精彩點(diǎn)評(píng)一

認(rèn)真學(xué)習(xí)了張曉賢老師講的福建省第24題，覺(jué)得收獲頗多，很有一種撥得云開(kāi)見(jiàn)日出的感覺(jué)。這是一道在等腰三角形基礎(chǔ)上做旋轉(zhuǎn)變化的幾何壓軸題，但是結(jié)論卻有滿滿的代數(shù)感，整體難度不大，切入點(diǎn)很多，是一道有意思的題目。

對(duì)于第一問(wèn)，張老師帶領(lǐng)我們回顧了菱形的判定，每一條判定定理都是我們的切入點(diǎn)，從不同的判定找到不同的條件，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，易于接受。對(duì)于第二問(wèn)，同樣從結(jié)論出發(fā)，尋找兩個(gè)角度的關(guān)系，很巧妙的地方是運(yùn)用了第一問(wèn)的特殊性，讓目標(biāo)明晰，指明了前進(jìn)方向，這一點(diǎn)對(duì)于迷茫中的學(xué)生來(lái)說(shuō)很有促進(jìn)作用，也教會(huì)了我在平時(shí)的教學(xué)中，猜結(jié)論不是盲目地進(jìn)行，一方面有圖感，另一方面也可以借助于一些特殊位置、特殊圖形來(lái)完成。對(duì)于第三問(wèn)，張老師從條件出發(fā)，一類方法是通過(guò)相等的一邊一角，很容易讓學(xué)生想到構(gòu)造全等三角形，從而根據(jù)內(nèi)角和等關(guān)系，解得結(jié)論；一類方法是在表達(dá)各個(gè)角的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)了一些特殊的角度，比如60°，從而構(gòu)造等邊三角形，完成整個(gè)題目的證明；最后一類方法是因?yàn)橐阎嵌寂cBD有關(guān)，所以對(duì)角度進(jìn)行翻折，構(gòu)造出了四點(diǎn)共圓，從而解決問(wèn)題。在整個(gè)問(wèn)題的解決過(guò)程中，設(shè)未知數(shù)的思想滲透始終，讓幾何題充滿了代數(shù)味道。

通過(guò)張老師的講解，我也有如下收獲：1、課本、課標(biāo)永遠(yuǎn)是教學(xué)的第一順位。通過(guò)課本上的實(shí)踐，可以培養(yǎng)學(xué)生的作圖能力、推理能力等，讓學(xué)生吃透課本，深挖教材，知其然，也知其所以然。比如讓學(xué)生通過(guò)作圖，已知一邊一角，作一個(gè)三角形與已知三角形全等，就是引導(dǎo)著學(xué)生去分析所缺條件，如何補(bǔ)充所缺條件，從而讓學(xué)生真的學(xué)會(huì)使用三角形全等的判定，讓學(xué)生在做中領(lǐng)悟知識(shí)。2、基本圖形學(xué)習(xí)可以引導(dǎo)思路。常規(guī)圖形的識(shí)別在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中很重要，它可以為學(xué)生的解題提供一些思路，讓學(xué)生可以有不同的嘗試，比如常見(jiàn)的角平分線、點(diǎn)的位置、全等形等等，那么在日常的教學(xué)中，可以培養(yǎng)學(xué)生的識(shí)圖能力，遇見(jiàn)一道幾何題，學(xué)生如果有思路，可以多追問(wèn)一句，“你為什么這么做”，讓學(xué)生有意識(shí)地進(jìn)行深入思考，從而形成自己的總結(jié)。

最后，感謝張欽博士提供了這樣一個(gè)平臺(tái)，感謝張老師的精彩講解，學(xué)無(wú)止境，一直在路上。

精彩點(diǎn)評(píng)二

認(rèn)真學(xué)習(xí)了張曉賢老師講的福建省第24題，收獲很多，此題是以等腰三角形為基礎(chǔ)的幾何綜合題，考查的知識(shí)點(diǎn)非常多，張老師先是對(duì)題目進(jìn)行仔細(xì)的分析和講解，后來(lái)又將題目所涉及到的一些常用的方法進(jìn)行了細(xì)致的梳理，比如已知一邊一角對(duì)應(yīng)相等如何去構(gòu)造全等三角形，常見(jiàn)的導(dǎo)角的模型，張老師通過(guò)研究一道題，不僅總結(jié)出了解決這類問(wèn)題的方法，更是指明了如何提高學(xué)生解決代幾綜合題的能力：將幾何問(wèn)題代數(shù)化；增強(qiáng)代數(shù)推理能力。接下來(lái)我就這2方面談?wù)勎业捏w會(huì)：

將幾何問(wèn)題代數(shù)化，第二問(wèn)是探究?jī)蓚€(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系，張老師采用的是先猜想后證明的方式，猜想時(shí)又用了從特殊到一般的方法，猜想這2個(gè)角互補(bǔ)，在去證明的過(guò)程中，思路一是從結(jié)論入手，解法1是將這2個(gè)角的和根據(jù)角度之間的換算，利用三角形內(nèi)角和定理和三角形的外角定理證明；解法2到解法4是構(gòu)造一個(gè)角的鄰補(bǔ)角，再證明另一個(gè)角等于它的鄰補(bǔ)角，這些方法需要學(xué)生有很強(qiáng)的邏輯推理能力，因?yàn)轭}目未給具體角的度數(shù)，可設(shè)未知數(shù)，通過(guò)角之間的關(guān)系，將目標(biāo)角表示出來(lái)，通過(guò)代數(shù)計(jì)算得出結(jié)論，就有了思路二，就是后面的解法，這種將幾何問(wèn)題代數(shù)化的方法，本質(zhì)是將逆向推導(dǎo)變成了順推，讓推理過(guò)程更加的順暢。

增強(qiáng)代數(shù)推理能力，對(duì)于第三問(wèn)，求角的度數(shù)。張老師從條件出發(fā)，得出了一邊一角對(duì)應(yīng)相等，就出現(xiàn)了第一類方法：通過(guò)相等的一邊一角，構(gòu)造全等三角形，得出很多組相等的角，通過(guò)設(shè)未知數(shù)表示出其中的2組相等的角，利用三角形的內(nèi)角和定理列出方程，利用整體思想推導(dǎo)出所求的角是30°；在表達(dá)各個(gè)角的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)角的和或差是60°，聯(lián)想到可以構(gòu)造一個(gè)等邊三角形，通過(guò)圖形的特殊關(guān)系最后得出所求的角是30°，在解決這個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中，需要學(xué)生有很強(qiáng)的識(shí)圖和構(gòu)圖的能力，在后面的教學(xué)反思中，張老師也給我們列舉了一些提高學(xué)生作圖能力的案例，還列舉了一些提高學(xué)生代數(shù)推理能力的例子，對(duì)于我之后的教學(xué)有很大的啟發(fā)。

最后，感謝張欽博士提供的平臺(tái)，讓我們不斷的學(xué)習(xí)和進(jìn)步。

精彩點(diǎn)評(píng)三

認(rèn)真學(xué)習(xí)了張老師對(duì)于福建省24題的研究，收獲干貨滿滿的同時(shí)也對(duì)自己的幾何教學(xué)產(chǎn)生了許多思考。

此題的構(gòu)圖粗看起來(lái)與我們常見(jiàn)的“手拉手”共點(diǎn)等腰模型有些許共同之處——都是兩個(gè)等腰三角形有公共頂點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上繞此頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而構(gòu)成圖形的“骨架”。但是此處重合的并非是等腰三角形的頂點(diǎn)。這類與常規(guī)模型形似而內(nèi)核差異巨大的題型很容易觸發(fā)部分學(xué)生的畏難情緒。這反映出自己在常規(guī)教學(xué)中可能存在著為了讓學(xué)生更快的掌握部分習(xí)題的解法，而過(guò)分地強(qiáng)調(diào)“幾何模型”的結(jié)論，而忽略了這些幾何模型結(jié)論背后的形成過(guò)程的現(xiàn)象。對(duì)幾何模型的教學(xué)，劃定“套路”，給出“結(jié)論”，忽視“形成”，本意是想讓學(xué)生更快地掌握對(duì)應(yīng)的知識(shí)，實(shí)際效果卻往往背道而馳。張老師的反思發(fā)人深省：“教育是個(gè)‘慢過(guò)程’，我們?cè)诮逃^(guò)程中應(yīng)該慢下來(lái)，給與學(xué)生充分的時(shí)間畫圖和思考”。

現(xiàn)在的數(shù)學(xué)教學(xué)中，課件，投影等硬件設(shè)施越來(lái)越強(qiáng)大，學(xué)生更容易接觸到電腦繪制的標(biāo)準(zhǔn)而精美的圖形，但是對(duì)于幾何知識(shí)的形成卻未必全是好處。很容易造成“一看就會(huì)，一做就廢”的尷尬局面。張老師的總結(jié)精準(zhǔn)地指出了我經(jīng)常忽視的地方：“在幾何教學(xué)時(shí)應(yīng)該充分地重視學(xué)生識(shí)圖能力和畫圖能力的培養(yǎng)……重視學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐畫圖，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀”。

感謝張老師的認(rèn)真講解與詳細(xì)分析，發(fā)現(xiàn)了自己幾何教學(xué)中存在的許多問(wèn)題與有待改進(jìn)的方向。同時(shí)十分感謝張欽博士提供的優(yōu)質(zhì)平臺(tái)，提供了如此多優(yōu)秀同行的先進(jìn)經(jīng)驗(yàn)分享，助力我們快速地成長(zhǎng)！

精彩點(diǎn)評(píng)四

認(rèn)真學(xué)完了此次張老師的第100講研題，收獲頗豐，下面結(jié)合自己平時(shí)的教學(xué)，談?wù)勛约旱膶W(xué)習(xí)心得、體會(huì)與反思：

1、如何加深對(duì)全等三角形判定定理的理解？

張老師在教學(xué)啟示中講到，在教授學(xué)生全等三角形判定定理的過(guò)程中應(yīng)注重讓學(xué)生動(dòng)手畫圖，在畫圖中探索新知的教學(xué)過(guò)程。與此同時(shí)張老師還進(jìn)行了拓展教學(xué)，在新課教學(xué)講完全等三角形的判定定理后，讓學(xué)生繼續(xù)思考（如下圖）：

這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)不僅充分復(fù)習(xí)了全等三角形的判定定理；還讓學(xué)生區(qū)分清楚SSA不一定使得兩個(gè)三角形全等；這樣教還有一個(gè)好處是讓初學(xué)全等三角形的學(xué)生打開(kāi)了構(gòu)造全等三角形的視角，如果教師上課這樣教過(guò)，我想學(xué)生在解決第三問(wèn)的時(shí)候就不會(huì)有困難了。雖然這只是張老師給我們呈現(xiàn)她優(yōu)秀教學(xué)設(shè)計(jì)的“冰山一角”，但卻給我深深的啟發(fā)，我會(huì)學(xué)以致用。

2、如何教會(huì)學(xué)生快速有效的導(dǎo)角？

張老師在教學(xué)環(huán)節(jié)講到：“導(dǎo)角的數(shù)學(xué)原理本質(zhì)上是三角形內(nèi)角和及其推論（即：三角形外角的性質(zhì)）”，同時(shí)，張老師總結(jié)了常見(jiàn)的導(dǎo)角模型，這些模型大量出現(xiàn)在教材的例題和習(xí)題中。我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)過(guò)程中不僅可以在解決這些問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟到導(dǎo)角的數(shù)學(xué)原理，還可以在進(jìn)行四邊形的內(nèi)角和、多邊形外角和定理、圓周角定理及其推論等問(wèn)題中逐步滲透導(dǎo)角的數(shù)學(xué)本質(zhì)，逐步加深學(xué)生的理解。

然而在實(shí)際的操作過(guò)程中，當(dāng)圖形較為復(fù)雜，設(shè)的未知數(shù)較多時(shí)，學(xué)生很可能在導(dǎo)角的過(guò)程中應(yīng)用同一個(gè)模型導(dǎo)出相同的方程，比如：用同一個(gè)三角形的內(nèi)角和為180°，又用這個(gè)三角形的外角等于與之不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，這樣就不能列出不同的方程，就無(wú)法解出未知數(shù)，從而無(wú)法解出相應(yīng)的角的度數(shù)。這時(shí)候應(yīng)讓學(xué)生將目光轉(zhuǎn)移到其他三角形或者四邊形，從而列出新的方程。如果老師有發(fā)現(xiàn)學(xué)生列出了相同的方程，那么此時(shí)就是最好的提升學(xué)生在復(fù)雜情境中有效導(dǎo)角能力的最好契機(jī)！另一方面，學(xué)生在導(dǎo)角的過(guò)程中還可能出現(xiàn)，所有可能列出的方程均已列出，但是還差一個(gè)方程才能解答，比如學(xué)生設(shè)了三個(gè)未知數(shù)，但是怎么都找不到第三個(gè)方程，這時(shí)候應(yīng)該告訴學(xué)生導(dǎo)角通常離不開(kāi)導(dǎo)邊，導(dǎo)邊和導(dǎo)角通常要結(jié)合起來(lái)一起用。要通過(guò)導(dǎo)邊盡可能將一個(gè)未知數(shù)用另一個(gè)未知數(shù)來(lái)表示.

3、如何讓學(xué)生充分領(lǐng)悟豐富的解法？

本題是一道優(yōu)秀的幾何壓軸題，張老師給我們梳理了本題豐富的解法，既豐富了我的教學(xué)素材，也引發(fā)我進(jìn)一步思考，在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中，我應(yīng)該怎么引導(dǎo)學(xué)生想到每一條輔助線的做法？我應(yīng)該怎樣實(shí)施具體的教學(xué)過(guò)程，讓學(xué)生真正領(lǐng)悟這些解法，使這些解法能遷移到解決其他問(wèn)題情境中去呢？

以上是我本次研題的心得、體會(huì)與反思，不當(dāng)之處請(qǐng)各位專家老師們批評(píng)指正，疑惑之處請(qǐng)各位專家不吝賜教。最后，感謝張欽博士提供的平臺(tái)，感謝張老師精彩的研題，感謝黃毅老師安排的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)，讓我可以有所學(xué)，有所思，有所問(wèn)，有所寫，讓我一路學(xué)習(xí)成長(zhǎng)！

個(gè)人感言

作為一名步入初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作才兩年的年輕教師，寒假報(bào)名參加研題時(shí)，我是忐忑的，畢竟自己經(jīng)驗(yàn)有限，又沒(méi)帶過(guò)畢業(yè)班，心里沒(méi)有底。邁出第一步，在研題過(guò)程中就是一種成長(zhǎng)。

福建省第24題是一道以等腰三角形為基礎(chǔ)的幾何綜合題，整體難度不大，考查的知識(shí)點(diǎn)較多，切入點(diǎn)較多，從不同的角度思考會(huì)有不同的思路。第一問(wèn)考查菱形的判定定理，較基礎(chǔ)、起點(diǎn)低，學(xué)生易得分。第二問(wèn)，探究∠ACE與∠EFC之間的數(shù)量關(guān)系，觀察圖形，分析特殊位置可以合理猜想∠ACE＋∠EFC=180°，根據(jù)角度之間的關(guān)系進(jìn)行導(dǎo)角即可證明。第三問(wèn)，分析條件圖中有多組相等的邊和角，根據(jù) “一邊一角”相等可構(gòu)造全等三角形，根據(jù)角度之間的關(guān)系求解。通過(guò)角度之間的計(jì)算，可得60°特殊角，構(gòu)造等邊三角形。分析條件∠BAD、∠BCD都與BD有關(guān)，可將角度進(jìn)行翻折，構(gòu)造出四點(diǎn)共圓，進(jìn)一步求解。本題雖然是一道幾何壓軸題，但由于題目未給任意角度，可設(shè)未知數(shù)，根據(jù)公式、性質(zhì)等建構(gòu)等量關(guān)系，建立方程，使幾何問(wèn)題代數(shù)化。

回想研題的過(guò)程，既痛苦又充實(shí)，有種脫胎換骨的感覺(jué)，讓我收獲滿滿。前期鉆研于題目的每種解法，讓自己的解題能力有了很大的提升，在解題中對(duì)于每一小問(wèn)、每種解法涉及到的每個(gè)知識(shí)點(diǎn)，溯源課本，讓我對(duì)整個(gè)初中數(shù)學(xué)知識(shí)有了更系統(tǒng)更深入的認(rèn)識(shí)。在后期教學(xué)反思時(shí)，剛開(kāi)始比較迷茫，想的太多，太淺顯，感謝高飛老師的指導(dǎo)，讓我明確了方向，從學(xué)生易錯(cuò)的點(diǎn)出發(fā)，反思自己的教學(xué)。在平時(shí)的教學(xué)中，我應(yīng)該熟讀課標(biāo)、深挖教材，重視課本上的探究、思考活動(dòng)，在課堂上慢下來(lái)，給與學(xué)生充分的時(shí)間動(dòng)手操作和思考，討論交流，感悟定理知識(shí)的形成過(guò)程，真正理解，將知識(shí)內(nèi)化。讓學(xué)生知其然，也知其所以然。

感謝張博士及團(tuán)隊(duì)提供的學(xué)習(xí)平臺(tái)和機(jī)會(huì)，讓我有機(jī)會(huì)能與眾多愛(ài)好研題的老師們探討交流，感謝黃毅老師給予的指導(dǎo)，讓我對(duì)于教材有了新的見(jiàn)解與思考，感謝猇亭區(qū)教研員楊萬(wàn)喜主任的悉心指導(dǎo)與鼓勵(lì)，感謝猇亭區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)組老師們給提供的寶貴建議與大力支持，感謝楊再蓉老師、王語(yǔ)老師、饒昭昭老師、劉見(jiàn)知老師等專家的精彩點(diǎn)評(píng)，讓我對(duì)本題和教學(xué)又有了新的思考。作為一名年輕教師，我深知還有很多不足，要學(xué)習(xí)的還很多，我要向群里優(yōu)秀的老師們學(xué)習(xí)，不斷提高自己的專業(yè)水平，努力成長(zhǎng)。

張曉賢老師簡(jiǎn)介

張曉賢，猇亭區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教師，在教學(xué)中，關(guān)注孩子的個(gè)體差異，重視知識(shí)的積累，注重學(xué)生習(xí)慣和數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，使學(xué)生獲得智與行的滋養(yǎng)，教與學(xué)效果好。

教研參考書籍推薦

《從優(yōu)秀試題研究中領(lǐng)悟初中數(shù)學(xué)教學(xué)》（張欽著）

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