解法多樣，一脈相承

2023年宜昌市中考數學第23題

在幾何壓軸題中，各小題之間通常呈現較強關聯，從第1小題開始起步，逐步搭好梯子，讓學生拾級而上，設置適當條件讓學生能夠將各題條件進行遷移，用已經學會的方法來探究新問題的思路。

2023年宜昌市中考數學第23題，承擔了幾何壓軸題的重任，基本幾何元素是正方形、相似三角形、三角函數，通過特殊位置到一般位置的轉換層層設置問題，從不同側面給出已知條件，較全面地考查學生幾何綜合解題能力。

題目

如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD，AB上的點，連接CE，EF，CF.

(1)若正方形ABCD的邊長為2，E是AD的中點.

①如圖1，當∠FEC=90°時，求證：△AEF∽△DCF；

②如圖2，當tan∠FCE=2/3時，求AF的長；

(2)如圖3，延長CF，DA交于點G，當GE=DE，sin∠FCE=1/3時，求證：AE=AF.

解析：

01

(1)①由∠FEC=90°可得∠AEF+∠DEC=90°，根據∠DEC+∠DCE=90°，可證∠AEF=∠DCE，結合∠A=∠D=90°，所以△AEF∽△DCE；

②失去了∠FEC=90°條件后，原來的相似三角形、直角三角形Rt△CEF不復存在，新給出的條件tan∠FCE=2/3又需要一個容納它的直角三角形，因此我們首先設法讓直角三角形重現，過點E作EH⊥CE，交CF延長線于點H，延長DA交CF延長線于點G，過點H作HK⊥DG，如下圖：

此方法的第一樁好處，是立刻得到直角三角形，Rt△CEH，并且由tan∠FCE=2/3可知EH:CE=2:3，第二樁好處是另一對相似三角形，△EHK∽△CED，并且相似比為2：3，簡證如下：

02

(2)將點E為AD中點改為DG中點之后，隨著點F位置的改變，點E也成為了動點，給學生分析圖形帶來了些許困擾，但是無論怎么動，前面已經得到的部分結論是不變的，因此，首選方法最經濟的，是用已經成功的方法繼續“修正彈著點”，依然過點E作EH⊥CE，交CG于點H，過點H作HK⊥DG，如下圖：

對于條件sin∠FCE=1/3，需要變換，在Rt△CEH中，EH=k，CH=3k，于是CE=2√2k，因此我們又得到∠FCE的正切值，為1:2√2，“舊題”重現了，簡證如下：

同時提供原題參考答案，如下圖：

解題反思

本題解法多樣，除了參考答案給出的方法，以及本文中的方法之外，還可以利用勾股定理列方程求解，只不過得到的是一個高次方程，恰好這個高次方程可以利用完全平方公式化簡降次，或者利用三角函數和差公式，不添加輔助線亦可完成。

找到思路的關鍵是對圖中幾對相似三角形的證明，同時利用它們的比例線段完成方程的構建或等量轉換，對學生代數恒等變換提出了較高要求，甚至不少學生憑借計算功底“死算”也能從解高次方程或無理方程中得到結果，從這個角度來看，本題更偏向于代數解析。

從形式上來看，正方形背景不變，△CEF的形狀和位置改變，從特殊的直角三角形到一般三角形，頂點E從中點到普通一點，又成為動線段的中點，從而帶動整個圖形的變化，衍生出本題三小題，難度設置上由易至難，階梯上升，具備了較好的區分。

其中的三角函數值條件，本質上與△CEF的形狀有關，無論是正切值或正弦值，在直角三角形中，均可相互轉換，這也是本文解法一脈相承的基礎。思維的經濟性較好，前面得到的結論在后面的推導過程中可以繼續使用，從而節省了學生思考的時間，參考答案中的方法同樣優秀，也是一脈相承，保持了較好的經濟性，從這個意義上看，體現了命題者的人文關懷。

最后，留下幾點思考：第一，為什么很多學生在考試中使用勾股定理建構方程，在得到高次方程后，舍不得轉換賽道？第二，執著于代數解析思想求解幾何壓軸題，是否也是學習中的不利傾向？第三，本題可采用高中知識，并且能夠“秒殺”，這在命題過程中很難避免，但在教學中，個人認為不應該鼓勵，甚至在課堂上進行此類教學，畢竟個別學生的超前不代表全體，而我們的教學，恰恰要面對全體學生。

教研參考書籍推薦

《從優秀試題研究中領悟初中數學教學》（張欽著）

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