削菠蘿中的數學

綜合與實踐壓軸題探究

“綜合與實踐”是義務教育階段數學課程的四個領域之一，2022版課標在2011版課標基礎上，對“綜合與實踐”領域做了較大調整：部分數學知識的學習被納入“綜合與實踐”領域中，加強了綜合運用各學科知識的跨學科實踐活動，以主題活動、項目學習等形式呈現，在活動中培養學生“會用數學的眼光觀察現實世界，會有數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界”。

對于綜合與實踐的評價，應強調過程評價，但并不能忽略結果評價，綜合與實踐活動的成果表現形式多樣，例如調查報告、研究筆記、數學小論文、小組展示、主題演講、問題解決方法集、項目報告書、成果展覽、項目模型或作品實物等，對這些結果的評價主觀性較強，多采用評委打分再進行綜合評判的形式。

隨著綜合與實踐類試題越來越多地出現在中考題，對我們平時的教學也有很強的指導意義，生活中的場景如何變成數學情景，數學情景下如何設置問題等，值得進一步研究與思考。

題目

【發現問題】

小明買菠蘿時發現，通常情況下，銷售員都是先削去菠蘿皮，再斜著鏟去菠蘿的籽。

【提出問題】

銷售員斜著鏟去菠蘿的籽，除了方便操作，是否還蘊含著什么數學道理呢？

【分析問題】

某菠蘿可以近似看成圓柱體，若忽略籽的體積和鏟去果肉的厚度與寬度，那么籽可在側面展開圖上呈交錯規律排列，每行有n個籽，每列有k個籽，行上相鄰兩籽、列上相鄰兩籽的間距都為d(n，k均為正整數，n>k≥3，d>0)，如圖1所示。

小明設計了如下三種鏟籽方案：

方案1：圖2是橫向鏟籽示意圖，每行鏟的路徑長為__________，共鏟__________行，則鏟除全部籽的路徑總長為__________;

方案2：圖3是縱向鏟籽示意圖，則鏟除全部籽的路徑總長為__________;

方案3：圖4是銷售員斜著鏟籽示意圖，寫出該方案鏟除全部籽的路徑總長.

【解決問題】

在三個方案中，哪種方案鏟籽路徑總長最短？請寫出比較過程，并對銷售員的操作方法進行評價。

解析：

我們觀察排列圖，由于是交錯排列，行與列是錯開的，因此理解每一行、每一列、有多少行、有多少列非常關鍵，如下圖：

先看方案1，由于第1行與第2行錯開，我們在數的時候，行數是偶數，所以有2k行，每一行有n個籽，相鄰兩個籽距離為d，因此每一行路徑是(n-1)d，方案1的結果就出來了，鏟除全部籽的路徑總長為2k(n-1)d；

我們用同樣的方式來數方案2，有2n列，每一列有k個籽，所以路徑總長為2n(k-1)d；

最后來看方案3，斜著的一列，總共有2k個籽，這樣斜著的列總共有n列，如下圖：

此時斜著的列中，相鄰兩個籽之間的距離是√2d/2，所以每一個斜著的列，長為√2d/2×(2k-1)，路徑總長為√2d/2×(2k-1)n

現在開始比較這三種方案哪種路徑最短。

比較代數式的大小，初中階段常見方法是作差比較或作商比較，顯然本題適用于作差比較，推導如下：

2(n-1)kd-2n(k-1)d=2nkd-2kd-2nkd+2kd=2d(n-k)

∵n>k≥3

∴n-k>0

∴2(n-1)kd-2n(k-1)d>0即2(n-1)kd>2n(k-1)d

∴方案2比方案1短；

再來比較方案3與方案2，如下圖：

由于n與d均為正數，因此我們只需要研究清楚中括號內的部分的符號即可，令y=(2-√2)k-2+√2/2，顯然這是個一次函數，且k≥3，不妨借助圖象更直觀地發現，如下圖：

所以方案3比方案2短；

綜上所述，方案3路徑總長最短.

對銷售員的操作方法評價如下：采用斜著鏟籽的方案，可以最大程度減少果肉損失，并且鏟籽所需要路徑最短，節約鏟籽時間。

解題思考

現在市面上賣的菠蘿，籽都是用小鑷子挖出來的，而不是沿一條線去鏟，這樣能保存更多果肉，外觀上也更完整，賣相好看。如果去水果店或超市買菠蘿，人家會很貼心地幫你切成小塊，回家只管吃就好。

從數學角度來看削菠蘿，無論是用刀去鏟，還是用鑷子挖，籽與籽之間的間距是必須要考慮的，本題難點在于如何數籽，在交錯排列這種狀態下，行、列如何確定，間距如何計算，在小學階段學生就已經接觸過，在初中階段，學生首先要完成的是立體向平面的轉化，在圓柱的側面展開圖上進行計算。

本題源自真實情景，綜合與實踐版塊，教材編寫時留有巨大的空間，在2022版新課標中，對各學段的綜合與實踐都進行了說明，不局限于課標中列舉的內容，削菠蘿正是學生熟悉的生活場景之一。

綜合與實踐試題化之后，如何對答題結果進行評價，仍然是個難題，以本題為例，要求學生對銷售員的操作方法進行評價，是較為主觀的結論，與通常數學試題結論的標準化相比，學生可能會不適應，當然更不適應的是閱卷教師，這些現實問題，都需要在今后的教研中思考解決。