難亦有道，各得其法

2023年上海中考數學第25題

一道優秀的幾何壓軸題，往往解法眾多，通過巧妙地設置各幾何元素間的關聯，構造出特殊結構的位置關系和數量關系，并設置求解問題。這樣的命題方式使得學生面臨解題時，入口很寬，并且有多條路可走，無論學生擅長幾何證明的哪一種方法，只要根據條件推理，總能找到適合自已的路。

上海這道壓軸題，將等腰三角形、圓、相似三角形、全等三角形、平行四邊形、勾股定理等有機結合起來，提供了眾多思路，與往年壓軸題不太相同，對學生多樣化的思路較為包容，是一道好題。

題目

如圖1所示，已知在△ABC中，AB=AC，O在邊AB上，點F為邊OB中點，以O為圓心，BO為半徑的圓分別交CB，AC于點D，E，聯結EF交OD于點G.

(1)如果OG=DG，求證：四邊形CEGD為平行四邊形；

(2)如圖2所示，聯結OE，如果∠BAC=90°，∠OFE=∠DOE，AO=4，求邊OB的長；

(3)聯結BG，如果△OBG是以OB為腰的等腰三角形，且AO=1/2OB，求OG/OD的值.

解析：

01

(1)由AB=AC，OB=OD得∠B=∠C=∠ODB，于是OD∥AC，再加上OG=DG，即點G是OD中點，而點F是OB中點，所以FG是△OBD中位線，因此FG∥BD即EG∥CD，所以四邊形CEGD是平行四邊形；

02

(2)由條件∠OFE=∠DOE易得相似三角形，如下圖：

前一小題中，我們得到的OD∥AC依然可用，因此∠FOG=∠A=90°，∠DOE=∠AEO，于是可證明∠OFG=∠AEO，則△AEF∽△AOE，不妨設OB=x是，則OF=x/2，由相似三角形對應線段成比例得AE:AF=AO:AE，化成AE2=AO·AF，再由勾股定理得AE2=OE2-AO2，于是可列方程x2-16=4(4+x/2)，解得x=1+√33；

03

(3)解讀“△OBG是以OB為腰的等腰三角形”，即存在兩種可能：OB=GB或OB=OG，由于點G是EF與OD交點，因此點G不可能與點D重合，因此只剩下一種可能OB=GB；

由AO=1/2OB可得OA=OF=BF，觀察OG與OD，直觀猜想點G是OD中點，證明線段中點的方法就非常多了，我們先從最常見的思路開始：

01

方法一：

延長GF至點H，使FH=GF，這是倍長中線法，如下圖：

第一對全等很容易證明，△BFG≌△OFH，設OA=a，則OF=BF=a，OB=2a，由OB=GB得GB=2a，由BG=OH得OH=2a，由半徑OE=OB得OE=2a，得等腰△OEH，所以∠H=∠OEH，由全等三角形得∠H=∠BGF，于是∠OEH=∠BGF；

由AO=OF，OD∥AC進一步可得OG是△AEF中位線，于是EG=GF=FH，現在我們可以證明第二對全等了，△OEG≌△OHF，所以OF=OG=a；

最后求得OG/OD=1/2；

02

方法二：

延長BG，交OE于點K，交AC于點H，利用相似三角形來證明，如下圖：

設OA=OF=BF=a，則OB=OD=OE=AF=2a，而OG是△AEF中位線，則AE=2OG，由OD∥AC得第一對相似，△BOG∽△BAH，且相似比為2：3，得OG=2/3AH；

設OG/OD=k，則OG=2ka，我們可表示出AH=3ka，AE=4ka；

第二對相似，△EHK∽△OGK，相似比為1：2，得EK=2/3a，OK=4/3a，于是HK=1/3a，GK=2/3a，所以EK=GK，得到∠KEG=∠KGE=∠BGF，再加上前面證明過的FG=EG，BG=OE，得△EOG≌△GBF，所以OG=OF；

最后求得OG/OD=1/2；

03

方法三：

過點G作GS⊥AB，取OF中點T，利用勾股定理來表示OG的長，如下圖：

分別在Rt△BGS和Rt△TGS中使用勾股定理，得GS2=BG2-BS2=GT2-ST2，仍然設OA=OF=BF=a，則BG=2a，GT是△OEF中位線，于是GT=a，代入得4a2-(BT+ST)2=a2-ST2

3a2=(BT+ST)2-ST2

3a2=(BT+2ST)BT

而BT=BF+TF=3/2a

所以可求出ST=1/4a，再求出GS2=15/16a2，OS=1/4a，再由勾股定理求出OG=a，最后求出OG/OD=1/2；

本題還可以用余弦定理，或者構造等腰梯形等方法，不再一一列舉。

教學思考

本題上手較為容易，難點在第3小題，通常情況下求比值聯系到相似三角形，沒有問題，但從實際解題來看，一開始就選擇相似三角形，用比例式去求比值的學生，計算基本功還是相當不錯的，否則會陷入若干個彼此類似的相似三角形的選擇困難中，畢竟平行線構造出的相似三角形在題中很多，顯然這并不是本題最簡單的解法。

而構造全等三角形則是利用了經典的中線倍長法，并且只需要用到八年級的知識即可完成，相對思維的量會少一些，多數學生是能夠順利完成的。

利用雙勾股列方程來表示邊長，再利用勾股定理進行計算，同樣計算量較大，適合于擅長利用直角三角形邊角條件的學生。

當然由上述三種方法延伸而出的更多方法，原理上大同小異，余弦定理是高中內容，不在本文討論范圍之中。

在教學中，我們會教給學生眾多解法，難點是學生在聽完教師講解之后，理解的程度不同，從而在實際解題中，運用的成功率也不同。第一層次的理解，只是聽懂了教師講的過程，思維跟著教師走一圈，順利得到了結論；第二層次的理解，明白了教師為什么這樣解，并能在課后獨立復現解題過程；第三層次的理解，通過解題，掌握解法原理，適用題型，明白題目為什么這樣設置，能在課后獨立完成類似的題目。

以上僅針對認為自已“聽懂”了的學生，真懂還是半懂，得拉出來溜一圈，即學習反思。

在研題系列視頻中，2020年上海第25題和2021年上海第25題，分別由高飛老師和唐斌老師主講，前者的研究論文已經收錄在《從優秀試題研究中領悟初中數學教學》(上)一書，關于上海幾何壓軸題的研究，書上已經開了個好頭，等中冊出版，我們有望看到研究的繼續深入。

教研參考書籍推薦

《從優秀試題研究中領悟初中數學教學》（張欽著）