相對運動尋交點

2024年廣東省中考數學第23題

通常中考壓軸題最后一道函數綜合，多數是采用二次函數，少數采用一次函數或反比例函數，其實無論用哪種函數，都要遵從課標中對函數教學的要求，如下圖：

其中對于反比例函數要求如下圖：

在平時反比例函數教學過程中，對于它的圖象性質，用得最多的是雙曲線上某點向坐標軸作垂線，圍成的矩形面積是|k|，基于這個知識點的拓展非常多，當然難度跨度也比較大；

2024年廣東省中考數學第23題，巧妙地將反比例函數、一次函數、二次函數、矩形、軸對稱、圓的位置關系等融合到了一起，特別是在第3問中，圓與三角形的相對運動，比較新穎，很考驗學生的構圖能力。

同時在研究相對運動的過程中，又涉及到二次函數最值問題，到這個時候，才會明白原來題目中的那個反比例函數只是個幌子，真正要考查的二次函數內容隱藏很深。

題目

解析：

01

(1)從數與形兩方面入手，本小問兩種方法；

方法一：

觀察點A橫坐標與點B橫坐標相同，點C縱坐標與點B縱坐標相同，而點B在直線y=ax上，于是設B(m,am)，表示出點A(m,k/m)，它與點D縱坐標相同，將y=k/m代入到y=ax中，求出x=k/am，則可得點D為(k/am,k/m)，利用矩形性質，最后得到點C(k/am,am)，顯然k/am·am=k，所以函數y=k/x必經過點C；

方法二：

分別延長DA、CB、AB、DC，與坐標軸交點分別是E、F、G、H，如下圖：

我們知道矩形的一條對角線將整個矩形分成全等的兩個三角形，因此S△ODE=S△ODH，S△OBF=S△OBG，S△ABD=S△CBD，從較大的三角形中減掉這兩個較小的三角形，得S矩形ABEF=S矩形CBGH，兩邊都加上S矩形OGBF，得S矩形AGOE=S矩形CFOH，即可得到點A橫、縱坐標之積等于點C橫、縱坐標之積，所以函數y=k/x必經過點C；

02

(2)延長DA、CB，分別交y軸于點F、G，如下圖：

由軸對稱可知BC=BE，DC=DE，且∠DEB=90°，我們很容易證明△DEF∽△EBG，同時點B坐標已知，先求出直線BD解析式為y=2x，設點A坐標為(1,k)，表示出點D坐標為(k/2,k)，點C坐標為(k/2,2)；

顯然對于△BCD而言，DC=2BC，于是DE=2EB，故△DEF與△EBG的相似比為2:1；

表示出EG=1/2·DF=k/4，EF=2BG=2，則FG=2+k/4，又DC=k-2，于是2+k/4=k-2，解得k=16/3；

03

(3)矩形ABCD沿BD折疊后，當點C與點E重合時，可證明它是個正方形，而點P是正方形對角線交點，說明∠DBC=45°，所以我們可以將直線y=ax的解析式確定下來，a=1，即y=x；

不妨設B(t,t)，由OP=3√2可求得P(3,3)，而根據中點公式可求出D(6-t,6-t)，A(t,6-t)，C(6-t,t)，由于A、C均在反比例函數y=k/x上，所以k=t(6-t)；

請注意OP長度始終不變，變化的只是圓O半徑和點B位置，通過直觀發現存在以下兩個臨界點，一是當點B與圓O有公共點，二是圓O經過A(或C)點時，如下圖：

此時OB=AC，而OB=√2t，AC=BD=√2(6-2t)，列方程得√2t=√2(6-2t)，解得t=2；

此時圓O半徑OA=OC=AC，得等邊△AOC，且OP是其一邊上的高，于是PC=√6=BP，則OB=3√2-√6，而點B在直線y=x上，所以可求出B(3-√3，3-√3)，即t=3-√3；

因此對于點B而言，其橫坐標t有一個范圍，3-√3≤t≤2，此時再來看k=t(6-t)，將其化為頂點式，k=-(t-3)2+9，顯然2和3-√3都在對稱軸左側，根據二次函數增減性，t=2時k=8，t=3-√3時k=6，所以6≤k≤8.

解題反思

看上去是反比例函數壓軸，實際上還是二次函數壓軸，雙曲線只不過是掩護，實質上需要理解最值問題的一般解決方法。

第3問的解法并不唯一，本小問的設置中，正方形ABCD屬于降低了難度要求，為了方便學生計算，真正需要學生構圖的是圓和△ABC的位置關系。

作為省考卷，本題難度并不算太高，整卷難度并不在最后一道題上，個人看來，幾何綜合難度更高一些，并且其余試題難度分布較為合理。

函數綜合，分為階段綜合和大綜合，前者是在學習了有限的函數章節內容之后，后者則是針對中考總復習。初中階段學習函數，首先要新授課中，需要幫助學生深刻理解函數概念，包括圖象性質，在階段綜合時，需要將相關章節內容與函數進行有機整合，而在中考復習時，需要引導學生使用研究函數的一般方法，這三個層面螺旋上升，其中第一步極為重要，理解上稍有偏差，或者形成了不良的學習習慣，對后面的綜合運用非常不利。函數教學最忌諱“套路化”，尤其是在八年級學習一次函數時，所有研究函數的方法在這個時段都會涉及到，到學習二次函數和反比例函數時，對前面的研究方法進行歸納和升華，在這個過程中，完成對初中階段函數概念的最后理解。