圓背景下的無刻度直尺作圖

利用無刻度直尺作圖，意味著作圖過程中只能進行連接、延長等操作，我們在正方形網(wǎng)格中作圖，還可利用網(wǎng)格線間的平行或垂直關(guān)系，而在圓背景下進行此類作圖，則需要充分理解圓內(nèi)弦、圓心角、圓周角、弧之間的關(guān)聯(lián)，從軸對稱性和旋轉(zhuǎn)對稱性去看上述元素間的關(guān)系，構(gòu)造合適的圖形。

題目

解析：

01

（1）對于圖1，需要分析其中的等腰△ABC及AO的關(guān)系，由于圓和等腰三角形均為軸對稱圖形，作為等腰三角形的外接圓，其圓心（外心）一定在BC邊的垂直平分線上，同時OA作為半徑，它所在直線是圓的對稱軸，因此AO⊥BC，說明我們只需要過點B作BC的垂線即可達到要求；

過點B作BC的垂線，即以點B為直角頂點構(gòu)造一個直角，這令人聯(lián)想到圓周角，顯然直徑所對的圓周角是直角，如下圖：

02

（2）題目要求畫的∠MBN是圓周角，已知的∠ABC=120°也是圓周角，如何完成這種轉(zhuǎn)換？圖中我們將圓周角所對的弧端點與圓心連接并延長，可得到一個圓心角∠MON，如下圖：

此時的∠MON與∠MBN對同一條弧MN，同時∠MON對頂角是∠AOC，∠AOC所對劣弧為弧ABC，優(yōu)弧為弧ANC，∠ABC所對弧為優(yōu)弧ANC，因此可得到∠AOC=120°，即∠MON=120°，最后求得∠MBN=60°；

03

（3）先觀察這個△ABC，通過計算邊長或角度，發(fā)現(xiàn)∠ABC=90°，即這是一個直角三角形，因此我們在找圓心時，會簡單一些，根據(jù)90°的圓周角所對的弦是直徑，AC邊就是直徑，圓心就在AC中點處；

在網(wǎng)格中作線段中點，多用構(gòu)造全等三角形的方法如下圖：

連接格點E、F，交AC于點O，即為所求；

角平分BM將直角∠ABC分成兩個45°角，觀察前面用過的格點E、F，可以證明BE⊥EF且BE=EF，如下圖：

則△BEF是等腰直角三角形，我們需要的45°角出來了，即∠EBF=45°，說明BF在∠ABC的角平分線上，我們延長BF交圓O于點M，即為所求。

解題反思

關(guān)于網(wǎng)格中使用無刻度直尺作圖，難度最高的是天津市中考卷，其次是武漢市中考卷，網(wǎng)格背景意味著作圖只需要連接或延長，連接格點、交點，延長線段；格線有平行與垂直兩種位置關(guān)系，這些條件可幫助我們構(gòu)造全等、相似等特殊關(guān)系，這種練習(xí)從七年級學(xué)習(xí)平行線和相交線便可開始了，當(dāng)然格線中這兩種最容易畫，而到了八年級學(xué)習(xí)了全等三角形之后，構(gòu)圖就極大豐富了，本題中的作圖就多次構(gòu)造不同的全等三角形，包括了教材中的X型全等，K型全等……再往后學(xué)習(xí)了特殊四邊形之后，進一步拓展作圖方法，到九年級引入圓，網(wǎng)格背景下的作圖難度就比較大了，甚至不用網(wǎng)格背景，僅用無刻度直尺作圖，也能在圓中構(gòu)造出需要的特殊圖形。

在壓軸題研題系列視頻中，周小倩老師的第90講里，對網(wǎng)格背景下的作圖進行了十分詳細的說明。在教學(xué)中，我自已在八年級全等學(xué)習(xí)完之后便進行了這些背景下的作圖嘗試，并針對性進行了諸如作平行線、垂線、角平分線的歸納，這些歸納不是一次性的，只是給出了“開局”，后續(xù)需要不斷進行補充、拓展，從而豐富學(xué)生的作圖經(jīng)驗。

對于網(wǎng)格作圖這種題型，個人認為并不需要刻意去進行大量模仿訓(xùn)練，而是要認真研究作圖原理，即尋求解決問題的方案，而不是解題，正方形網(wǎng)格作為背景，同樣也可以以菱形網(wǎng)格作為背景，甚至沒有網(wǎng)格，都不影響其中蘊含的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，反之，只要在課堂上真正落實了素養(yǎng)教學(xué)，無論什么背景，學(xué)生都能手到擒來。