難亦有道，各得其法

2023年上海中考數(shù)學(xué)第25題

一道優(yōu)秀的幾何壓軸題，往往解法眾多，通過(guò)巧妙地設(shè)置各幾何元素間的關(guān)聯(lián)，構(gòu)造出特殊結(jié)構(gòu)的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并設(shè)置求解問(wèn)題。這樣的命題方式使得學(xué)生面臨解題時(shí)，入口很寬，并且有多條路可走，無(wú)論學(xué)生擅長(zhǎng)幾何證明的哪一種方法，只要根據(jù)條件推理，總能找到適合自已的路。

上海這道壓軸題，將等腰三角形、圓、相似三角形、全等三角形、平行四邊形、勾股定理等有機(jī)結(jié)合起來(lái)，提供了眾多思路，與往年壓軸題不太相同，對(duì)學(xué)生多樣化的思路較為包容，是一道好題。

題目

如圖1所示，已知在△ABC中，AB=AC，O在邊AB上，點(diǎn)F為邊OB中點(diǎn)，以O(shè)為圓心，BO為半徑的圓分別交CB，AC于點(diǎn)D，E，聯(lián)結(jié)EF交OD于點(diǎn)G.

(1)如果OG=DG，求證：四邊形CEGD為平行四邊形；

(2)如圖2所示，聯(lián)結(jié)OE，如果∠BAC=90°，∠OFE=∠DOE，AO=4，求邊OB的長(zhǎng)；

(3)聯(lián)結(jié)BG，如果△OBG是以O(shè)B為腰的等腰三角形，且AO=1/2OB，求OG/OD的值.

解析：

01

(1)由AB=AC，OB=OD得∠B=∠C=∠ODB，于是OD∥AC，再加上OG=DG，即點(diǎn)G是OD中點(diǎn)，而點(diǎn)F是OB中點(diǎn)，所以FG是△OBD中位線，因此FG∥BD即EG∥CD，所以四邊形CEGD是平行四邊形；

02

(2)由條件∠OFE=∠DOE易得相似三角形，如下圖：

前一小題中，我們得到的OD∥AC依然可用，因此∠FOG=∠A=90°，∠DOE=∠AEO，于是可證明∠OFG=∠AEO，則△AEF∽△AOE，不妨設(shè)OB=x是，則OF=x/2，由相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例得AE:AF=AO:AE，化成AE2=AO·AF，再由勾股定理得AE2=OE2-AO2，于是可列方程x2-16=4(4+x/2)，解得x=1+√33；

03

(3)解讀“△OBG是以O(shè)B為腰的等腰三角形”，即存在兩種可能：OB=GB或OB=OG，由于點(diǎn)G是EF與OD交點(diǎn)，因此點(diǎn)G不可能與點(diǎn)D重合，因此只剩下一種可能OB=GB；

由AO=1/2OB可得OA=OF=BF，觀察OG與OD，直觀猜想點(diǎn)G是OD中點(diǎn)，證明線段中點(diǎn)的方法就非常多了，我們先從最常見(jiàn)的思路開(kāi)始：

01

方法一：

延長(zhǎng)GF至點(diǎn)H，使FH=GF，這是倍長(zhǎng)中線法，如下圖：

第一對(duì)全等很容易證明，△BFG≌△OFH，設(shè)OA=a，則OF=BF=a，OB=2a，由OB=GB得GB=2a，由BG=OH得OH=2a，由半徑OE=OB得OE=2a，得等腰△OEH，所以∠H=∠OEH，由全等三角形得∠H=∠BGF，于是∠OEH=∠BGF；

由AO=OF，OD∥AC進(jìn)一步可得OG是△AEF中位線，于是EG=GF=FH，現(xiàn)在我們可以證明第二對(duì)全等了，△OEG≌△OHF，所以O(shè)F=OG=a；

最后求得OG/OD=1/2；

02

方法二：

延長(zhǎng)BG，交OE于點(diǎn)K，交AC于點(diǎn)H，利用相似三角形來(lái)證明，如下圖：

設(shè)OA=OF=BF=a，則OB=OD=OE=AF=2a，而OG是△AEF中位線，則AE=2OG，由OD∥AC得第一對(duì)相似，△BOG∽△BAH，且相似比為2：3，得OG=2/3AH；

設(shè)OG/OD=k，則OG=2ka，我們可表示出AH=3ka，AE=4ka；

第二對(duì)相似，△EHK∽△OGK，相似比為1：2，得EK=2/3a，OK=4/3a，于是HK=1/3a，GK=2/3a，所以EK=GK，得到∠KEG=∠KGE=∠BGF，再加上前面證明過(guò)的FG=EG，BG=OE，得△EOG≌△GBF，所以O(shè)G=OF；

最后求得OG/OD=1/2；

03

方法三：

過(guò)點(diǎn)G作GS⊥AB，取OF中點(diǎn)T，利用勾股定理來(lái)表示OG的長(zhǎng)，如下圖：

分別在Rt△BGS和Rt△TGS中使用勾股定理，得GS2=BG2-BS2=GT2-ST2，仍然設(shè)OA=OF=BF=a，則BG=2a，GT是△OEF中位線，于是GT=a，代入得4a2-(BT+ST)2=a2-ST2

3a2=(BT+ST)2-ST2

3a2=(BT+2ST)BT

而B(niǎo)T=BF+TF=3/2a

所以可求出ST=1/4a，再求出GS2=15/16a2，OS=1/4a，再由勾股定理求出OG=a，最后求出OG/OD=1/2；

本題還可以用余弦定理，或者構(gòu)造等腰梯形等方法，不再一一列舉。

教學(xué)思考

本題上手較為容易，難點(diǎn)在第3小題，通常情況下求比值聯(lián)系到相似三角形，沒(méi)有問(wèn)題，但從實(shí)際解題來(lái)看，一開(kāi)始就選擇相似三角形，用比例式去求比值的學(xué)生，計(jì)算基本功還是相當(dāng)不錯(cuò)的，否則會(huì)陷入若干個(gè)彼此類似的相似三角形的選擇困難中，畢竟平行線構(gòu)造出的相似三角形在題中很多，顯然這并不是本題最簡(jiǎn)單的解法。

而構(gòu)造全等三角形則是利用了經(jīng)典的中線倍長(zhǎng)法，并且只需要用到八年級(jí)的知識(shí)即可完成，相對(duì)思維的量會(huì)少一些，多數(shù)學(xué)生是能夠順利完成的。

利用雙勾股列方程來(lái)表示邊長(zhǎng)，再利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，同樣計(jì)算量較大，適合于擅長(zhǎng)利用直角三角形邊角條件的學(xué)生。

當(dāng)然由上述三種方法延伸而出的更多方法，原理上大同小異，余弦定理是高中內(nèi)容，不在本文討論范圍之中。

在教學(xué)中，我們會(huì)教給學(xué)生眾多解法，難點(diǎn)是學(xué)生在聽(tīng)完教師講解之后，理解的程度不同，從而在實(shí)際解題中，運(yùn)用的成功率也不同。第一層次的理解，只是聽(tīng)懂了教師講的過(guò)程，思維跟著教師走一圈，順利得到了結(jié)論；第二層次的理解，明白了教師為什么這樣解，并能在課后獨(dú)立復(fù)現(xiàn)解題過(guò)程；第三層次的理解，通過(guò)解題，掌握解法原理，適用題型，明白題目為什么這樣設(shè)置，能在課后獨(dú)立完成類似的題目。

以上僅針對(duì)認(rèn)為自已“聽(tīng)懂”了的學(xué)生，真懂還是半懂，得拉出來(lái)溜一圈，即學(xué)習(xí)反思。

在研題系列視頻中，2020年上海第25題和2021年上海第25題，分別由高飛老師和唐斌老師主講，前者的研究論文已經(jīng)收錄在《從優(yōu)秀試題研究中領(lǐng)悟初中數(shù)學(xué)教學(xué)》(上)一書(shū)，關(guān)于上海幾何壓軸題的研究，書(shū)上已經(jīng)開(kāi)了個(gè)好頭，等中冊(cè)出版，我們有望看到研究的繼續(xù)深入。

教研參考書(shū)籍推薦

《從優(yōu)秀試題研究中領(lǐng)悟初中數(shù)學(xué)教學(xué)》（張欽著）