讀懂條件，分類討論

2023年春伍家崗區八年級數學期末第24題閱卷分析

人教版八年級數學下冊的平行四邊形、一次函數背景下，探究圖形存在性，通常要進行分類，尤其當題目條件中出現了平行四邊形、等腰三角形時，格外留意多種形狀的存在性。

2023年春伍家崗區八年級數學期末第24題，以一次函數為背景，探討其中的平行四邊形、等腰三角形存在性，對學生構圖能力提出較高要求，這是一道代幾綜合壓軸題，在解答過程中，暴露出學生思考問題全面性還存在一定漏洞，同時本題解法眾多，勾股定理、圖形的平移、一次函數圖象性質均可作為突破口。

題目

已知點C是射線y=1/2x(x>0)上一動點，直線MN交y軸于點B（0，4），交x軸負半軸于點A，點E是直線AB上一動點，點H在x軸正半軸上.

(1)如圖1，若∠CBO=2∠MBC，∠CAO=2∠CAB，求∠BCA；

(2)如圖2，若∠BCO=2∠COH，求直線BC的解析式；

(3)當OCBE為平行四邊形，△OBC為等腰三角形時，求點E的坐標.

解析：

01

(1)關于角度之間的數量關系，通常情況下用字母表示會快捷一些，不妨設∠MBC=α，則∠CBO=2α，設∠CAB=β，則∠CAO=2β，如下圖：

對于△AOB，∠MBO是它的一個外角，則∠MBO=∠BAO+∠AOB，即3α=3β+90°，可得α-β=30°；

對于△ABC，∠MBC是它的一個外角，則

∠MBC=∠BAC+∠BCA，即α=β+∠BCA，可得∠BCA=α-β=30°；

02

(2)倍角條件通常可化為等角條件，“截大補小”，本題中采用前者，過點C作CD⊥y軸，如下圖：

顯然CD∥x軸，得∠DCO=∠COH，而由∠BCO=2∠COH，可知CD平分∠BCO，這樣容易證明點D是OB中點，從而得到點C縱坐標為2，于是C(4,2)，結合點B坐標(0,4)，可求出直線BC的解析式為y=-1/2x+4；

03

(3)本題圖形的存在性有兩層，首先是等腰三角形OBC，其次是平行四邊形OCBE，要注意的是，平行四邊形四個頂點順序是相對固定的，這句話不同于“以O、C、B、E為頂點的平行四邊形”，需要討論的情況不會那么多，我們首先針對等腰△OBC進行分類：當BC=OC時；當BC=BO時；OB=OC時；

①當BC=OC時，這是最為簡單的一種情況，幾乎可以直接看出結果，如下圖：

其中點E和點C關于y軸對稱，因此E(-4,2)；

若沒有名稱規定限制，其實還有如下平行四邊形，如下圖：

錯誤示例

當然這兩個圖形并不符合本小題要求，它們的名稱分別是平行四邊形OBCE和平行四邊形OBEC；

②當BC=BO時，如下圖：

過點C作CD⊥y軸，利用點C在直線y=1/2x上的特點，設C(2t,t)，于是CD=2t，BD=4-t，BC=BO=4，Rt△BCD中，由勾股定理列方程得16=(4-t)2+4t2，解得t=8/5，于是C(16/5,8/5)，根據OE與CB平行且相等，由平移性質求得E(-16/5,12/5)；

③當OB=OC時，如下圖：

輔助線同上，仍然設C(2t,t)，在Rt△COD中，利用勾股定理求出t=4√5/5，于是C(8√5/5,4√5/5)，同樣由平移性質求得E(-8√5/5,4-4√5/5)；

綜上所述，點E總共有三種情況，分別是(-4,2)，(-16/5,12/5)，(-8√5/5,4-4√5/5).

解題反思

從閱卷結果來看，本小題的答題情況明顯兩極分化，從得分段上來看，0分居多，一般能完成第1問的，基本上第2問也能夠完成，所以6分比3分人數要多，剩下得到6分以上的比較少。在得分答卷中，滿分較少，這里需要說明的是，只寫答案不給過程，評分是1分，最后一問寫出6個甚至9個坐標的，雖然都是對的，但不在題目要求范圍內，相應扣了1分，這是典型的審題錯誤。這道題對學生的區分主要是第3問的那句“平行四邊形OCBE”上，與數學知識關系不大。

本題方法眾多，也可利用等腰三角形三線合一，全等三角形等求坐標，基本上平時認真學習的學生，在這道題上并不會感到有多大困難。

僅對最后一小題的區分設置提出一點個人看法，如果是通常的存在性問題探究，那么我們一般不會區分四個頂點的順序，這樣自由度更大，也更貼近考察學生的本意，當然這樣的話會出現總共9種情況，確實多了一點，如何減少結果個數，同時又能利用數學思維本身的提升去區分學生呢？

只需要把平行四邊形改為菱形。

“以O、C、B、E為頂點的菱形”，至于哪條線段為邊，哪條線段為對角線，由學生自由探索，有興趣的老師們可以試試。

當然這樣修改之后，對學生而言難度提升有限，但好處是減少因讀題產生的誤區，這道題看上去是一次函數壓軸題，實質上卻是一道幾何題。

在平時教學中，如何培養學生分類討論的習慣，這需要我們在課堂上給學生足夠的時間去思考，從不同角度看，從不同角度思考，相互交流印證，拓寬思維，養成習慣。

教研參考書籍推薦

《從優秀試題研究中領悟初中數學教學》（張欽著）

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