《量子雜志》每周都會解釋推動現代研究的最重要思想之一。本周，數學專欄作家約瑟夫·豪利特深入探討了兩個相關但不同的領域——幾何和拓撲之間的相互作用。

作者：Joseph Howlett 量子雜志數學專欄作家 2024-9-2

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2024-9-3

關于形狀的兩種數學視角

約瑟夫·豪利特 / Quanta Magazine

幾何學（研究形狀的學科）是學校數學課程的必修課。但數學中還有另一個領域與形狀有關，盡管思考角度截然不同。數學家利用該領域（稱為拓撲學）和幾何學來探索超乎想象的空間。

幾何學涉及量化固定形狀的性質：長度、角度、體積等等。幾何學家眼中的物體就像寶石一樣堅硬——可以移動但不能扭曲。另一方面，拓撲學家可以像粘土一樣拉伸和壓縮他們研究的形狀。他們看不出球體和立方體之間的區別，因為其中一個可以很容易地被塑造成另一個而不會破裂或撕裂。

拓撲學家關心的是孔（即一個形狀有多少個孔）以及形狀如何纏繞在自身周圍。甜甜圈和咖啡杯都有一個孔，可以防止它們收縮到某一點，所以它們在拓撲上是相同的。但它們不同于沒有孔的球體或無柄咖啡杯。類似地，兩個紐結（在高維空間中扭曲形狀時形成）如果其中一個可以通過纏繞或解開變成另一個紐結，則在拓撲上是相同的。

如果只能通過切割或粘合來實現這一點，則它們在拓撲上是不同的。各種曲面以及它們的高維親戚（稱為流形manifold）都具有有趣的幾何和拓撲性質，數學家們想要弄清楚這些性質。

為了了解我們周圍的世界——從數據集的形狀到宇宙的形狀——數學家不斷地測試他們的幾何和拓撲工具包的極限。

最新動態和值得關注的內容

拓撲學家通常會嘗試完全避開幾何學，例如萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler，1707 - 1783）于1736年證明，如果不經過同一座橋兩次，就無法穿越整個柯尼斯堡市。

他意識到，這個問題實際上與路徑的拓撲學有關，而不是其幾何學，這被認為是該領域最早的里程碑式發現。

從那時起，數學家們就使用拓撲方法解決了許多幾何問題。2020 年的一項證明就是如此，該證明確定每條光滑封閉曲線都包含一個矩形。次年， 《量子雜志》 報道了復雜拓撲方法的發展及其在軌道物體幾何問題中的應用。去年，布朗大學的理查德·施瓦茨 (Richard Schwartz) 引入了拓撲技術來尋找幾何上“最優”的形狀，比如可以用來制作莫比烏斯帶的最厚的矩形。在此過程中，他驗證了一個可以追溯到1970年代的猜想。

有時也會發生相反的情況，理解形狀的幾何形狀可以對其拓撲結構提供重要的見解。例如，人們早就知道，形狀的局部幾何特性（例如所謂的曲率curvature）限制了其拓撲外觀。假設你對給定二維曲面的了解僅限于它在每個點都是正曲率。那么它只能是球體的表面或其他更復雜的形狀。幾何曲率數據足以告訴你這一點。

今年， 量子雜志又寫了一篇關于曲率在確定拓撲結構中的作用的文章。請參閱 。

事實證明，局部幾何測量甚至可以為整個宇宙的拓撲結構提供線索。

幾何學還有許多其他應用，拓撲學卻無能為力。當所討論的物體必須是剛性時，例如當你將形狀盡可能緊密地排列時，請參閱 或者當距離至關重要時，例如當你試圖在正方形內構造不同大小的三角形時，拓撲學就派上用場了。但在上個世紀，拓撲學這個相對新興的領域確實幫助拓寬了其更古老表親的視野。

網絡上的資料

瑞典皇家科學院發表了一篇精彩的總結，介紹了 2016 年諾貝爾物理學獎獲得者如何利用拓撲技術在相變方面取得突破。 https://www.nobelprize.org/uploads/2018/06/popular-physicsprize2016-1.pdf

3Blue1Brown有一個視頻，以直觀的方式解釋了“內接矩形”問題基于拓撲的證明。https://www.youtube.com/watch?v=AmgkSdhK4K8

《科學新聞》最近刊登了一篇文章，講述了我們的宇宙的拓撲結構仍未得到確定，以及吃豆人可能向我們揭示的有關宇宙形狀的信息。https://www.sciencenews.org/article/universe-geometry-doughnut-physics

參考資料

https://mailchi.mp/quantamagazine.org/why-colliding-particles-reveal-reality-2493109

https://www.quantamagazine.org/mathematicians-identify-the-best-versions-of-iconic-shapes-20240105/

https://www.quantamagazine.org/why-is-this-shape-so-terrible-to-pack-20240628/

https://www.quantamagazine.org/the-biggest-smallest-triangle-just-got-smaller-20230908/

https://www.nobelprize.org/uploads/2018/06/popular-physicsprize2016-1.pdf

https://www.youtube.com/watch?v=AmgkSdhK4K8

·開放 · 友好 · 多元 · 普適 · 守拙·

讓數學

更加

易學易練

易教易研

易賞易玩

易見易得

易傳易及

歡迎評論、點贊、在看、在聽

收藏、分享、轉載、投稿

查看原始文章出處

點擊zzllrr小樂

公眾號主頁

右上角

數學科普不迷路！