旋轉中尋找數量關系

2024年西城區二模第27題

初中幾何三大基本變換：平移、軸對稱、旋轉，其中旋轉變換要素最多，包括旋轉中心、旋轉方向、旋轉角，任何一個元素發生變化，則圖形的變化便越豐富，同時旋轉又多與圓相關，因此在各地中考幾何壓軸題中出現的概率較大。

在旋轉過程中，原圖形中的數量關系和位置關系會發生相應變化，于是在這些變化中尋找特定的關聯，極考驗學生的構圖能力，通常題目會給出備用圖或參考圖，學生用繪圖工具按要求作圖（不一定是尺規作圖），在這個過程中，事實上是更深入審題，作圖前必須要先演算。

在今天下午的備課過程中，組內四名老師分別給出了四種不同的解法，充分體現了本題入口寬的特點，同時這四種解法又具備同質性，多解歸一后再細讀命題意圖，研究教學中如何從旋轉中尋找數量關系，最終回到課堂教學。

題目

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=α（0° <α<30°）.將射線ab繞點a順時針旋轉2α得到射線l，射線l與直線bc的交點為點m.在直線bc上截取md=ab（點d在點m右側），將直線md繞點d順時針旋轉2α所得直線交直線am于點e.<>

(1)如圖1，當點D與點B重合時，補全圖形并求此時∠AED的度數；

(2)當點D不與點B重合時，依題意補全圖2，用等式表示線段ME與BC的數量關系，并證明.

解析：

01

(1)第1小問可以秒掉，前提是作圖準確并且對邊角關系非常熟悉；

由于B、D重合，因此△ABM為等腰三角形，于是∠AMC=2α，列方程求得α=18°，所以∠AED=4α=72°；

02

(2)作圖如下：

最容易想到的是將△DEM“搬”到AB處，畢竟MD=AB且∠MDE=∠BAE=2α，因此我們選擇在AM上截取AF=DE，如下圖：

方法一：

同時延長BC至點G，使CG=BC，再連接FG和AG，這樣可得到△DEM≌△AFB，證明了ME=BF，剩下的任務就是證明BF=BG；

先求出∠AMC=90°-3α，∠ABC=90°-α，由全等求出∠ABF=90°-3α，于是∠FBG=180°-4α，而∠FAG=4α，所以∠FBG+∠FAG=180°，于是A、F、B、G四點共圓，∠BGF=∠BAF=2α，∠BFG=∠BAG=2α，即△BFG是等腰三角形，BF=BG，所以最后得到ME=2BC；

方法二：

在方法一的基礎上稍加改進，截取的AF放到邊AG上，如下圖：

類似方法一，不再重復；

方法三：

既然構造全等三角形能夠將ME轉向2BC，那自然也能夠將2BC轉向ME，我們延長DE至點K，使DK=DM，如下圖：

等腰△DMK≌等腰△ABG，則MK=BG=2BC，然后求得∠K=90°-α，同時∠AED=∠AMC+∠MDE=90°-α，于是∠K=∠AED=∠MEK，所以ME=MK=2BC；

方法四：

與方法三類似，如下圖：

具體證明過程略過，有興趣的讀者可以嘗試。

解題反思

這一類的幾何綜合題壓軸題，都強調補全圖形，這對于學生作圖操作提出了一定要求，雖然學生在平時課堂上也會作圖，但目前有一種不好的教學方式，就是大量用教師演示去代替學生操作，在這種看似“高效”的課堂上，學生被迫用眼睛而不是雙手去體驗作圖，這與新課標要求嚴重不符，長此以往，手上生疏，帶來的是思維上的缺漏。

本題主要是利用構造全等三角形來完成圖形間的數量關聯，學生通過作圖，猜想線段間的數量關系，然后用推理去證明猜想，這個過程與數學實踐活動中，學生經歷的東西完全一樣，即這類通過動手操作，獲得數學體驗，進而進行數學猜想，數學推理，同樣也是項目式學習的內核，即歸納為，用數學去對待世界。