探索直線存在唯一性

2023年武漢市九年級數學4月調考第24題

含參拋物線和含參直線產生的交點，是動態的，在運動過程中，這些交點會相互形成更多的線段、角、三角形等，這其中可能存在不變的量，尋訪這些量，是二次函數壓軸題的常見考法。解決此類問題，需要將圖上的點坐標、線段長度用含參數的代數式表示出來，再通過求解方程得到需要的解，在解方程過程中，不僅要關注解的數值，更要關注解的情況，而這，恰好是韋達定理用武之地。

題目

如圖，拋物線C1：y=x2+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C.

(1)直接寫出拋物線C1的解析式；

(2)如圖1，有一寬度為1的直尺平行于y軸，在點O，B之間平行移動，直尺兩長邊被線段BC和拋物線C1截得兩線段DE，FG，設點D的橫坐標為t，且0

(3)如圖2，將拋物線C1平移得到頂點為原點的拋物線C2，M是x軸正半軸上一動點，N(0，3).經過點M的直線PQ交拋物線C2于P，Q兩點.當點M運動到某一個位置時，存在唯一的一條直線PQ，使∠PNQ=90°，求點M的坐標.

解析：

01

(1)將點A，B坐標代入解析式中，求得b=-2，c=-3，所以y=x2-2x-3；

02

(2)寬度為1的直尺，這個情景說明直尺兩長邊上的點，橫坐標相差1，于是設D(t,t2-2t-3)，F(t+1,(t+1)2-2(t+1)-3)，由拋物線解析式得到C(0,-3)，從而求出直線BC解析式為y=x-3，表示出點E(t,t-3)，G(t+1,t+1-3)，然后分別表示出線段DE和FG的長度，DE=-t2+3t，FG=-t2+t+2，我們采用求差法比較它們的大小：

DE-FG=2t-2，當0FG；當1

03

(3)平移后的拋物線為y=x2，過點N作y軸的垂線，再分別過點P、Q作y軸的平行線，構造一線三直角模型，如下圖：

根據題目條件設點M(m,0)且m>0，直線PQ解析式為y=kx+b，代入點M坐標后，解得b=-mk，則解析式變為y=kx-mk；再設P(a,a2)，Q(b,b2)，它們是直線與拋物線的交點，所以聯立方程得kx-mk=x2且x=a和x=b恰好是它的兩個根，整理方程得x2-kx+mk=0，由韋達定理可得a+b=k，ab=mk；

回到圖中這對相似三角形，△PFN∽△NEQ，它的對應邊與點P、點Q的坐標相關，因此可列比例式為PF:NE=FN:EQ，其中PF=3-a2，EQ=3-b2，NE=-b，FN=a，推導如下：

在上式變形過程中，由于我們已知a+b和ab，因此需要“湊”這兩個式子，所以運用了配方思想，現在將a+b=k和ab=mk代入上式，得

9-3k2+7mk+m2k2=0

整理成關于k的方程為(m2-3)k2+7mk+9=0

這里需要說明一下，為什么要關于k的方程？

題目中“當點M運動到某一個位置時，存在唯一的一條直線PQ，使∠PNQ=90°”唯一性的描述是針對直線PQ，而直線PQ解析式為y=kx-mk，其中有兩個參數m和k，當M運動到某個位置時，m是確定的，只有k未知，所以存在唯一的一條直線PQ即指k是唯一確定的數值，所以方程是關于k的方程，并且只有唯一解；

若這個關于k的方程是一元二次方程，我們計算判別式△=49m2-36(m2-3)=13m2+108>0，說明k有兩個值滿足，直線PQ有兩條，使∠PNQ=90°；

若這個關于k的方程是一元一次方程，只需m2-3=0即可，而m>0，所以m=√3，點M坐標為(√3，0).

解題反思

本題的亮點在最后一問的考察方式，涉及到的知識點為一元一次方程的概念，一元二次方程的概念，方程的解(根)，根與系數的關系，相似三角形等，尤其是方程的概念；學生在學習這些概念的時候，經常會遇到老師列舉出一系列方程，讓學生判斷是否一元一次(二次)方程，這種考查方式比較單一，學生容易形成思維慣勢，若稍微改變一下題目角度，對于這種概念辨析效果會更好，這要求平時教師自創題，多角度多層面幫助學生深入理解數學概念，不能僅僅依靠幾本教輔資料去布置作業。

一線三直角模型在題目中并沒有刻意回避，命題非常大度，顯然本題中，這個模型并不是決定作用，只不過用它得到兩個坐標間的關聯，效率比較高。

二次函數壓軸題中，對數學概念理解要求比較高，尤其是唯一性、存在性等問題的探究，在《從優秀試題研究中領悟初中數學教學（上）》一書中，收錄了很多相關的例題，作為教師，在研究壓軸題的時候，更多的是研究如何把一道題目中蘊含的數學方法和數學思想教給學生，而不是對著參考答案念。

整道題難度分布合理，上手容易，逐級加深，最后落根于概念，這對平時課堂教學中，數學概念的教學必須更加重視，幫助學生理解概念，幫助學生深入理解，任務艱巨。