解題教學中的“夾生飯”

所謂夾生飯，在教學中指在沒有理解數學概念的前提下，盲目提前學習，用超進度的知識來解決當下的問題，例如在七年級下學期學習平面直角坐標系時，用八年級一次函數來解題，在八年級學習四邊形時，用九年級相似三角形來解題等等。當然，一線老師們的“智慧”是無窮的，會將這些超進度的知識進行適當包裝，使其看上去屬于本學段。

但無論包裝得多完美，改變不了這個事實，超進度教學，學生學習過程中，基礎尚未打牢，便開始大量以練代講，在布置學生練習時，沒有細看題目所屬學段，偏偏又不肯承認選題錯誤，便勉強用自創概念進行偽裝，變成“秒殺”特技，總而言之，這是一種有害的教學行為。

本文以一道八年級作業題為例，來嘗試探討：

題目

已知直線l:y=kx-2k+2經過定點P，分別交x軸，y軸于A，B兩點.

(1)直接寫出定點P的坐標；

(2)如圖1，當k=-1時，C為y軸負半軸上一動點，過點P作PD⊥PC交x軸于點D，M，N分別為CD，OA的中點，求證：AD=√2MN；

(3)如圖2，點E(t,t)，點F均在射線OP上移動，EF=3√2，EG∥y軸，EG=3，在x軸負半軸上有一點H(-3t,0)，FG與HE相交于點Q，當點E，F在射線OP上移動時，判斷點Q是否在某條定直線上運動，并說明理由.

解析：

01

(1)將解析式變形為y=k(x-2)+2，當x=2時，y=2，此時與k值無關，因此定點P坐標為(2,2)；

02

(2)我們先來看一位使用了“秒殺”特技同學的解法，如下圖：

連接PN，PM，當k=-1時，點A，點B坐標為(4,0)，(0,4)，因此可證明△AOB是等腰直角三角形，得到∠BAO=45°，由PN是△AOB中位線證明PN⊥x軸，于是PA=√2PN，在另一個等腰Rt△PCD中，PD=√2PM，再證明∠DPA=∠MPN，得到△PAD∽△PNM，且相似比為√2:1，所以證明了AD=√2MN；

正如前面介紹，這是一道八年級題目，相似知識是在九年級學習的，此題若是放在九年級，是正確的，可惜不是；

其實正確的思路應該構造一個等腰直角三角形，使MN和AD關聯其中的直角邊或斜邊，連接OP是學生最容易想到的第一條輔助線，這樣可以將AD轉移至OC，而OC在坐標軸上，方便求坐標或長度；此時我們再連接OM，便可發現△OMN和△PMN間的全等關系，如下圖：

這一對全等三角形條件非常好找，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半，可證PM=1/2CD，OM=1/2CD，即PM=OM，而△PON為等腰直角三角形可證PN=ON，再加上公共邊MN，得△PMN≌△OMN；

這一對全等的作用是得到∠PNM=∠ONM，顯然∠PNM+∠ONM+∠PNO=360°，因此∠PNM+∠ONM=270°，于是∠PNM=∠ONM=135°，從而得到∠MNO=45°，此時過點M向x軸作垂線，得到等腰Rt△MNQ，于是MN=√2MQ，恰好MQ是△OCD中位線，OC=2MQ，最后得到AD=√2MN；

03

(3)本題基本解題思路是用含t的式子表示出點Q坐標，找到坐標間的關系，得到一次函數解析式，若這個解析式中不再含有參數t，則為定直線；

點Q是FG與EH交點，因此我們需要先求出這兩條直線的解析式，從條件EF=3√2出發，由于射線OP經過點P，在前面的探究中，我們已經知道了射線OP與x軸夾角為45°，因此過點F向GE作垂線，交GE延長線于點K，如下圖：

顯然△EFK是等腰直角三角形，于是可求出EK=FK=3，則點F坐標為(t-3,t-3)，EG∥y軸且EG=3，則點G坐標為(t,t+3)

求出直線FG解析式為y=2x+3-t，再求出直線EH解析式為y=1/4x+3t/4；

聯立方程求出點Q坐標為(t-12/7,t-3/7)，令x=t-12/7，y=t-3/7，消掉t之后得y=x+9/7，即點Q在定直線上運動.

解題反思

曾幾何時，提前學居然成了制勝法寶，這是令我百思不得其解的現象，而提前學的理由是學生覺得教材上的內容太簡單，所以整點難點的題目給他們，而這個所謂的難，又不是深挖學段內，而是超出學段外，助長了此類不良之風。

如果說個別學生確有天分，在精通本學段知識的基礎上，自行提前學習，任何人也無話可說，畢竟不能埋沒天才，只是這樣的學生是極少數，也不是老師教出來的。更多的學生依然需要按照新課標和教材要求去學習，那是經過無數專家修訂后的最為科學的學習進度，不是想超就能超。

本題第2問，輔助線較多，但涉及到的是八年級知識體系內的全等、勾股定理等，用來考查學生的幾何綜合能力，完全沒問題，但個人認為，這道小題仍然有遺憾之處，即使用九年級相似知識可以更為簡潔，這給閱卷帶來了困擾，不得不說是命題過程中的疏忽。

現在市面上的教輔資料魚龍混雜，質量也參差不齊，難免會出現編寫過程中，將超進度的習題編寫進來，這需要老師提前將題目先做一遍，確定適合本班學生，再決定是否使用，一旦遇到某道題目存在這類現象，應果斷換題。

因此，對于一線數學教師而言，研究新課標和教材，明確在教學過程中，使用什么樣的習題，并精選習題，非常重要，每次備課、布置作業前，要審題。

針對壓軸題的解題教學，視頻已經滿100講，以此為基礎編寫的教研參考書《從優秀試題研究中領悟初中數學教學》(上)也已出版，如下圖：

本書所選擇壓軸題來自全國各地，研究這些壓軸題的解題、講題，并從中領悟課堂教學，對于數學教師來講，是成長最快的捷徑。(文后有簡介)

教研參考書籍推薦

《從優秀試題研究中領悟初中數學教學》（張欽著）

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