女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

本文根據(jù)構(gòu)建對(duì)稱元素時(shí)使用的最小網(wǎng)格數(shù) (MNG) 和最小幾何形狀 (LGS)，提出了伊斯蘭幾何圖案 (IGP) 的合理分類。現(xiàn)有的按對(duì)稱群對(duì)重復(fù)圖案進(jìn)行分類的方法在很多情況下并不恰當(dāng)[Joy97]。對(duì)稱群理論與相關(guān)工匠的思維方式無關(guān)，完全忽略了單位圖案的屬性，只關(guān)注排列格式。本文認(rèn)為，目前的對(duì)稱群理論只是將其作為排列格式，而不是對(duì)伊斯蘭幾何圖案的分類，因?yàn)樗鼈儾捎玫氖?全局方法"，未能探索伊斯蘭幾何圖案建筑元素中的各種可能性。星形是伊斯蘭幾何圖案中最重要的元素，也是中心玫瑰花形，它構(gòu)成了本文研究的核心。本文提出了新的命名法，用于描述基于MNG和LGS 的單元圖案，用于構(gòu)建可用于實(shí)現(xiàn)最終設(shè)計(jì)的星形/玫瑰花形圖案。本文描述并演示了根據(jù)這種分類方法，在單元圖案最終設(shè)計(jì)所決定的網(wǎng)格中構(gòu)建星形/輪狀單元圖案的程序。

1. 簡(jiǎn)介

早在一千多年前，伊斯蘭工匠就開始在宮殿、清真寺和尖塔的表面裝飾伊斯蘭幾何圖案[Sai76]。這些幾何圖案始終如一地在表面上布滿星形區(qū)域，形成極具視覺效果的對(duì)稱圖案，因此被稱為 "伊斯蘭幾何圖案"。這些幾何圖案在歷史上常常令群理論家們敬畏不已，他們一直在努力對(duì)這些結(jié)構(gòu)進(jìn)行審慎的分類。人們?cè)啻螄L試對(duì)星形/玫瑰紋圖案進(jìn)行分類，結(jié)果產(chǎn)生了各種各樣的構(gòu)造組別和分類方法。Grunbaum和Shephard在試圖在獲得基本單元后，根據(jù)對(duì)稱群對(duì)這些幾何圖形進(jìn)行分解，從而得出原始圖案的屬性[Gru92]。歐洲的群論家 Dewdney 等人提出了一種基于周期性放置的圓的反射線的分類方法 [Dew93]。Lee 提出了伊斯蘭幾何圖案共同特征的簡(jiǎn)單構(gòu)造，但未能提出基準(zhǔn)分類定理 [Lee95]。此外，IGP 的一個(gè)重要方面也未能吸引任何類型的分類，那就是線條向間隙區(qū)域的天真延伸。為了描述延伸區(qū)域與單位圖案之間的關(guān)系，我們對(duì)現(xiàn)有的推斷幾何圖形的復(fù)雜性進(jìn)行了深入研究。阿巴斯（S.J. Abbas）和薩爾曼（A. Salman）在其具有里程碑意義的論文《伊斯蘭幾何圖案的對(duì)稱性》（A Symmetries of Islamic Geometrical Patterns）中堅(jiān)定地認(rèn)為，到目前為止，還沒有人對(duì)伊斯蘭幾何圖案進(jìn)行有價(jià)值的分類，并特別關(guān)注其構(gòu)造 [Abb95]。本文提出的論點(diǎn)是，"7種飾帶群 "和 "17種墻紙群 "等流行的現(xiàn)有對(duì)稱群純粹是基礎(chǔ)模型。需要在研究單元圖案構(gòu)造的基礎(chǔ)上進(jìn)行更精細(xì)、更完善的分類，并特別關(guān)注單元圖案的網(wǎng)格系統(tǒng)。通過 MNG、LGS 和網(wǎng)格的排列和組合，這種分類法為單元圖案的完成提供了無限可能。

2. 對(duì)稱

對(duì)稱意味著平衡、部分重復(fù)或形式簡(jiǎn)單統(tǒng)一。對(duì)稱僅僅意味著圖案。但對(duì)稱的范圍遠(yuǎn)不止吸引人的建筑和漂亮的圖案那么簡(jiǎn)單。不過，在數(shù)學(xué)上，對(duì)稱可以簡(jiǎn)單地定義為集合在變換下的屬性不變[Abb92]。群論表明，在一維對(duì)稱周期圖案中，可分析為七種不同類型，并提供識(shí)別特定對(duì)稱類型所需的信息 [Abb95]。同樣，在二維對(duì)稱周期圖案中，可以生成和識(shí)別十七種不同類型的圖案。單維對(duì)稱圖案被稱為 "7種飾帶群"，二維對(duì)稱圖案被稱為 "17種墻紙群"。本文通過分析對(duì)稱圖案各個(gè)元素的構(gòu)造，直觀地介紹了伊斯蘭幾何圖案中強(qiáng)大的圖案和對(duì)稱概念。下文將介紹現(xiàn)有的傳統(tǒng)對(duì)稱群理論，以支持我們的觀點(diǎn)，即它們只是排列圖案，而不是幾何圖形的分類理論，更不用說伊斯蘭幾何圖案了。

3. 7種飾帶群

保持給定直線不變（包括沿直線平移）的等距群稱為飾帶群。等距可定義為平面或空間的線性變換，它保持了點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離。Andrew Glassner[Gla99]對(duì)飾帶群、摩爾紋、鏡面反射和周期性密鋪等許多相關(guān)主題進(jìn)行了非常有啟發(fā)性的研究，為了說明7種飾帶群的論點(diǎn)（見圖 1），我們將介紹每個(gè)飾帶群的屬性。他展示了創(chuàng)建物理模型的價(jià)值，使我們能夠擴(kuò)展我們的可視化技能和對(duì)主題的感知。必須指出的是，從非常明確的意義上講，飾帶群理論誤導(dǎo)了對(duì)伊斯蘭幾何圖案的分類。數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，用對(duì)稱群來解釋圖案的規(guī)則性是非常方便和有用的。這樣，代數(shù)學(xué)和其他數(shù)學(xué)學(xué)科的成果就可以應(yīng)用于此類圖案的研究。然而，可以說這并不是工匠們?cè)趧?chuàng)作時(shí)所考慮的規(guī)則性概念。事實(shí)上，直到一個(gè)多世紀(jì)以前，即使對(duì)數(shù)學(xué)家來說，數(shù)學(xué)對(duì)象的規(guī)律性也有著完全不同的含義。這兩種方法的區(qū)別在很大程度上是全局觀點(diǎn)和局部觀點(diǎn)的對(duì)比。過去，數(shù)學(xué)家們用全等面、等角和其他局部性質(zhì)的要求來定義柏拉圖多面體等對(duì)象的正則性，而現(xiàn)在，人們習(xí)慣于用旗子集合上對(duì)稱群的反證性來定義正則性。同樣，工匠們的目的很可能是要?jiǎng)?chuàng)造出幾何圖案，其中各部分以某種特定的方式與其近鄰相關(guān)，而不是試圖獲得無限延伸設(shè)計(jì)的整體對(duì)稱性。

圖1. Andrew Glassner的7種飾帶群[Gal99] 4.

4. 17種墻紙群

已經(jīng)證實(shí)，在兩個(gè)獨(dú)立方向上存在17組不同的周期性二維圖案。這 17 個(gè)圖案也被通俗地稱為 17種墻紙群。不過，Xah Lee [Lee98] 給出了 17 墻紙群的基本命名法（見圖 2）?？死舜髮W(xué)的 David E. Joyce [Joy97] 在其關(guān)于 17 個(gè)平面對(duì)稱群的互聯(lián)網(wǎng)站中將對(duì)稱群視為平面圖案的分類。他寫道：“各種平面圖案可以通過使其不變的變換群來分類。對(duì)這些群的數(shù)學(xué)分析表明，正好有不同的平面對(duì)稱群”?，F(xiàn)在，從上面的插圖中可以很清楚地看出，飾帶群和墻紙群的理論提出了排列基準(zhǔn)，使我們能夠確定格式圖案排列的類型，而不是對(duì)單元圖案進(jìn)行分類。此外，我們還可以得出這樣的結(jié)論，即還沒有一種可行的、可論證的方法，從整體上對(duì)綜合圖案進(jìn)行分類，并特別關(guān)注其構(gòu)造。

圖2. Xah Lee [Lee 98] 的17種墻紙群

5. 網(wǎng)格法分類

本文的目的是根據(jù)伊斯蘭幾何圖案單元圖案的構(gòu)建提出一種新的分類法，因?yàn)槭聦?shí)證明現(xiàn)有的群理論并不能達(dá)到這一目的。

通常，任何給定的伊斯蘭幾何圖案都是根據(jù)其給定的幾何形狀來命名的。例如，在 Issam El-Said [Sai93] 的插圖中，圖案可以因?yàn)榘切嵌粴w類為六邊形圖案，也可以因?yàn)榘私切嵌粴w類為八邊形圖案，等等（見圖 3）。但這可能會(huì)產(chǎn)生誤導(dǎo)，因?yàn)榇蠖鄶?shù)伊斯蘭幾何圖案中最受歡迎的元素星形/玫瑰花形可能是由圓形、三角形、正方形、四邊形和六邊形等幾種幾何形狀組合而成的，而星形/玫瑰花形單元圖案可以根據(jù)其基本設(shè)計(jì)進(jìn)行歸一化和分類。因此，我們不把這些圖像看作是六邊形或八邊形的單元圖案，而是根據(jù)星形/長(zhǎng)條形網(wǎng)格的構(gòu)造和規(guī)范化對(duì)這些圖像進(jìn)行分類。并研究特定恒星/輪盤的重要屬性和特性。在我們的方法中，任何給定的恒星/輪盤都可以通過規(guī)范化來解密或解構(gòu)。這一規(guī)范化過程將通過識(shí)別構(gòu)成星形/輪廓圖的各個(gè)網(wǎng)格來實(shí)現(xiàn)。一旦網(wǎng)格元素被分離出來，就能確定可用于實(shí)現(xiàn) n 圖案星形/輪盤的基本幾何形狀。根據(jù)我們的觀點(diǎn)，星形解剖過程可分為以下幾個(gè)階段：

圖3 六邊形和八邊形圖案由Issam El-Said在《Islamic Art and Architecture, The System of Geometric Design》[Sai93]中提出。

"Geometric Concepts in Islamic Art, I. El Said。Titus Burckhardt 在該書的導(dǎo)言中指出，所有幾何圖案都是通過同樣的方法得出的，即從圓的和諧分割中得出建筑物（或圖案）的所有重要比例....。然而，在某些情況下，作者卻忽略了圓的畫法，諷刺地揭示了圓的存在對(duì)于所謂的 "獨(dú)特方法 "或 "唯一方法 "是多么的無足輕重（見圖 4.2）[Sai76]。

我們?cè)贓l-Said的《Islamic Art and Architecture, The System of Geometric Design》[Sai93] 一書中發(fā)現(xiàn)了同樣的圖像（見圖 5），并清楚地標(biāo)出了基圓，這表明El-Said并沒有忽略在圓中繪制單位圖案。在這種情況下，我們可以說（圖 4）是從一個(gè)不同的、方便的維度來觀察的，以便于得出合適的結(jié)論來證明 W.K. Chorbachi 提出的定理。（圖 5）中的圓是（圖 4）的復(fù)制品，它確實(shí)構(gòu)成了設(shè)計(jì)單位圖案的基礎(chǔ)平面，這也是本文所要論證的。

圖4. 此圖摘自 W. K. Chorbachi，《Tower of Babel, Beyond Symmetry in Islamic Design》[Cho89]的圖 4.2，顯示在推導(dǎo)此圖案時(shí)沒有出現(xiàn)圓。摘自 I. El-Said，《Geometric Concepts in Islamic》[Sai76]。

圖 5. 圓形確實(shí)出現(xiàn)在單元圖案中。摘自 I. El-Said, Islamic Art and Architecture, The System of Geometric Design [Sai93]。

5.2 分割階段

在這里，我們將圓（360 度）除以 x 個(gè)點(diǎn)，從而得出星形/玫瑰花形的預(yù)期設(shè)計(jì)。

5.3 編排網(wǎng)格階段

網(wǎng)格劃分階段將啟動(dòng)網(wǎng)格劃分過程。該階段是本文所述按時(shí)間順序排列的階段中最重要的階段。我們注意到，伊斯蘭幾何圖案中的星形圖案/玫瑰圖案的設(shè)計(jì)格式多種多樣，彼此迥異。由于伊斯蘭教本身遍布各大洲，每個(gè)國(guó)家都為伊斯蘭藝術(shù)貢獻(xiàn)了自己的藝術(shù)遺產(chǎn)。在這種背景下，要正確解讀星形圖案，就必須在非常正確的指導(dǎo)下努力了解星形圖案的類型。我們知道這項(xiàng)工作的復(fù)雜性，因?yàn)橐了固m藝術(shù)的本質(zhì)是非常復(fù)雜的，而任何復(fù)雜的藝術(shù)都很難正?；?。這一階段的核心目標(biāo)是參照用于實(shí)現(xiàn)伊斯蘭幾何圖設(shè)計(jì)的最小網(wǎng)格數(shù) (MNG) 和最小幾何形狀 (LSG) 對(duì)星形圖案/玫瑰圖案進(jìn)行描述和分類。

我選擇了一個(gè)不同尋常的復(fù)雜圖案來演示我們的分類方法（見圖 6）。該圖案摘自E. Hanbury Hankin 所著的《數(shù)學(xué)報(bào)》"Some Difficult Saracenic Designs, A Pattern Containing Fifteen Rayed Stars"[Han36]。在任何給定的單元圖案中，都需要根據(jù)我們的方法進(jìn)行分類，我們首先要在給定的單元圖案中尋找不同類型的星形/玫瑰花形。我冒昧地給漢金給出的單元圖式涂上了顏色，以顯示給定單元圖式中不同類型的星形/玫瑰花形。給定的單元圖案與眾不同，因?yàn)樗蓛煞N類型相似但設(shè)計(jì)不同的星星組成；一種是十二芒星，尺寸較小，另一種是十五芒星，尺寸較大。讓這個(gè)圖案顯得格外特別的是，這兩顆不同大小的星星之間用一組網(wǎng)格線精美地連接在一起。星星的大小并不影響我們的分類，影響我們分類的是每顆星星/玫瑰花瓣的設(shè)計(jì)方法及其網(wǎng)格屬性。因此，我們得出結(jié)論，這個(gè)給定的單元圖案的第一個(gè)屬性是它由多個(gè)星形/網(wǎng)格組成。如果我們開始按照漢金的標(biāo)準(zhǔn)或規(guī)范，根據(jù)傳統(tǒng)的飾帶群和墻紙群理論對(duì)單元圖案進(jìn)行分類，我們將不得不把封閉區(qū)域作為主要的單元圖案。這樣，我們就通過了圖像的有限元素或有限屬性。下文將詳細(xì)闡述基于網(wǎng)格元素（MNG）和網(wǎng)格屬性（LGS）的伊斯蘭幾何圖案構(gòu)建規(guī)范化過程。

5.3.1 最小網(wǎng)格數(shù) (MNG)

本節(jié)是命名規(guī)則的第一部分，其目的是確定最小網(wǎng)格數(shù)，即在 n 個(gè)網(wǎng)格的頂點(diǎn)與網(wǎng)格邊平分的情況下，網(wǎng)格相互之間的最小網(wǎng)格數(shù)。這一部分以最終設(shè)計(jì)為核心目標(biāo)。一個(gè)無限循環(huán)的過程是識(shí)別交叉點(diǎn)，并設(shè)置頂點(diǎn)之間的正確關(guān)系，以實(shí)現(xiàn)玫瑰花環(huán)的二等分。

5.3.2 最小幾何形狀 (LGS)

這一階段是命名規(guī)則的第二部分，目的是在給定的單元圖案中確定用于構(gòu)建星形/玫瑰花形的最低幾何形狀。下面的插圖（見圖7和圖8）描述了圖案（見圖6）的歸一化系列，以分別實(shí)現(xiàn)十二條射線和十五條射線的星形/輪廓線的分類。

十二射線星形/輪廓圖使用 3 個(gè)最小網(wǎng)格數(shù)（MNG）和一個(gè)四邊形作為最低幾何形狀（LGS），而十五射線星形/輪廓圖使用 3 個(gè)最小網(wǎng)格數(shù)和一個(gè)五邊形作為最低幾何形狀。因此，我們將這種圖案（見圖 6）歸類為 網(wǎng)格 3 四邊形/五邊形類。

圖 6：E. Hanbury 的圖案，包含十二（紅）條射線和十五（藍(lán)）條射線的星形/輪狀圖案，《數(shù)學(xué)公報(bào)》"Some Difficult Saracenic Designs"[Han36]。

圖 7. 12 射線星被歸類為（網(wǎng)格 3 四邊形類），因?yàn)樗辽偈褂昧?3 組網(wǎng)格，最低的幾何形狀是四邊形。

圖 8. 15 射線星被歸類為（網(wǎng)格 3 五角星類），因?yàn)樗辽偈褂昧?3 組網(wǎng)格，最低的幾何形狀是五邊形。

圖 9. 顯示一些伊斯蘭幾何星形/玫瑰花形的分類。

在這些部分之后是一系列圖像，它們將以非常合理和直觀的方式說明歸一化過程，并以可呈現(xiàn)的方式提出我們的觀點(diǎn)（圖 9）。

5.4 藝術(shù)階段

這是第四個(gè)階段；網(wǎng)格劃分完成后，我們可以通過為網(wǎng)格內(nèi)部線條賦予權(quán)重的方式，為網(wǎng)格賦予必要的藝術(shù)屬性，從而設(shè)計(jì)出所需的星形/輪廓圖。這一階段還包括為 "星形/輪廓圖 "的各個(gè)部分著色和填充。

5.5 擴(kuò)展階段

第五階段是 "名義 "或 "幻影 "階段，因?yàn)檫@一階段可能存在，也可能不存在。在這一階段，自然延伸將在概念邊界（通常為正方形或矩形）內(nèi)和邊界外的外部區(qū)域完成無縫網(wǎng)格（見圖 7 和圖 8）。

圖 10. 此圖為 W. K. Chorbachi [Cho89] 的圖 4.3，顯示圓的方案與長(zhǎng)矩形單元不符，標(biāo)出了一個(gè)變化區(qū)。來自 I. El-Said [Sai76]。

在大多數(shù)設(shè)計(jì)中，El-Said[sai 93]將正方形視為明確的外部邊界(由圓和圓以外的相關(guān)網(wǎng)格擴(kuò)展組成的邊界)。在這種情況下，W.K. Chorbachi[CHO 89]曾說過，在所有的設(shè)計(jì)中并不總是能找到正方形。在他的書《巴別塔:超越伊斯蘭設(shè)計(jì)中的對(duì)稱性》的節(jié)選中，他寫道:“……最后，在一些設(shè)計(jì)案例中，不可能掩蓋分析方法不成立的事實(shí)。這些圖(圖4.3)顯示為包含一個(gè)基于變化的非標(biāo)準(zhǔn)區(qū)域。細(xì)長(zhǎng)的矩形區(qū)域顯然屬于“單向”的2重對(duì)稱概括，其在4重對(duì)稱組的正方形中被壓倒性地表示。在插圖中(見圖10 ), W.K. Chorbachi認(rèn)為矩形是設(shè)計(jì)的外部邊界，并證明正方形不可能總是被標(biāo)記為外部邊界。然而，他也認(rèn)為外部邊界在設(shè)計(jì)中是不可或缺的。但是，正如上面已經(jīng)證明的那樣(見圖7和圖8 ),外部邊界對(duì)于星形/玫瑰形設(shè)計(jì)來說是虛幻的，并且它的存在不能總是被確認(rèn)，直到并且除非外部網(wǎng)格的存在可以被追蹤。

6. 結(jié)論

我們可以得出這樣的結(jié)論：群理論是對(duì)排列進(jìn)行分類，而不是對(duì)單元圖案進(jìn)行分類。本文提出了一個(gè)可行的定理，使我們能夠根據(jù)網(wǎng)格屬性對(duì)任何星形/輪廓圖進(jìn)行分類。它還為星形/輪廓圖生成了一個(gè)分類名稱，為讀者提供了有關(guān)最小網(wǎng)格數(shù)（MNG）和最小幾何形狀（LSG）的信息，這些信息用于實(shí)現(xiàn)伊斯蘭幾何圖案的設(shè)計(jì)。根據(jù)我們的經(jīng)驗(yàn)，伊斯蘭幾何圖形的分類結(jié)果是相對(duì)的。在這種情況下，命名方法將根據(jù)新研究的結(jié)果而改變。

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青山不改，綠水長(zhǎng)流，在下告退。

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