新定義“α可及點(diǎn)”

2024年北京中考數(shù)學(xué)第28題

每次解新定義壓軸題，都會(huì)完整經(jīng)歷一次數(shù)學(xué)概念的生成到應(yīng)用全過(guò)程，這通常也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的常態(tài)。整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是由無(wú)數(shù)個(gè)這樣的過(guò)程構(gòu)成，初中階段，學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)初中數(shù)學(xué)知識(shí)，從而學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，這也是對(duì)能力上的要求，用現(xiàn)在最時(shí)新的話，叫核心素養(yǎng)。

2024年的“α可及點(diǎn)”，與2023年的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”相比，還是有較大不同，理解過(guò)程中需要構(gòu)造的圓比較多，因此我們有必要對(duì)圓的概念進(jìn)行加強(qiáng)。在解這道題的過(guò)程中，尤其是最后一問(wèn)，直接寫(xiě)出答案，對(duì)于學(xué)霸而言，憑數(shù)感和直觀可以秒出結(jié)論，但作為老師講給普通學(xué)生，則需要剖析每一步的依據(jù)，引導(dǎo)學(xué)生去理解學(xué)霸們的思維，乃至成為學(xué)霸。

對(duì)于圓的定義，不再重復(fù)，我們需要理解的是圓的各向同性，即在各個(gè)方向上性質(zhì)是相同的，初中階段也稱(chēng)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性，這種旋轉(zhuǎn)不變性來(lái)源于定義， 即“一中同長(zhǎng)”，當(dāng)我們用圓規(guī)或其它工具畫(huà)一個(gè)圓的時(shí)候，實(shí)質(zhì)上也是在體驗(yàn)它的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性。

題目

解析：

01

(1)我們依然首先來(lái)理解題目中描述的這段定義，圓O的弦AB，點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C'，∠ACB=α；

對(duì)于圓內(nèi)的一條弦，我們重點(diǎn)關(guān)注它的長(zhǎng)度，因?yàn)樵趫A中，最長(zhǎng)的弦是直徑，即它的數(shù)量存在一個(gè)上限；

點(diǎn)C與點(diǎn)C'，按定義中的描述，我們關(guān)注的是點(diǎn)C'的位置，它必須在圓O上或在圓O內(nèi)部，這也是我們判斷是否“α可及點(diǎn)”的依據(jù)；

∠ACB=α，這個(gè)角的頂點(diǎn)在C點(diǎn)，兩邊經(jīng)過(guò)弦AB的兩端點(diǎn)，這很重要！

為方便理解，題目給出了特殊條件下的“α可及點(diǎn)”；

①按定義作圖如下：

顯然只有C2是“α可及點(diǎn)”；

然后我們連接AC2和BC2，根據(jù)這三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)可判斷△ABC2是一個(gè)等腰直角三角形，如下圖：

于是α=45°；

②對(duì)于弦AB的“90°可及點(diǎn)”，點(diǎn)D位置非常重要，它需滿(mǎn)足兩個(gè)條件，一是它的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D'在圓O上或圓O內(nèi)，二是∠ADB=90°；

對(duì)于第一個(gè)條件，我們用逆向思維，若要使點(diǎn)D關(guān)于直線AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在圓O上或圓O內(nèi)，則可將圓O關(guān)于直線AB對(duì)稱(chēng)，得到圓P，它在圓O外的部分即點(diǎn)D可能存在的位置，如下圖：

對(duì)于第二個(gè)條件，∠ACB=90°，我們可聯(lián)想在某個(gè)圓中，直徑所對(duì)的圓周角是直角，于是想到構(gòu)造出這個(gè)以AB為直徑的圓，如下圖：

這個(gè)圓在綠色區(qū)域內(nèi)的部分，即為點(diǎn)D可能存在的位置，圖中的半圓AB；

接下來(lái)我們需要在半圓AB上尋找一個(gè)橫坐標(biāo)最大的點(diǎn)D，不妨找到AB中點(diǎn)F，它是半圓AB的圓心，此時(shí)OA是圓F的一條弦，半圓上距離弦OA最遠(yuǎn)的點(diǎn)，一定在垂直于弦OA的直徑上，我們作出這條直徑，如下圖：

很顯然△AOB是等腰直角三角形，于是△AFH也是等腰直角三角形，由于F是AB中點(diǎn)，于是FH是△AOB中位線，求得FH=1/2，而FG=FB=√2/2，故GH=1/2+√2/2，即點(diǎn)D的橫坐標(biāo)最大值是1/2+√2/2;

02

(2)作圖之前，先明確弦MN的位置，它是圓O內(nèi)任意一條弦，由旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性，圓心距為某個(gè)值的弦MN性質(zhì)完全一樣，因此MN的多樣性取決于圓心距，所以對(duì)于MN長(zhǎng)度，我們目前知道最大值是2即可；

第一步：以MN為對(duì)稱(chēng)軸，作圓O的對(duì)稱(chēng)圓O'，如下圖：

圖中藍(lán)色部分關(guān)于直線MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)一定在圓O上或圓O內(nèi)部；

第二步，確定α角，繼續(xù)按定義尋找點(diǎn)P，由于它是“60°可及點(diǎn)”，即要求∠MPN=60°，結(jié)合上一問(wèn)的結(jié)果，我們可作MN的垂直平分線，并在這條線上取點(diǎn)E，使∠MEN=120°，再以E為圓心，ME為半徑作圓E，此時(shí)圓E在藍(lán)色區(qū)域內(nèi)的部分上，任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)，兩邊經(jīng)過(guò)M、N的圓周角，都等于60°，如下圖：

我們只保留圓E在藍(lán)色區(qū)域內(nèi)的部分，隱藏其余線條以方便分析，特別強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)，若E與O'重合，是臨界點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)O'在線段OE上，則找不到相應(yīng)的點(diǎn)P，即OE≤OO'，這是尋找點(diǎn)P過(guò)程中的一個(gè)非常重要的條件，如下圖：

基于以上條件，我們重點(diǎn)觀察藍(lán)色的優(yōu)弧MN，如下圖：

第三步，探究點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離，當(dāng)弦MN繞圓心O旋轉(zhuǎn)時(shí)，優(yōu)弧MN掃過(guò)的區(qū)域是一個(gè)圓環(huán)，如下圖：

上圖圓環(huán)中所有的點(diǎn)都有可能是點(diǎn)P，接下來(lái)我們要考慮的問(wèn)題是，這個(gè)圓環(huán)內(nèi)徑為1，外徑可能是多少呢？

不妨將M、N中的某個(gè)點(diǎn)放在特殊位置，例如點(diǎn)N放在(1,0)處，再連接FM、FN，可得等邊△FMN，為方便理解點(diǎn)F的最值，我們?cè)趚軸下方再構(gòu)造以O(shè)N為邊的等邊三角形，如下圖：

顯然點(diǎn)C在圓O上，我們很容易找到其中的△ONF≌△CNM，則OF=CM，而CM作為圓O中的一條弦，最長(zhǎng)為2；

此時(shí)OF最大值為2，點(diǎn)E與點(diǎn)O'也重合，至此我們確定了圓環(huán)的外徑最大為2；

第四步，尋找臨界P點(diǎn)，我們現(xiàn)在可以作出點(diǎn)P所在的圓環(huán)，以及直線y=√3x-√3，如下圖：

總共四個(gè)臨界點(diǎn)，P1,P2,P3,P4，注意由于M、N不能重合，于是點(diǎn)P不在內(nèi)圓O上，要寫(xiě)范圍的時(shí)候要細(xì)心，然后我們來(lái)分別求這四個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

點(diǎn)P橫坐標(biāo)為t，縱坐標(biāo)為√3t-√3，P1、P4在半徑為2的圓O上，則它到原點(diǎn)的距離為2，即t2+(√3t-√3)2=4，解得t=(3±√13)/4；P2、P3在半徑為1的圓O上，則它的原點(diǎn)的距離為1，即t2+(√3t-√3)2=1，解得t=1或1/2，現(xiàn)在我們可以寫(xiě)出P的橫坐標(biāo)t的取值范圍了，(3-√13)/4≤t<1/2，1

解題思考

從解題角度來(lái)看，本題難點(diǎn)在第2問(wèn)，即MN為圓O內(nèi)任意弦的時(shí)候，無(wú)法確定它的位置，但考慮到圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性，使我們可以讓MN先位于某個(gè)特殊位置，求解后推廣到一般的情況，這也給學(xué)有余力的學(xué)生“秒殺”的可能，但對(duì)于多數(shù)學(xué)生來(lái)講，理解學(xué)霸們的解法還是有一定困難的，在網(wǎng)上找到了很多關(guān)于本題第2問(wèn)的解法，都沒(méi)有說(shuō)清楚為什么點(diǎn)P離原點(diǎn)最遠(yuǎn)距離是2，因此在本題解析中，用了較多篇幅來(lái)詳細(xì)說(shuō)明這一問(wèn)題。

本題中涉及到的圓比較多，尤其是確定α的時(shí)候，對(duì)定弦定角要非常熟悉，新定義“α可及點(diǎn)”中的對(duì)稱(chēng)，實(shí)質(zhì)上是限制點(diǎn)P可能的位置，要與取值范圍聯(lián)系起來(lái)，將這些因素綜合起來(lái)，如下圖：

理解這道題的過(guò)程中，關(guān)鍵在于突破定義中對(duì)點(diǎn)P的各種限制，第1問(wèn)中的特殊位置的弦AB，實(shí)際上也可以在第2問(wèn)中使用，并不影響結(jié)果，理由就是圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性，一旦理解上突破了，本題就顯得很簡(jiǎn)單了。

以學(xué)生的理解能力作為本題區(qū)分度，這道題十分優(yōu)秀，通常情況下，多數(shù)中等生的思維遇到障礙，就是限制條件較多，且環(huán)環(huán)相扣，腦中的思緒稍一混亂，整個(gè)邏輯就錯(cuò)了。這也要求我們?cè)谄綍r(shí)的概念教學(xué)中，注重概念的生成以及發(fā)散，不拘泥于教材上有限的例題和習(xí)題，2024年人教版新教材，其實(shí)給了一線教師足夠的拓展空間，只要認(rèn)真研讀新課標(biāo)和新教材，在課堂上讓學(xué)生充分發(fā)展，這一類(lèi)綜合題解決起來(lái)才會(huì)容易。