精彩點評一

認真學習了張曉賢老師講的福建省第24題，覺得收獲頗多，很有一種撥得云開見日出的感覺。這是一道在等腰三角形基礎上做旋轉變化的幾何壓軸題，但是結論卻有滿滿的代數感，整體難度不大，切入點很多，是一道有意思的題目。

對于第一問，張老師帶領我們回顧了菱形的判定，每一條判定定理都是我們的切入點，從不同的判定找到不同的條件，對于學生來說，易于接受。對于第二問，同樣從結論出發，尋找兩個角度的關系，很巧妙的地方是運用了第一問的特殊性，讓目標明晰，指明了前進方向，這一點對于迷茫中的學生來說很有促進作用，也教會了我在平時的教學中，猜結論不是盲目地進行，一方面有圖感，另一方面也可以借助于一些特殊位置、特殊圖形來完成。對于第三問，張老師從條件出發，一類方法是通過相等的一邊一角，很容易讓學生想到構造全等三角形，從而根據內角和等關系，解得結論；一類方法是在表達各個角的過程中發現了一些特殊的角度，比如60°，從而構造等邊三角形，完成整個題目的證明；最后一類方法是因為已知角都與BD有關，所以對角度進行翻折，構造出了四點共圓，從而解決問題。在整個問題的解決過程中，設未知數的思想滲透始終，讓幾何題充滿了代數味道。

通過張老師的講解，我也有如下收獲：1、課本、課標永遠是教學的第一順位。通過課本上的實踐，可以培養學生的作圖能力、推理能力等，讓學生吃透課本，深挖教材，知其然，也知其所以然。比如讓學生通過作圖，已知一邊一角，作一個三角形與已知三角形全等，就是引導著學生去分析所缺條件，如何補充所缺條件，從而讓學生真的學會使用三角形全等的判定，讓學生在做中領悟知識。2、基本圖形學習可以引導思路。常規圖形的識別在數學學習中很重要，它可以為學生的解題提供一些思路，讓學生可以有不同的嘗試，比如常見的角平分線、點的位置、全等形等等，那么在日常的教學中，可以培養學生的識圖能力，遇見一道幾何題，學生如果有思路，可以多追問一句，“你為什么這么做”，讓學生有意識地進行深入思考，從而形成自己的總結。

最后，感謝張欽博士提供了這樣一個平臺，感謝張老師的精彩講解，學無止境，一直在路上。

精彩點評二

認真學習了張曉賢老師講的福建省第24題，收獲很多，此題是以等腰三角形為基礎的幾何綜合題，考查的知識點非常多，張老師先是對題目進行仔細的分析和講解，后來又將題目所涉及到的一些常用的方法進行了細致的梳理，比如已知一邊一角對應相等如何去構造全等三角形，常見的導角的模型，張老師通過研究一道題，不僅總結出了解決這類問題的方法，更是指明了如何提高學生解決代幾綜合題的能力：將幾何問題代數化；增強代數推理能力。接下來我就這2方面談談我的體會：

將幾何問題代數化，第二問是探究兩個角之間的數量關系，張老師采用的是先猜想后證明的方式，猜想時又用了從特殊到一般的方法，猜想這2個角互補，在去證明的過程中，思路一是從結論入手，解法1是將這2個角的和根據角度之間的換算，利用三角形內角和定理和三角形的外角定理證明；解法2到解法4是構造一個角的鄰補角，再證明另一個角等于它的鄰補角，這些方法需要學生有很強的邏輯推理能力，因為題目未給具體角的度數，可設未知數，通過角之間的關系，將目標角表示出來，通過代數計算得出結論，就有了思路二，就是后面的解法，這種將幾何問題代數化的方法，本質是將逆向推導變成了順推，讓推理過程更加的順暢。

增強代數推理能力，對于第三問，求角的度數。張老師從條件出發，得出了一邊一角對應相等，就出現了第一類方法：通過相等的一邊一角，構造全等三角形，得出很多組相等的角，通過設未知數表示出其中的2組相等的角，利用三角形的內角和定理列出方程，利用整體思想推導出所求的角是30°；在表達各個角的過程中發現了兩個角的和或差是60°，聯想到可以構造一個等邊三角形，通過圖形的特殊關系最后得出所求的角是30°，在解決這個問題的過程中，需要學生有很強的識圖和構圖的能力，在后面的教學反思中，張老師也給我們列舉了一些提高學生作圖能力的案例，還列舉了一些提高學生代數推理能力的例子，對于我之后的教學有很大的啟發。

最后，感謝張欽博士提供的平臺，讓我們不斷的學習和進步。

精彩點評三

認真學習了張老師對于福建省24題的研究，收獲干貨滿滿的同時也對自己的幾何教學產生了許多思考。

此題的構圖粗看起來與我們常見的“手拉手”共點等腰模型有些許共同之處——都是兩個等腰三角形有公共頂點，在此基礎上繞此頂點旋轉而構成圖形的“骨架”。但是此處重合的并非是等腰三角形的頂點。這類與常規模型形似而內核差異巨大的題型很容易觸發部分學生的畏難情緒。這反映出自己在常規教學中可能存在著為了讓學生更快的掌握部分習題的解法，而過分地強調“幾何模型”的結論，而忽略了這些幾何模型結論背后的形成過程的現象。對幾何模型的教學，劃定“套路”，給出“結論”，忽視“形成”，本意是想讓學生更快地掌握對應的知識，實際效果卻往往背道而馳。張老師的反思發人深省：“教育是個‘慢過程’，我們在教育過程中應該慢下來，給與學生充分的時間畫圖和思考”。

現在的數學教學中，課件，投影等硬件設施越來越強大，學生更容易接觸到電腦繪制的標準而精美的圖形，但是對于幾何知識的形成卻未必全是好處。很容易造成“一看就會，一做就廢”的尷尬局面。張老師的總結精準地指出了我經常忽視的地方：“在幾何教學時應該充分地重視學生識圖能力和畫圖能力的培養……重視學生動手實踐畫圖，培養學生的幾何直觀”。

感謝張老師的認真講解與詳細分析，發現了自己幾何教學中存在的許多問題與有待改進的方向。同時十分感謝張欽博士提供的優質平臺，提供了如此多優秀同行的先進經驗分享，助力我們快速地成長！

精彩點評四

認真學完了此次張老師的第100講研題，收獲頗豐，下面結合自己平時的教學，談談自己的學習心得、體會與反思：

1、如何加深對全等三角形判定定理的理解？

張老師在教學啟示中講到，在教授學生全等三角形判定定理的過程中應注重讓學生動手畫圖，在畫圖中探索新知的教學過程。與此同時張老師還進行了拓展教學，在新課教學講完全等三角形的判定定理后，讓學生繼續思考（如下圖）：

這樣的教學設計不僅充分復習了全等三角形的判定定理；還讓學生區分清楚SSA不一定使得兩個三角形全等；這樣教還有一個好處是讓初學全等三角形的學生打開了構造全等三角形的視角，如果教師上課這樣教過，我想學生在解決第三問的時候就不會有困難了。雖然這只是張老師給我們呈現她優秀教學設計的“冰山一角”，但卻給我深深的啟發，我會學以致用。

2、如何教會學生快速有效的導角？

張老師在教學環節講到：“導角的數學原理本質上是三角形內角和及其推論（即：三角形外角的性質）”，同時，張老師總結了常見的導角模型，這些模型大量出現在教材的例題和習題中。我們在平時的教學過程中不僅可以在解決這些問題時應注意引導學生領悟到導角的數學原理，還可以在進行四邊形的內角和、多邊形外角和定理、圓周角定理及其推論等問題中逐步滲透導角的數學本質，逐步加深學生的理解。

然而在實際的操作過程中，當圖形較為復雜，設的未知數較多時，學生很可能在導角的過程中應用同一個模型導出相同的方程，比如：用同一個三角形的內角和為180°，又用這個三角形的外角等于與之不相鄰的兩個內角的和，這樣就不能列出不同的方程，就無法解出未知數，從而無法解出相應的角的度數。這時候應讓學生將目光轉移到其他三角形或者四邊形，從而列出新的方程。如果老師有發現學生列出了相同的方程，那么此時就是最好的提升學生在復雜情境中有效導角能力的最好契機！另一方面，學生在導角的過程中還可能出現，所有可能列出的方程均已列出，但是還差一個方程才能解答，比如學生設了三個未知數，但是怎么都找不到第三個方程，這時候應該告訴學生導角通常離不開導邊，導邊和導角通常要結合起來一起用。要通過導邊盡可能將一個未知數用另一個未知數來表示.

3、如何讓學生充分領悟豐富的解法？

本題是一道優秀的幾何壓軸題，張老師給我們梳理了本題豐富的解法，既豐富了我的教學素材，也引發我進一步思考，在實際的教學過程中，我應該怎么引導學生想到每一條輔助線的做法？我應該怎樣實施具體的教學過程，讓學生真正領悟這些解法，使這些解法能遷移到解決其他問題情境中去呢？

以上是我本次研題的心得、體會與反思，不當之處請各位專家老師們批評指正，疑惑之處請各位專家不吝賜教。最后，感謝張欽博士提供的平臺，感謝張老師精彩的研題，感謝黃毅老師安排的學習機會，讓我可以有所學，有所思，有所問，有所寫，讓我一路學習成長！

個人感言

作為一名步入初中數學教學工作才兩年的年輕教師，寒假報名參加研題時，我是忐忑的，畢竟自己經驗有限，又沒帶過畢業班，心里沒有底。邁出第一步，在研題過程中就是一種成長。

福建省第24題是一道以等腰三角形為基礎的幾何綜合題，整體難度不大，考查的知識點較多，切入點較多，從不同的角度思考會有不同的思路。第一問考查菱形的判定定理，較基礎、起點低，學生易得分。第二問，探究∠ACE與∠EFC之間的數量關系，觀察圖形，分析特殊位置可以合理猜想∠ACE＋∠EFC=180°，根據角度之間的關系進行導角即可證明。第三問，分析條件圖中有多組相等的邊和角，根據 “一邊一角”相等可構造全等三角形，根據角度之間的關系求解。通過角度之間的計算，可得60°特殊角，構造等邊三角形。分析條件∠BAD、∠BCD都與BD有關，可將角度進行翻折，構造出四點共圓，進一步求解。本題雖然是一道幾何壓軸題，但由于題目未給任意角度，可設未知數，根據公式、性質等建構等量關系，建立方程，使幾何問題代數化。

回想研題的過程，既痛苦又充實，有種脫胎換骨的感覺，讓我收獲滿滿。前期鉆研于題目的每種解法，讓自己的解題能力有了很大的提升，在解題中對于每一小問、每種解法涉及到的每個知識點，溯源課本，讓我對整個初中數學知識有了更系統更深入的認識。在后期教學反思時，剛開始比較迷茫，想的太多，太淺顯，感謝高飛老師的指導，讓我明確了方向，從學生易錯的點出發，反思自己的教學。在平時的教學中，我應該熟讀課標、深挖教材，重視課本上的探究、思考活動，在課堂上慢下來，給與學生充分的時間動手操作和思考，討論交流，感悟定理知識的形成過程，真正理解，將知識內化。讓學生知其然，也知其所以然。

感謝張博士及團隊提供的學習平臺和機會，讓我有機會能與眾多愛好研題的老師們探討交流，感謝黃毅老師給予的指導，讓我對于教材有了新的見解與思考，感謝猇亭區教研員楊萬喜主任的悉心指導與鼓勵，感謝猇亭區實驗初級中學數學組老師們給提供的寶貴建議與大力支持，感謝楊再蓉老師、王語老師、饒昭昭老師、劉見知老師等專家的精彩點評，讓我對本題和教學又有了新的思考。作為一名年輕教師，我深知還有很多不足，要學習的還很多，我要向群里優秀的老師們學習，不斷提高自己的專業水平，努力成長。

張曉賢老師簡介

張曉賢，猇亭區實驗初級中學數學教師，在教學中，關注孩子的個體差異，重視知識的積累，注重學生習慣和數學思維的培養，使學生獲得智與行的滋養，教與學效果好。

教研參考書籍推薦

《從優秀試題研究中領悟初中數學教學》（張欽著）

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