正方形背景下的線段和最值問題

在人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)中，四邊形章節(jié)內(nèi)容最為豐滿，它上承全等三角形、軸對(duì)稱變換、勾股定理，下接相似三角形、圓，是八年級(jí)下學(xué)期的重點(diǎn)章節(jié)之一，甚至在中考?jí)狠S題里，不乏它的存在。

2024年省考在即，便以一道武漢八年級(jí)幾何壓軸題為例，探索幾何解題教學(xué)的方向，明確到底怎么考，確定以后怎么教。

題目

已知正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，M是AO上一點(diǎn).

(1)如圖1，AQ⊥DM于點(diǎn)N，交BO于點(diǎn)Q；

①求證：OM=OQ；

②若DQ=DC，求(NQ+MN)/DM的值；

(2)如圖2，M是AO的中點(diǎn)，線段EF(點(diǎn)E在點(diǎn)F的左邊)在直線BD上運(yùn)動(dòng)，連結(jié)AF、ME.

若AB=4，EF=√2，則AF+ME的最小值是_________，當(dāng)AF+ME取最小值時(shí)DF的長為_________.

解析：

01

(1)①第一個(gè)結(jié)論非常容易得到，圖中可證明△DOM≌△AOQ，從而得到OM=OQ；

②新增DQ=DC條件，我們立刻可以得到等腰△ADQ，在這個(gè)等腰三角形中，AQ⊥DM可以推導(dǎo)出點(diǎn)N是AQ中點(diǎn)，理由是三線合一；同時(shí)點(diǎn)N還是Rt△AOQ斜邊上的中點(diǎn)，這使我們聯(lián)想到直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，因此連接ON，順便在另一個(gè)Rt△DOM內(nèi)，我們也作其斜邊上的中線OG，如下圖：

由于在前面已經(jīng)證明了△DOM≌△AOQ，所以根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)線段相等，得到OG=ON，也能證明OG⊥ON，因此得到等腰Rt△GON；

為方便推導(dǎo)線段間的數(shù)量關(guān)系，我們不妨設(shè)NQ=x，則ON=OG=x，NG=√2x，DM=2OG=2x

于是NQ+MN=NG=√2x，所以(NQ+MN)/DM=√2/2；

02

(2)在八年級(jí)階段，涉及到最值問題的兩大基本定理是“兩點(diǎn)之間，線段最短”、“垂線段最短”，在本題中，兩條線段和的最小值，我們得想辦法將它們“拼”到一處，基本思路就是尋找另一條線段，無論EF在什么位置，都能保證分別等于AF和ME；

由正方形的軸對(duì)稱性，我們很快可以找到一條始終等于AF的線段，連接CF，于是AF=CF；

ME又會(huì)與哪條線段相等呢？

由條件EF=√2我們發(fā)現(xiàn)，圖中長度等于√2的線段還真不少，例如OM、AM，可惜這兩條線段雖然長度與EF相同，但是“方向”不同，若要都相同，也不是辦法，我們?nèi)D中點(diǎn)H，連接MH，如下圖：

由于MH是△AOD中位線，因此MH∥BD，且MH=1/2OD=√2，這樣我們得到MH與EF平行且相等，于是能證明平行四邊形EFHM，所以ME=HF；

現(xiàn)在我們成功地將AF和ME分別用CF、HF替代，其中點(diǎn)H、C是兩個(gè)定點(diǎn)，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”可知，連接CH之后，即能得到最小值，如下圖：

由勾股定理求出CH=2√5，此時(shí)過點(diǎn)F分別作FN⊥CD，F(xiàn)K⊥AD，易得FN=FK，由面積法來求FN長度，S△CDH=4，S△DHF=1/2DH·FK，S△CDF=1/2CD·FN，得方程4=FN+2FN，解得FN=4/3，所以DF=4√2/3.

解題反思

從這道題的三個(gè)小題的設(shè)置中，我們可以發(fā)現(xiàn)源頭是正方形中的常見全等三角形，△DOM與△AOQ，前者繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到后者，以旋轉(zhuǎn)變換作為基本思路，來設(shè)置其中的特殊位置，即第二個(gè)問題，求比值；

在第2小問中，突破口其實(shí)暗示得很明顯，就是等腰△ADQ，三線合一，再聯(lián)想直角三角形斜邊上的中線，從而再一次構(gòu)造出一個(gè)新的等腰直角三角形，這仍然是基于第1小問的結(jié)果；

在探索最值問題的過程中，學(xué)生往往知道兩個(gè)基本定理，但硬是想不到如何“拼”到一處，至少說明在八年級(jí)學(xué)習(xí)軸對(duì)稱章節(jié)時(shí)，對(duì)于飲馬問題的研究不夠深入，我們回到那節(jié)課上來看看：

人教版教材八年級(jí)上冊(cè)85頁，課題學(xué)習(xí)《最短路徑問題》中，有兩個(gè)問題：飲馬問題和造橋選址問題，分別利用了軸對(duì)稱和平移，完成了將兩條線段“拼”到一處，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”解決了問題，這兩個(gè)問題并不難，在多數(shù)課堂上，學(xué)生表現(xiàn)往往很不錯(cuò)，在熱鬧的課堂氣氛中，作為教師，需要思考的是：他們是真的明白了？

所謂真的明白，是理解了為什么要用軸對(duì)稱和平移，“兩點(diǎn)之間線段最短”中的兩點(diǎn)是什么樣的兩點(diǎn)？線段又是如何連接的？等問題都明確知道結(jié)果，在實(shí)際教學(xué)中，有不少學(xué)生只是半懂，這直接反映在解題過程中，將兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)直接用線段連接起來，然后告訴大家，這條線段最短；或者在解題中，不知道該作哪個(gè)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，不知道該以哪條線為對(duì)稱軸，這種種跡象表明，在這節(jié)課題學(xué)習(xí)中，教學(xué)還存在些許問題。

在課堂上，遇到不會(huì)的問題，聽老師講完，覺得理解了，是假象，這種理解，是知其然，而不知其所以然。上課的熱乎勁一過，遺忘便開始，而要解決這種遺忘，需要在課后進(jìn)行思考，為什么我沒想到？老師是如何想到的？沿這條反思之路，很容易觸及數(shù)學(xué)的本質(zhì)，這也是老師希望學(xué)生走的方向。

從教學(xué)角度，為什么學(xué)生在老師講完之后，仍然不能領(lǐng)悟，遇到同類型問題依然不會(huì)呢？是講得不夠多？還是不夠細(xì)？我覺得都不是，老師講只是單方向輸出，還要考慮學(xué)生的接收，消化，通常情況下，課堂上應(yīng)留有余地，教學(xué)設(shè)計(jì)中要留白，這些空余時(shí)間就是給予學(xué)生反思的時(shí)間，畢竟在課堂上，在老師注視下，學(xué)生的反思很容易被捕捉，方向也可控，至少比學(xué)生回家后可控。

學(xué)生是否養(yǎng)成了反思習(xí)慣，和老師密切相關(guān)，學(xué)生最容易模仿的對(duì)象，就是老師，因此平時(shí)教學(xué)中的一舉一動(dòng)，一言一行，都在向?qū)W生傳授，請(qǐng)問老師們，平時(shí)的教學(xué)，反思了嗎？

做好教學(xué)反思，并不是一件簡(jiǎn)單的事，同時(shí)也不是一件難事，這兩句看似矛盾的話其實(shí)是統(tǒng)一的，它簡(jiǎn)單在于，我們每天都能夠進(jìn)行教學(xué)思考，隨時(shí)都可以思考，課后10分鐘，批改作業(yè)時(shí)，同事交流時(shí)，而難處在于，思考要有導(dǎo)向，不能流于形式。

從反思中學(xué)習(xí)，從反思中進(jìn)步，活到老，學(xué)到老，是每位老師的“終身大事”。

如果不清楚如何反思，建議參考《從優(yōu)秀試題研究中領(lǐng)悟初中數(shù)學(xué)教學(xué)》(張欽著)，獲取方式如下：

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