基本圖形再挖掘

2024年湖北省中考模擬數(shù)學(xué)第23題

萬眾矚目的2024年湖北省中考模擬數(shù)學(xué)（非武漢地區(qū)）卷，整體難度較低，這是面對(duì)全省各地區(qū)過大的差距進(jìn)行的一種妥協(xié)，在難度分布上，仍然依照“斜鋸齒”原則進(jìn)行了調(diào)整，其中選擇題第10題和填空題第15題相對(duì)略有提高，第23題較為平和，第24題最后一問難度較高。

和武漢地區(qū)的幾次元調(diào)模擬卷相比，第23題幾何綜合的難度大大降低了，體現(xiàn)了有別于武漢地區(qū)的命題風(fēng)格，本題取材于課本習(xí)題，基調(diào)是旋轉(zhuǎn)全等，融入了軸對(duì)稱、勾股定理等，對(duì)學(xué)生觀察圖形能力提出了較高要求，受困于第3問的學(xué)生，多數(shù)原因是圖形間的關(guān)聯(lián)未能找到，或者說平時(shí)課堂學(xué)習(xí)中，觀察圖形的培養(yǎng)存在較大問題，這在后期教學(xué)中值得注意。

題目

在Rt△ABC中，∠C=90°，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，旋轉(zhuǎn)角小于∠CAB，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，DE交AB于點(diǎn)O，延長DE交BD于點(diǎn)P.

(1)如圖1，求證：PC=PE；

(2)當(dāng)AD∥BC時(shí)，

①如圖2，若CA=6，CB=8，求線段BP的長；

②如圖3，連接BD，CE，延長CE交BD于點(diǎn)F，判斷F是否為線段BD的中點(diǎn)，并說明理由.

解析：

0 1

(1)基本思路連接AP構(gòu)造全等，利用旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)三角形全等，得到AE=AC，再加上公共邊AP，得Rt△APE≌Rt△APC，所以PC=PE，如下圖；

0 2

(2)①新增條件AD∥BC后，事實(shí)上整個(gè)圖形是靜態(tài)圖形，我們可得到∠DAO=∠B，同時(shí)由于旋轉(zhuǎn)全等，∠B=∠D，于是∠DAO=∠D，即等腰△AOD；

當(dāng)CA=6，CB=8時(shí)，首先可得它們的對(duì)應(yīng)邊AE=6，DE=8，在Rt△AOE中，我們?cè)O(shè)法表示出其三邊長，再利用勾股定理列方程即可，設(shè)OA=OD=x，則OE=8-x，由OA2=OE2+AE2，得方程x2=(8-x)2+36，解得x=25/4；

仍然由AD∥BC可證明等腰△BOP，并且利用前面求得的x，先求出OE=8-25/4=7/4，再求出OB=AB-OA=10-25/4=15/4，于是OP=OB=15/4，所以PE=OP-OE=15/4-7/4=2，則PC=PE=2，最后BP=BC-PC=8-2=6；

當(dāng)然本題也可以利用相似來完成，但對(duì)于本次省考模擬的考試范圍，超綱了，簡略說明如下：△AOD∽△BOP，且相似比為5：3，所以求得BP=6；對(duì)于學(xué)生使用此方法完成，個(gè)人意見是不予全分，以免滋生超綱學(xué)習(xí)的不正之風(fēng)；

②作為本題難點(diǎn)，關(guān)鍵是識(shí)圖，在前面結(jié)論中PC=PE，說明△PCE為等腰三角形，恰好還有條件AD∥BC，所以當(dāng)我們延長CF、AD交于點(diǎn)G，便可得到另一個(gè)等腰△DEG，如下圖：

若想證明點(diǎn)F為BD中點(diǎn)，則需要證明△DFG≌△BFC，它們?cè)谄叫芯€間，所以相等的角眾多，我們重點(diǎn)尋找邊相等的條件；

從旋轉(zhuǎn)全等中可得DE=BC，再加上等腰△DEG中DE=DG，于是DG=BC，全等條件已經(jīng)齊備，于是△DFG≌△BFC，得DF=BF，即點(diǎn)F為線段BD中點(diǎn).

解題思考

本次模擬省考的考試范圍在考前廣泛征求過意見，最終確定為七年級(jí)、八年級(jí)以及九年級(jí)上冊(cè)內(nèi)容，從整卷命題中也能發(fā)現(xiàn)，嚴(yán)格遵循了上述范圍要求，當(dāng)然由于初中數(shù)學(xué)各章節(jié)的關(guān)聯(lián)緊密，不可避免地會(huì)出現(xiàn)能夠使用九年級(jí)下冊(cè)的知識(shí)去解題，所以對(duì)于閱卷標(biāo)準(zhǔn)提出了較高要求，仁者見仁，智者見智吧！

從學(xué)生實(shí)際答題體驗(yàn)來看，很多中等生完成前面基礎(chǔ)部分毫無壓力，只是在第10題和第15題消耗了較多時(shí)間，而這兩道題中第10題是可以利用函數(shù)圖象性質(zhì)秒殺的，第15題是可以大膽猜想特殊三角形的，這都在一定程度上提供了“捷徑”，只是這個(gè)捷徑要想走通，需要平時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深度理解，淺一點(diǎn)都不行，這就有效地區(qū)分出了中等生和學(xué)霸，耗時(shí)長且正確率不穩(wěn)定的基本上是中等生，學(xué)霸基本可以做到秒殺。

第23題與傳統(tǒng)武漢幾何綜合存在不小差距，首先是難度，以元調(diào)模擬題為對(duì)照，確實(shí)小兒科，沒有設(shè)置高門坎，在目前難度下要想獲得較好的區(qū)分度，很不容易，如果拿到武漢地區(qū)考生，可能本題滿分人數(shù)會(huì)大大增加，造成優(yōu)分層的混淆；其次是數(shù)學(xué)思想，本題3個(gè)小題間關(guān)聯(lián)較弱，幾乎可以看作相互獨(dú)立的問題，與武漢幾何綜合相比，方法遷移基本看不出來，反倒是給學(xué)生不斷搭梯子，給人感覺是很小心地設(shè)置條件和結(jié)論，生怕難度超標(biāo)，心疼一下命題專家們。

最后，第23題在重重限制之下，仍然讓中等生感覺到了“難”，這是正確的命題思路，未來真正的省考，想必不會(huì)戴上如此枷鎖，所以更大的考驗(yàn)，在六月。