噴灑覆蓋中的數學——綜合與實踐壓軸題探究

《義務教育數學課程標準(2022版)》優化了課程內容，在強調發展學生數學核心素養的同時強調了學科實踐和綜合實踐，因此綜合與實踐必然成為中考考查的內容.目前在全國各地中考題中的“綜合與實踐”試題，基本上可分為點綴型、緊密型和情境型三類，其中數學文化類試題以點綴型為主，數學探究類試題以緊密型為主，數學項目學習類以情境型為主，跨學科項目學習類試題較少見.

以上內容摘自《中國數學教育》2024年第2期27頁，守正創新 行穩致遠——2023年中考“綜合與實踐”專題命題分析，作者是浙江省杭州市基礎教育研究室王紅權.

公園綠化時噴灑裝置是大家比較熟悉的事物，涉及到的數學問題其實很多，例如水滴的運動路徑，噴頭方向、出水速度與噴灑范圍的關系等，都可以是數學綜合與實踐的命題素材，本題選自2024年北京市某校九年級月考壓軸題，研究噴灑覆蓋率相關問題，令人耳目一新.

題目

解析：

01

(1)正方形內切圓是比較熟悉的圖形，正方形邊長為18m，可知圓半徑為9m，如下圖：

于是圓面積為81πm2，正方形面積為324m2，我們可求出噴灑覆蓋率p=π/4；

02

(2)由特殊到一般，先看安裝4個噴灑裝置，如下圖：

推導如下：

再看安裝9個噴灑裝置，如下圖：

推導如下：

最后來看安裝n個裝置的情況，此時每個小圓的半徑為9/n，同樣的方法來求噴灑覆蓋率，推導如下：

綜上，采用增加裝置個數且減小噴灑半徑的方案，無法提高噴灑覆蓋率.

03

(3)不妨順次連接E、F、G、H，如下圖：

在Rt△AEF中，利用勾股定理列方程，得：

x2+(18-x)2=(2r)2

r2=x2/2-9x+81

則y=πr2=πx2/2-9πx+81π=π/2(x-9)2+81π/2

于是當x=9時，y有最小值81π/2，此時r=9√2/2m.

04

(4)對于前面的結論，我們需要進行深入理解，y取最小值意味著覆蓋正方形的這些圓“剛剛夠”，半徑更大當然也能覆蓋，但有些浪費了，基于這個認知，再來看本小題，就好理解了.

從上圖動畫中我們可以發現，最“節約”的圓，就是y取最小值時的情況，此時E、F、G、H分別位于各邊中點，如下圖：

可以看出，這四個圓分別是四個小正方形的外接圓，因此對于安裝方式，我們可以得出一種通用方法，即將要噴灑的正方形等分成若干個小正方形，再作出小正方形的外接圓，并且還可以求出，每個小圓的直徑等于小正方形對角線長，請注意，這條信息非常關鍵！

現在噴灑半徑為3√2m的小圓，逆向求它的內接正方形的對角線為6√2m，則小正方形邊長為6m，對于這塊正方形草坪，恰好是每條邊的三分之一，所以我們需要將正方形草坪等分成9個小正方形，如下圖：

所以至少安裝9個噴灑裝置.

解題思考

本題難點在于理解“至少安裝”，從數學上理解就是用若干個圓去覆蓋正方形，最少需要多少個，當圓的大小和正方形大小確定時，就是我們需要在題目中解決的數學問題.

為了幫助學生理解，題目設置了3個小題，其中第1小題讓學生知道如何計算噴灑覆蓋率，即分別求正方形及其內切圓的面積；第2小題則通過有規律地增加圓的數量，但不改變覆蓋方法，讓學生認識到這種覆蓋方法的局限性，從而為新的方法創設懸念；第3小題并沒有要求學生去設計新方案，而是給出方案，讓學生去理解其中的原理，并思考為什么這種方案可以做到噴灑覆蓋率為1，在此基礎上，習慣于探究的學生會進一步思考，這個最小值是什么含義；第4小題才是最終需要解決的實際問題，通過理解第3小題的結論，并利用這個結論來完成綜合與實踐活動.

用圓覆蓋正方形，或者用正方形覆蓋圓，要做到“剛剛好”，其實也是個數學問題，即正方形內切圓或外接圓的問題，并且隨著圖形位置不同，大小也會發生相應變化，這不僅要求學生平時在進行數學活動時，多動手動腦，也要注重積累這些“數學經驗”，而這種經驗，是綜合與實踐課程的精髓，當我們組織教學，在課堂上完成一次綜合與實踐活動之后，學生最大的收獲，應該就是這種數學經驗，而命題中，將這種經驗作為考查對象，是一種創新.