多參繁復一招破

2024年長沙中考數學第25題

以二次函數為背景的中考壓軸題，多數會含有參數，即沒有明確給定各項系數和常數，這一類問題，往往成為了考生面臨的難點，尤其是參數較多時，令人望而生畏。

然而無論多么復雜的含參二次函數，我們解決的方法卻是一定的，包括但不限于：

1、將點坐標代入解析式；

2、聯立方程求解；

3、用坐標表示線段長；

圍繞以上通法，還有一些小技巧，例如分解因式、乘法公式等，這些就是我們用于解決壓軸題的工具。

能否成功解決難題，最關鍵的是能想到用哪些解題手段，以及如何使用，思路的突破往往依靠對函數的深入理解，對各基礎知識的深入理解，也就是說，解題是否成功，基本功就占了一半。

題目

解析：

01

(1)用前述“三板斧”的第一招，代入大法，將A、B兩點坐標代入函數解析式：

a-b+c=-4①

9a+3b+c=4②

用②-①得8a+4b=8

化簡后得2a+b=2

整體代入到2024a+1012b+3/7中，可求得結果為2024+3/7；

02

(2)“三板斧”第二招，解方程大法，將方程左邊分解因式，得(a+2y1)(a+2y2)=0

可得a=-2y1，a=-2y2

即y1=y2=-a/2

接下來解讀這個結果，y1和y2是點A和點B的縱坐標，于是我們可以利用圖象直觀描述，如下圖：

若a>0時

-a/2一定是負數，則點A和點B位于x軸下方，開口向上的拋物線，經過x軸下方的兩個點，則它與x軸一定有兩個交點；

若a<0時

-a/2一定是正數，則點A和點B位于x軸上方，開口向下的拋物線，經過x軸上方的兩個點，則它與x軸一定有兩個交點；

綜上，函數與x軸一定有兩個交點；

03

(3)觀察條件中的兩個等式，將它們左邊分解因式：

(a+y1)2+(a+y2)2=0

(a-y3)2+(a-y4)2=0

于是可得y1=y2=-a，y3=y4=a

所以點A和點B的縱坐標為-a，點C和點D的縱坐標為a，由于a>0，所以點A、B在x軸下方，C、D在x軸上方，拋物線與x軸一定有兩個交點E、F，如下圖：

接下來是“三板斧”的第三招，用坐標表示線段長；

再來解讀“三角形的三個內角大小之比為1：2：3”，意思是有一個三角形，內角和是180°，三個內角分別是30°、60°、90°；顯然這是個特殊直角三角形，三邊之比為1：√3：2，我們只需要弄清哪條邊是斜邊即可；

由圖象可知，AB最短，所以斜邊可能是CD，也可能是mEF，分情況討論：

若CD為斜邊，則CD=2AB，mEF=√3AB，將前面表示出的線段式子代入：

此時函數的最小值為-5a/3；

若mEF為斜邊，則mEF=2AB，CD=√3AB，同理可得：

此時函數的最小值為-2a.

解題思考

本題綜合性較強，但解題“三板斧”下去，基本上也沒什么難度了，從實際學生解題過程中，我們發現多數學生覺得難，是無從下手，面對一堆參數，不明白到底要做什么，即從閱讀題目敘述中明確解題目標。

另外一個原因是本題無圖，需要學生構建相應的函數圖象，借用圖象來理解函數性質，理解方程解的意義，才會明白題目到底需要我們做什么，才會有思路的突破。

這里每一種基本方法，都可以在平時的課堂中找到對應的出處，只是在初接觸它們時，只用到了最淺顯的部分，這些基本方法，在整個初中階段的學習中，幾乎都能見到，每當我們遇到它們，就是從不同角度再認識一次，加深一次，即數學概念的理解并不是一開始就能達到巔峰，而是周而復始，螺旋上升。