讀懂條件，分類討論

2023年春伍家崗區(qū)八年級數(shù)學(xué)期末第24題閱卷分析

人教版八年級數(shù)學(xué)下冊的平行四邊形、一次函數(shù)背景下，探究圖形存在性，通常要進(jìn)行分類，尤其當(dāng)題目條件中出現(xiàn)了平行四邊形、等腰三角形時，格外留意多種形狀的存在性。

2023年春伍家崗區(qū)八年級數(shù)學(xué)期末第24題，以一次函數(shù)為背景，探討其中的平行四邊形、等腰三角形存在性，對學(xué)生構(gòu)圖能力提出較高要求，這是一道代幾綜合壓軸題，在解答過程中，暴露出學(xué)生思考問題全面性還存在一定漏洞，同時本題解法眾多，勾股定理、圖形的平移、一次函數(shù)圖象性質(zhì)均可作為突破口。

題目

已知點C是射線y=1/2x(x>0)上一動點，直線MN交y軸于點B（0，4），交x軸負(fù)半軸于點A，點E是直線AB上一動點，點H在x軸正半軸上.

(1)如圖1，若∠CBO=2∠MBC，∠CAO=2∠CAB，求∠BCA；

(2)如圖2，若∠BCO=2∠COH，求直線BC的解析式；

(3)當(dāng)OCBE為平行四邊形，△OBC為等腰三角形時，求點E的坐標(biāo).

解析：

01

(1)關(guān)于角度之間的數(shù)量關(guān)系，通常情況下用字母表示會快捷一些，不妨設(shè)∠MBC=α，則∠CBO=2α，設(shè)∠CAB=β，則∠CAO=2β，如下圖：

對于△AOB，∠MBO是它的一個外角，則∠MBO=∠BAO+∠AOB，即3α=3β+90°，可得α-β=30°；

對于△ABC，∠MBC是它的一個外角，則

∠MBC=∠BAC+∠BCA，即α=β+∠BCA，可得∠BCA=α-β=30°；

02

(2)倍角條件通常可化為等角條件，“截大補(bǔ)小”，本題中采用前者，過點C作CD⊥y軸，如下圖：

顯然CD∥x軸，得∠DCO=∠COH，而由∠BCO=2∠COH，可知CD平分∠BCO，這樣容易證明點D是OB中點，從而得到點C縱坐標(biāo)為2，于是C(4,2)，結(jié)合點B坐標(biāo)(0,4)，可求出直線BC的解析式為y=-1/2x+4；

03

(3)本題圖形的存在性有兩層，首先是等腰三角形OBC，其次是平行四邊形OCBE，要注意的是，平行四邊形四個頂點順序是相對固定的，這句話不同于“以O(shè)、C、B、E為頂點的平行四邊形”，需要討論的情況不會那么多，我們首先針對等腰△OBC進(jìn)行分類：當(dāng)BC=OC時；當(dāng)BC=BO時；OB=OC時；

①當(dāng)BC=OC時，這是最為簡單的一種情況，幾乎可以直接看出結(jié)果，如下圖：

其中點E和點C關(guān)于y軸對稱，因此E(-4,2)；

若沒有名稱規(guī)定限制，其實還有如下平行四邊形，如下圖：

錯誤示例

當(dāng)然這兩個圖形并不符合本小題要求，它們的名稱分別是平行四邊形OBCE和平行四邊形OBEC；

②當(dāng)BC=BO時，如下圖：

過點C作CD⊥y軸，利用點C在直線y=1/2x上的特點，設(shè)C(2t,t)，于是CD=2t，BD=4-t，BC=BO=4，Rt△BCD中，由勾股定理列方程得16=(4-t)2+4t2，解得t=8/5，于是C(16/5,8/5)，根據(jù)OE與CB平行且相等，由平移性質(zhì)求得E(-16/5,12/5)；

③當(dāng)OB=OC時，如下圖：

輔助線同上，仍然設(shè)C(2t,t)，在Rt△COD中，利用勾股定理求出t=4√5/5，于是C(8√5/5,4√5/5)，同樣由平移性質(zhì)求得E(-8√5/5,4-4√5/5)；

綜上所述，點E總共有三種情況，分別是(-4,2)，(-16/5,12/5)，(-8√5/5,4-4√5/5).

解題反思

從閱卷結(jié)果來看，本小題的答題情況明顯兩極分化，從得分段上來看，0分居多，一般能完成第1問的，基本上第2問也能夠完成，所以6分比3分人數(shù)要多，剩下得到6分以上的比較少。在得分答卷中，滿分較少，這里需要說明的是，只寫答案不給過程，評分是1分，最后一問寫出6個甚至9個坐標(biāo)的，雖然都是對的，但不在題目要求范圍內(nèi)，相應(yīng)扣了1分，這是典型的審題錯誤。這道題對學(xué)生的區(qū)分主要是第3問的那句“平行四邊形OCBE”上，與數(shù)學(xué)知識關(guān)系不大。

本題方法眾多，也可利用等腰三角形三線合一，全等三角形等求坐標(biāo)，基本上平時認(rèn)真學(xué)習(xí)的學(xué)生，在這道題上并不會感到有多大困難。

僅對最后一小題的區(qū)分設(shè)置提出一點個人看法，如果是通常的存在性問題探究，那么我們一般不會區(qū)分四個頂點的順序，這樣自由度更大，也更貼近考察學(xué)生的本意，當(dāng)然這樣的話會出現(xiàn)總共9種情況，確實多了一點，如何減少結(jié)果個數(shù)，同時又能利用數(shù)學(xué)思維本身的提升去區(qū)分學(xué)生呢？

只需要把平行四邊形改為菱形。

“以O(shè)、C、B、E為頂點的菱形”，至于哪條線段為邊，哪條線段為對角線，由學(xué)生自由探索，有興趣的老師們可以試試。

當(dāng)然這樣修改之后，對學(xué)生而言難度提升有限，但好處是減少因讀題產(chǎn)生的誤區(qū)，這道題看上去是一次函數(shù)壓軸題，實質(zhì)上卻是一道幾何題。

在平時教學(xué)中，如何培養(yǎng)學(xué)生分類討論的習(xí)慣，這需要我們在課堂上給學(xué)生足夠的時間去思考，從不同角度看，從不同角度思考，相互交流印證，拓寬思維，養(yǎng)成習(xí)慣。

教研參考書籍推薦

《從優(yōu)秀試題研究中領(lǐng)悟初中數(shù)學(xué)教學(xué)》（張欽著）

微信小程序鏈接

微信二維碼：