連線導(dǎo)角構(gòu)全等

2024年北京中考數(shù)學(xué)第27題

在人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第12章全等三角形中，教材在給出全等三角形概念的同時(shí)，即給出了未來(lái)我們可能遇見(jiàn)的各類全等三角形基本圖形，如下圖：

我們?cè)诔踔须A段接觸到的全等三角形，其位置關(guān)系基本就是由這三種基本圖形變化而來(lái)，因此識(shí)圖也是平時(shí)教學(xué)中要重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)的部分。

在2024年北京中考數(shù)學(xué)第27題中，巧妙構(gòu)造全等則成為了解題成功的關(guān)鍵，方法很多，我們遵循學(xué)生常見(jiàn)思維，走尋常路，找破解之道。

題目

已知∠MAN=α(0° <α<45°)，點(diǎn)b，c分別在射線an，am上，將線段bc繞點(diǎn)b順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°-2α得到線段bd，過(guò)點(diǎn)d作an的垂線交射線am于點(diǎn)e.<>

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在射線AN上時(shí)，求證：C是AE的中點(diǎn)；

(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在∠MAN內(nèi)部時(shí)，作DF∥AN，交射線AM于點(diǎn)F，用等式表示線段EF與AC的數(shù)量關(guān)系，并證明.

解析：

01

(1)連接CD，如下圖：

由旋轉(zhuǎn)可得等腰△BCD，而且其頂角∠CBD=180°-2α，可得其底角∠CDB=α，于是∠A=∠CDB=α，則AC=DC，同時(shí)由于DE⊥AN，故∠AED=90°-α，∠CDE=90°-α，于是∠CDE=∠AED，則DC=EC，所以AC=-EC，即點(diǎn)C是AE的中點(diǎn)；

02

(2)仍然由旋轉(zhuǎn)出發(fā)，我們要比較AC與EF的數(shù)量關(guān)系，可將AC所在△ABC也繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°-2α，如下圖：

這樣我們很容易證明△ABC≌△GBD，經(jīng)典的手拉手模型，于是AC被轉(zhuǎn)移到GD處，接下來(lái)我們需要研究GD與EF的數(shù)量關(guān)系，由于EF是Rt△DEF的斜邊，在前一問(wèn)中，我們用到了斜邊上中線等于斜邊的一半，于是猜想會(huì)不會(huì)GD等于其斜邊的一半？

取EF中點(diǎn)H，連接DH，如下圖：

DH是斜邊上的中線，于是可得等腰△DFH，由DF∥AN求出∠DFH=α，于是∠DHG=2α；

由前面構(gòu)造的全等三角形可得∠A=∠BGD=α，而BA=BG得∠A=∠AGB=α，于是∠DGH=2α，從而∠DHG=∠DGH，所以GD=DH，最后得到EF=2DH=2GD=2AC；

其它解法：

(一)既然猜想EF=2AC，不妨先取EF中點(diǎn)H，連接DH，但我們無(wú)法證明△ABC與△HBD全等，事實(shí)上它們也并不全等，這就需要我們另辟蹊徑了，過(guò)點(diǎn)H作HG⊥DF，過(guò)點(diǎn)C作CT⊥AB，取CD中點(diǎn)R，連接GR，TR，如下圖：

強(qiáng)調(diào)：G，R，T三點(diǎn)是否共線需要證明！

由等腰△DHF可知G為DF中點(diǎn)，同時(shí)R是CD中點(diǎn)，于是GR是△CDF中位線，得GR∥AE；

由∠BTC=90°，∠BRC=90°，可知B，R，C，T四點(diǎn)共圓，于是∠BTR=∠BCR，而在等腰△BCD中，其底角∠BCR=α，于是∠A=∠BCR=α，可得TR∥AE，結(jié)合前面的GR∥AE，可證G，R，T共線；

接下來(lái)就很輕松了，易得平行四邊形ATGF，易證△ACT≌△FHG，于是同樣可得AC=FH，最后EF=2AC；

(二)先取EF中點(diǎn)H，然后將△BDH繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°-2α，如下圖：

此法略超標(biāo)，慎用！

由∠BAC=α，且∠BH'H=α，得四點(diǎn)共圓，于是∠BAH'=∠BHH'=α，即∠CAH'=2α；

令∠CDE=β，則∠BDH=2α+β，所以∠BCH'=2α+β，又∠BCD=α，∠DCF=∠DFH-β=α-β，所以∠H'CF=2α+β+α+α-β=4α，最后求得∠AH‘C=4α-2α=2α，故△ACH'是等腰三角形，同樣可得EF=2AC；

(三)將△ABC旋轉(zhuǎn)至△BDG后，以G為圓心，GD為半徑構(gòu)圓，交AM于H，L兩點(diǎn)，如下圖：

具體證明不再贅述，類似的解法還有更多，有興趣的老師們可以嘗試探究一下.

解題反思

2024年北京中考數(shù)學(xué)第27題，是一道十分優(yōu)秀的幾何綜合題，對(duì)學(xué)生構(gòu)圖能力要求較高，全等三角形是其中的關(guān)鍵結(jié)論，不同的構(gòu)造得不同的思路，條條大道通羅馬。

此類探究?jī)蓷l線段長(zhǎng)度的數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題，對(duì)作圖也有一定要求，本題的輔助線是如何想到的，需要學(xué)生扎實(shí)的功底，引子便是線段BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°-2α，所以構(gòu)造手拉手模型是最容易想到的，在此基礎(chǔ)上，如何有效利用好構(gòu)造出的全等三角形，便是區(qū)分真假學(xué)霸的條件了，第2問(wèn)的小坑在于，若直接取EF中點(diǎn)，則得到的三角形并不是旋轉(zhuǎn)過(guò)后的圖形，而旋轉(zhuǎn)△ABC后，得到的點(diǎn)G未必是EF中點(diǎn)，只有正確將旋轉(zhuǎn)后的G點(diǎn)，和EF中點(diǎn)都畫出來(lái)，才能發(fā)現(xiàn)其中的端詳。

這對(duì)平時(shí)教學(xué)中，學(xué)生作圖也提出了更精確的要求，雖然我們都是作草圖，僅僅只是不需要尺規(guī)作圖那么正規(guī)，然而刻度尺、三角尺等工具，還是盡可能用好，切忌徒手作圖，相當(dāng)多的偽證，其源頭便是不準(zhǔn)確作圖。