精彩點評一

2022年廣東省廣州市中考數學第25題是一道與幾何圖形面積問題有關的題。聽了王剛老師的課，受益頗多，對“一題多解促思維，一題多變提素養”以及新課標下的教學理念有了撥云見日的新認識。

王老師結合圖形分析，從基本方法出發，總結出求線段長的方法有以下幾種：運用勾股定理計算、運用圖形的特殊性質進行推理計算、運用三角函數計算、運三角形相似線段比例計算、建系運用兩點間距離公式計算。在第（2）問中E、F為動點，王老師從圖形角度來看，題目只有描述，沒有給出圖形，提醒要求學生自己規范畫圖是做對此題的關鍵；涉及動點問題時采用“動中取靜”的解題策略；引導學生解決問題。充分體現了學生為主體教師為主導的教學理念。在求不規則圖形的面積時王老師從基本方法入手，采用割補法、比例法、割補結合、比例法。在解決幾何最值問題從兩種方向突破，一是幾何變換（比如通過對稱、旋轉、平移、截取等方式構造相似進行推理）；二是代數計算（比如通過函數增減性求最值、通過不等式求最值等）。真正的體現了“一題多解促思維，一題多變提素養”的教學理念。

解題探究的過程就是一種觀察、嘗試、猜想、探索、實驗、論證、發現的過程，教師一定要帶領學生讀懂條件和結論，抓住題目中的條件特征、結論特征和圖形特征，從中尋找突破口。但作為教師，不僅僅是教會學生正確的答案和解題方法，更重要的是挖掘中考題的潛在功能和作用，提升教學能力。因此，在總結經驗、掌握通式和通法的基礎上，還要引導學生結合題目的特點一題多解、一題多變、一圖多變，拓寬思路，幫助學生在變式訓練中發展思維的靈活性與發散性。“解一題，會一類，通一片”，讓學生由此及彼，并感悟出同類問題的深層結構，使得學生下次再碰到類似問題時能快速找到切人點，順利貫通思路，提升解題能力的同時，發展數學洞察力，訓練思維的深度，讓一題多解、一題多變成就精彩，讓課堂高效起來。

再次感謝張欽博士提供的多元高效的學習平臺，感謝王老師帶給我們的思維“盛宴”。

精彩點評二

2022年廣東省廣州市中考數學第25題是一道以菱形為背景幾何綜合題，涉及到三角形、四邊形、相似三角形、勾股定理、三角函數、二次函數等相關知識，需應用數形結合、函數思想、轉化思想、類比等數學基本思想方法。聆聽了王剛老師的研題，受益頗多：圍繞真正的數學問題，開展有數學含金量的教學活動，促使學生在獨立思考的過程中形成數學的思維方式，發展數學素養：幾何直觀、模型思想、空間觀念、運算能力、推理能力等數學核心素養。

本題題目設計由基本圖形“菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝6”開始，設計（1）連結BD，求BD的長；（基礎性問題，學生輕松解答。激發學生挑戰心里和好奇心：下一問會解決什么問題？）設計（2）點E為線段BD上的一動點（不與點B、D重合），點F在邊AD上，且BE＝√3DF．①當CE⊥AB時，求四邊形ABEF的面積；

②當四邊形ABEF的面積取得最小值時，CE+√3CF的值是否也最小？如果是，求CE+√3CF的最小值；如果不是，請說明理由。問題開始爬緩坡（讀題畫圖）；第①題，特殊情況（CE⊥AB）時， 求四邊形ABEF的面積，這是爬陡坡；第②題，一般情況時， 求四邊形ABEF的面積最小值，這是爬坎；當四邊形ABEF的面積取得最小值時，CE+√3CF的值是否也最小？如果是，求CE+√3CF的最小值；如果不是，請說明理由，這是登上頂峰的峭壁 ，需付出艱辛的努力。

王剛老師解題探究：引導學生讀懂條件和結論，抓住題目中的條件特征、結論特征和圖形特征，從中尋找解題入點，由淺入深，循序漸進，水到渠成，完成解題，給人行云流水、非常通透的感覺。

1、解題思路分析：“從圖形角度來看”、“從基本方法來看”，從題目的已知條件和需解決問題兩方面分析，找到解決問題突破口和解題思路。在（1）求BD的長時，運用勾股定理、圖形的特殊性質、三角函數、三角形相似比、建系用兩點間距離公式多種方法求解，符合學生多角度思考問題的實際，同時也為后續解答打下基礎。

2、緊扣課標和教材，應用常規和常法，突破重難點。

在第（2）問中E、F為動點，題目只有描述，沒有給出圖形，王老師引導的思路分析非常到位：當CE⊥AB時規范畫圖是做對此題的關鍵；引導學生求不規則圖形的面積基本方法入手，采用割補法、比例法、割補結合。特別是應用和差法很容易突破此重點。

第（2）問中第②題在解決幾何最值問題時，王老師引導的思路分析非常精彩：本題需要分兩步解決兩個問題，第一步是求出S四ABEF的最小值，確定前提；第二步是求出CE+√3CF的最小值；然后對比二者是否匹配.

在求出S四ABEF的最小值時，設DF=n，則BE=√3n，DE=6√3?√3n，AF=6?n,把相關邊上高用含n的式子表示出來，再用含n的式子表示相關圖形面積，后根據圖形面積間數量關系得到二次函數，最后由二次函數的性質求出S四ABEF的最小值。

當四邊形ABEF的面積取得最小值時，CE+√3CF的值是否也最小？王老師引導的思路分析： 1.代數法：第一想法依然是利用二次函數性質求最值；2.幾何法：線段最值肯定繞不開“兩點之間，線段最短”，“點到直線，垂線段最短”這兩個基本定理，我們可以以此為突破口，打開思路；√3CF與BE=√3DF必有聯系，可構造√3倍相似。其中，代數法：設DF=n，根據勾股定理和三角函數或建坐標系用含n的式子表示CE+√3CF，得到函數解析式求最小值；幾何法:構造構造√3倍相似，利用兩點之間線段最短求最小值。

3、在“雙減”背景下，通過 “一題多解促思維，一題多變提素養”，以研題促高效的落實。

解題探究的過程就是一種觀察、嘗試、猜想、探索、實驗、論證、發現的過程，在總結經驗、掌握通式和通法的基礎上，還要引導學生結合題目的特點一題多解、一題多變、一圖多變，拓寬思路，幫助學生在變式訓練中進行歸納和類比，達到“解一題，會一類，通一片”的高效目的。

張博士說過：理解數學，理解學生，理解教學，理解技術。特別是，教師對“內容所反映的數學思想方法”的理解水平決定了教學所能達到的水平和效果。王剛老師對研究的題目高屋建瓴把握，對教材和課標深度挖掘，行云流水的講題，令人驚嘆！我再一次體會到：理解數學，理解學生，理解教學，理解技術是教師專業發展的基石。

再次感謝張欽博士提供的學習平臺，感謝王剛老師帶給我們的精彩分享！

精彩點評三

認真學習了王老師2022年廣東省廣州市中考數學第25題的研題，收獲頗多。本題是一道圖形與幾何領域、數與代數領域相結合的綜合性大題，圖形簡潔、題干精煉，但涉及到的知識廣、方法多，綜合性強。綜合考察菱形的性質、勾股定理、相似、三角函數、二次函數、幾何變換及最短路徑問題。綜合考察學生的運算能力、幾何推理意識、幾何直觀想象、數形結合思想及基本圖形轉化思想。

王老師結合題設條件展開理性推理，合理建立知識之間的邏輯關系，從而找到解題的出口，為我們做了非常好的示范。王老師的講解有以下四個方面值得我學習：
一、充分挖掘題干信息，厘清文字信息與圖形信息的聯系

總題干：在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝6，連結BD。結合文字信息與圖形信息，三個條件：一個特殊形（菱形）、一個特殊角（120°角）、一條定長（邊為6）。

將特殊角（120°）、定長（菱形邊長為6）這兩個條件與特殊形（菱形）結合可得特殊形（△DAB為頂角為120°、腰長為6的等腰三角形）。進而從兩邊一角（AD=AB=6,∠DAB=120°）、兩角一邊（AD=6,∠DAB=120°、∠DBA=30°）兩個角度作兩類輔助線（一類是等腰三角形“三線合一”連AC、一類是鈍角三角形底邊上的高）構造兩種直角三角形，利用勾股定理、特殊角30°所對直角邊是斜邊一半、三角函數、相似比、建系解析法五種思路解決定長BD的長。而這五中思路的核心都離不開已知“兩邊一角”或“兩角一邊”構造直角三角形解決三角形的邊、角元素的基本圖。

進而得到特殊角（30°、60°、90°、120°角）、定長（邊長為6、對角線BD為6√3、菱形的高3√3）、定比（BD:AD=√3）、特殊三角形（含30°的直角三角形、頂角為120°的等腰三角形）。為第二問的動態問題“動中取靜”提供了較好的鋪墊。

（2）問題干：點E為線段BD上的一動點（不與點B、D重合），點F在邊AD上，且BE＝√3DF．

兩動點（E在線段BD上運動、F在線段AD上運動）、一定比（BE:DF=√3）。“動中取靜”，結合第一問的結論可得定比（BD:AD=√3），兩組線段成比例(DA:BD=DF:BE=√3)可得：E、F分別在BD、AD上運動，兩點同時出發、同時到達終點，運動路程之比為定值即對角線BD與邊AD之比。

（2）問的第一個問題特殊位置（CE⊥AB）下的四邊形ABEF的面積的求法為第二個問題一般情況下四邊形ABEF面積的最值問題做方法的鋪墊。

二、綜合運用常規常法，厘清算理算法與推理的聯系

（3）問第一個問題以及第二個問題的第一步都是要解決四邊形ABEF的面積。

從解題思路而言。王老師強調作圖的重要性，給出求不規則圖形面積的求法的基本思路——割補法，三個思考方向——分割法、補全法、割補結合法。

分割法有兩個思路，思路1：連接AE.S四ABEF=S△ABE+S△AEF；思路2：連接BF，S四ABEF=S△ABF+S△BEF.其實還可以通過過E作AD//EM交AB于點M，將DF轉化為EM,則S四ABEF=S△EBM+S四AMEFB。補全法S_四ABEF=S_△ABD?S_△DEF。割補結合法：S_四ABEF=S_梯PFEG+S_△BGE?S_△APF。三類解題思路，體現了算理的思維層次性與多樣性。

從計算方式而言，有兩類計算方式，一類是利用已知定長作高直接求各部分圖形面積，由于底邊選擇不同、計算方式也不同，這類計算方式考察學生的運算能力。第二類將△ABD的面積當作定值作為整體，利用已求線段比，借助線段比、相似比，從比例角度將其它各部分圖形面積借助底之比、高之比轉化為用含△ABD的面積的代數式表示，體現了整體思想以及比例轉化思想。兩類計算方式的不同體現了算法背后思維的深度與廣度。

三、充分運用代幾結合，厘清代數推理與幾何變換的聯系

（2）問第二個問題中，CE+√3CF何時取最小值是本題的最后一個難點。通過前面的分析，E、F分別在DA、BD上運動，同時出發同時到達終點。CE在特殊形△CEB（CB=6,∠CBE=30°）中，CF在特殊形△CFD（CD=6,∠CDF=60°）中。通過作垂線構造直角三角形進行代數計算或利用“垂線段最短”借助信息技術手段動畫演示，發現CE、CF同時取得最大值、同時取得最小值。因此，CE+√3CF何時取得最小值有兩類思路方向。第一類思路方向：當CE、CF分別取最小值時（因為CE、CF同時取最小值），CE+√3CF最小。進而得出兩種思路：構造直角三角形代數推理計算（解三角形或建系解析法）和特殊位置（CE⊥DB、CF⊥AD）利用“垂線段最短”解決。第二類思考方向：把“CE+√3CF”當作整體。一種思路是CE不變、構造線段長為√3CF，即作相似比√3的△CDF的相似三角形；第二種思路是CF不變，構造線段長為√3CE，即作相似比√3的△CEB的相似三角形.

四、注重變式教學，依標依教材追溯母題來源

王老師通過題變圖不變、圖變題也變，結合教材母題對本試題從課標要求、教材要求出發，深度挖掘變式。一個建議：本題是特殊形（菱形）特殊角（120°）特殊比（√3），可否對特殊形（菱形、矩形或正方形）特殊角（120°、135°）特殊比（√3、√2、2）等進行深度變式，達到多解歸一，實現觸類旁通。

感謝張欽博士提供的學習平臺，感謝王剛老師帶給我們的數學研題盛宴！

“數學思維的培育”是數學教學的終極目標，通過王老師的講解，我也進行了反思。希望自己在今后的課堂教學中，抓住教材母題，深度挖掘文字信息與圖形信息，從機械運算與推理角度厘清算理算法，實現算理算法的最優化，運用代數問題幾何化、幾何問題代數化，從代幾結合的角度去分析代數運算中的幾何邏輯、從幾何邏輯中尋求代數推理的優化。注重試題的變式探究，力爭讓學生“解一題、會一類、通一片”。靜下心來沉淀，向理解數學、理解學生、理解技術、理解教學的要求中孜孜不倦的改變自己的教學。

精彩點評四

通過對王老師第99講的學習，我主要得到了以下幾點收獲

一、在平時的教學過程中，要注重幾何基本圖形，解題基本方法。

幾何基本圖形包括點、直線、線段、射線、角、平行線、垂線、三角形、四邊形、圓等。在學習幾何時，需要首先掌握這些基本圖形的定義、特征和性質。

掌握基本圖形后，需要學習相關的基本方法和技巧，如三角形的相似性質、勾股定理、正弦定理、余弦定理等。同時，還應該掌握幾何推理和證明的方法，如假設法、反證法、對偶原理等。

為了更好地學習幾何，還需要進行大量的練習，通過實際操作和解題，加深對基本圖形和方法的理解和掌握。另外，在學習中還需注意積極思考、多角度思考，善于發現和運用幾何知識，提升自己的創造力和解決問題的能力。

二、針對基礎薄弱的同學如何提高他們的幾何解題能力。

1. 理清知識體系：幾何學是一門需要建立起嚴謹知識體系的學科，在學習的過程中需要清晰地理解不同概念與定理之間的關系。較弱的同學應該在構建知識體系上下功夫，不要盲目攻堅，而應從簡單的逐步邁向復雜，合理安排時間，不斷鞏固。

2. 多畫圖加深理解：幾何學需要通過畫圖加深學習理解程度，較弱的同學可以多做畫圖的練習，比如畫出幾何圖形、截圖、變形，增強幾何視覺化的理解。

3. 練習解題技巧：幾何學的題目往往有著具體的解題思路和技巧，建議多練習例題和習題，掌握幾何學的解題技巧，并且多思考證明每一個例如中各個步驟的必要性。

4. 提高數學素養：幾何學考察綜合能力整體素養，包括代數、數論等各方面。除了純幾何的精細計算外，數學素養也是非常必要的，比如不等式、代數方程、函數圖像，多做類似題目，拓寬數學視野。

5. 養成邏輯思維：幾何學的解題實際上是運用邏輯思維進行推理，隨著對理論與知識的逐漸熟練掌握，需要注重構建問題的邏輯框架和方法論，養成精確高效的解題思維，并在做題后及時反思總結。

三、幾何最值問題的解決方法。

幾何最值問題是一類比較典型的幾何優化問題。在解決幾何最值問題時，可以采用以下基本思路：

1. 確定問題：明確所求問題，通過建立合適的幾何模型，清晰地描述問題、尋找限制條件。

2. 特殊情況：根據問題的不同，考慮特殊情況，包括平移、旋轉、反演等幾何變換，或者問題中存在等比例關系等特殊情況，利用這些特殊情況簡化問題的分析。

3. 加強限制條件：將問題中的限制條件盡可能地緊化，增加限制性，進而確定幾何形狀和大小的范圍，減少解的空間。

4. 利用面積、相似、等比等關系：將幾何形狀抽象為圖形，利用圖形的面積、相似、等比例關系等基本性質，使問題簡化，將連續、曲折的問題轉化為圖像上直線和面的運算。

5. 確定目標函數：將目標量用數值進行具體化，并且把目標變量和約束條件以及問題的其他信息相互關聯，確定目標函數。

需要注意的是，在解決幾何最值問題時，對能夠用到的相關幾何定理和圖形要非常熟悉，并且要注重幾何圖形的抽象、分析和歸納，以及加強數學建模和計算機輔助求解能力。

最后感謝王老師的充分準備，以及張欽博士為我們提供了這樣一個交流和進步的平臺。

個人感言

從選題而言，本次研題所選的題目是2022年廣州中考第二十五題，是一道以菱形為骨架、以數形結合為脈絡、以函數觀念為靈魂的幾何綜合題，由于我的整個研究過程是斷斷續續的，所以每一次再來整理和思考的時候都會發現不同的道路和新的方法。在反復研究了題目之后，我發現題目雖然難度不算很高，但是它覆蓋的知識、方法、思想非常廣泛，每一問給考生留的思路很開闊，可以從很多不同的方向去思考，不管是擅長幾何、還是擅長代數的考生都能較快打開局面。

從個人感受而言，本次研題對我來說可謂是：痛并快樂著。

痛，是因為對自己來說，這是一個很大的挑戰，當初硬著頭皮報名其實也是想借此機會逼自己一把，希望以此為契機促使自己的知識和能力有所提升。在準備的過程中，隨著我不斷深入思考，就不斷發現自己身上的能力欠缺，就像給自己的教學能力和研究能力做了一次體檢，暴露出了自己的各種病癥。再有，每周看到其他老師的優秀表現，會讓自己壓力倍增，生怕自己表現糟糕，拉低了整個研題的檔次。再加上本學期自己私事纏身，空閑時間不多，只能抽碎片時間進行，這更讓我心中不安。

快樂，是因為在研究題目、反思教學的過程中自己解題能力、教學能力、研究能力有了顯著提升，面對壓軸題思考的廣度和深度也有所增加，自己的日常教學也因此發生著悄然的變化，對學生的輔導也變得更深入、更精準、更從容。

對我來說最難的是教學反思的部分，由于自己學習不足，一開始真的不知從何說起，所以只能一遍遍翻教材、讀課標、觀看其他老師的研題示范，才有了一點簡單的想法。由于能力所限，對于題目和教學的認識還不夠深刻，反思可能也不太準確，和之前的老師們比，差距甚遠。但是于我個人而言，本次的研題過程，對我有非常大的促進作用。

感謝張欽博士給我們提供了這樣一個研究展示的平臺，感謝本次點評的胡芳老師、譚明文老師、王超老師、許莎老師對我的建議，感謝我們五峰數學教研員雷斌老師的鼓勵，感謝黃毅老師、王勛友老師、尹文才老師、黃學芳老師對我的指導，感謝研題群中的各位老師的指點。

王剛老師簡介

王剛，五峰實驗初級中學數學教師，宜昌市卓越教育人才“千人計劃”成員，宜昌市數學學“1+1+N”學科中心組成員，五峰數學學科工作室成員。本是學文學出身，因學校工作需要，轉教數學。從教五年來，一直秉承“親其師，方能信其道”的理念，注重對學生的引導和溝通。我也一直在不斷學習，努力提升自己，爭取早日成為一名合格的數學教師。

教研參考書籍推薦

《從優秀試題研究中領悟初中數學教學》（張欽著）

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