教學中，善于鉆研，勤于思考，注重學生數(shù)學思維能力培養(yǎng)，注重學生自信心和興趣的培養(yǎng)，形成了自己一套獨特的教學方法，使學生熱愛數(shù)學，并學好數(shù)學。